如图14.3-10,$ AB = AC $,$ BE \perp AC $ 于 $ E $,$ CF \perp AB $ 于 $ F $,$ BE $,$ CF $ 相交于 $ D $,有下列结论：① $ \triangle ABE \cong \triangle ACF $；② $ \triangle BDF \cong \triangle CDE $；③点 $ D $ 在 $ \angle BAC $ 的平分线上。其中正确的是()

A.只有①
B.只有②
C.只有①和②
D.①②③

D

①在△ABE和△ACF中，∠AEB=∠AFC=90°（垂直定义），∠A=∠A（公共角），AB=AC（已知），∴△ABE≌△ACF（AAS），①正确；
②由①得AE=AF，∵AB=AC，∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED=90°（垂直定义），∠BDF=∠CDE（对顶角相等），BF=CE（已证），∴△BDF≌△CDE（AAS），②正确；
③由②得DF=DE（全等三角形对应边相等），∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴点D到∠BAC两边距离相等，∴点D在∠BAC的平分线上（角平分线判定定理），③正确。

1. 如图,点 $ P $ 在 $ \angle AOB $ 内部,$ PC \perp OA $ 于点 $ C $,$ PD \perp OB $ 于点 $ D $,$ OC = 4 cm $,当 $ OD = $ $ cm $ 时,点 $ P $ 在 $ \angle AOB $ 的平分线上。

4

根据角平分线性质定理，若点$P$在$\angle AOB$的平分线上，则点$P$到$\angle AOB$的两边$OA$和$OB$的距离相等。
已知$PC \perp OA$，$PD \perp OB$，且$PC = （隐含为已知距离，由于P在角平分线上则等于D对应的垂线段长度）$，$OC = 4cm$。
由于点$P$到$OA$和$OB$的距离相等，即$PC = PD$的对应直角边在数值上等于距离，而$OC$是$PC$的邻边（垂足），$OD$是$PD$的邻边（垂足）。
由于$PC$垂直于$OA$，$PD$垂直于$OB$，且$PC = PD$（因为$P$在角平分线上），则可以通过直角三角形的全等条件（HL全等，即直角边-斜边）得出$OC$对应的直角边（即$PC$的垂足到角顶点的距离）与$OD$应相等（因为$OP$是公共斜边）。
所以，$OD = OC = 4cm$。

2. 如图,$ AB // CD $,点 $ P $ 到 $ AB $,$ BC $,$ CD $ 的距离都相等,则 $ \angle P = $ 。

90°

∵点P到AB、BC、CD的距离相等，∴P在∠ABC和∠BCD的平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）。设∠PBC=α，∠PCB=β，则∠ABC=2α，∠BCD=2β。∵AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），即2α+2β=180°，α+β=90°。在△PBC中，∠P=180°-(α+β)=180°-90°=90°。

3. 如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $,$ l_3 $ 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选择的地址有 处。

4

三条两两相交的公路构成三角形三条边所在直线，到三条公路距离相等的点为角平分线的交点。三角形内角平分线交于1点（内心），外角平分线交于3点（旁心），共4处。

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,按以下步骤作图：
①以点 $ A $ 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交 $ AB $,$ AC $ 于点 $ M $,$ N $；②分别为 $ M $,$ N $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2} MN $ 的长为半径作弧,两弧交于点 $ P $；③作射线 $ AP $ 交 $ BC $ 于点 $ D $。
若 $ AB : AC = 2 : 3 $,$ \triangle ABD $ 的面积为 $ 2 $,则 $ \triangle ACD $ 的面积为 ______。

3

由作图步骤可知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，点D到AB、AC的距离相等，设为h。
因为$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot h=2$，$AB:AC=2:3$，设$AB=2k$，$AC=3k$。
则$\frac{1}{2}×2k× h=2$，解得$kh=2$。
所以$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot h=\frac{1}{2}×3k× h=\frac{3}{2}kh=\frac{3}{2}×2=3$。

5. 如图,$ OC $ 是 $ \angle AOB $ 内部的一条射线,$ P $ 是射线 $ OC $ 上任意一点,$ PD \perp OA $,$ PE \perp OB $。下列条件中：① $ \angle AOC = \angle BOC $；② $ PD = PE $；③ $ OD = OE $；④ $ \angle DPO = \angle EPO $。能判定 $ OC $ 是 $ \angle AOB $ 的角平分线的有()

A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

D

①由∠AOC=∠BOC，根据角平分线定义，OC是∠AOB的平分线；
②PD=PE，P在OC上且PD⊥OA，PE⊥OB，由角平分线判定定理，OC是∠AOB的平分线；
③OD=OE，∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，Rt△PDO≌Rt△PEO（HL），得∠POD=∠POE，OC是平分线；
④∠DPO=∠EPO，∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，△PDO≌△PEO（AAS），得∠POD=∠POE，OC是平分线。
四个条件均能判定，故选D。

6. 在正方形网格中,$ \angle AOB $ 的位置如图所示,到 $ \angle AOB $ 两边距离相等的点应是()

A.点 $ M $
B.点 $ N $
C.点 $ P $
D.点 $ Q $

D

根据角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等。在正方形网格中，通过观察各点到OA、OB两边的垂直距离（即横向和纵向格数）：点M到OA、OB的距离不相等；点N到OA、OB的距离不相等；点P到OA、OB的距离不相等；点Q到OA、OB的距离相等（横向距离和纵向距离均为2格）。