例1 化简下列各式：
(1)$\dfrac{a^{2}bc}{ab}$； (2)$\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}$.

(1)
$\dfrac{a^{2}bc}{ab}=\dfrac{a· a· b· c}{a· b}=a· c = ac$
(2)
对分子$x^{2}-1$因式分解得$(x + 1)(x - 1)$；
对分母$x^{2}-2x + 1$因式分解得$(x - 1)^{2}$。
则$\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-2x + 1}=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 1)^{2}}=\dfrac{x + 1}{x - 1}$
综上，答案依次为：(1)$ac$；(2)$\dfrac{x + 1}{x - 1}$。

例2 请找出下列各题的最简公分母：
(1)$\dfrac{1}{2x^{2}y^{3}}$,$\dfrac{1}{3x^{4}y^{2}}$,$\dfrac{1}{9xy^{2}}$；
(2)$\dfrac{y^{2}}{x^{2}-xy}$,$\dfrac{x}{y-x}$,$\dfrac{1}{3y}$.

(1)
对于$\dfrac{1}{2x^{2}y^{3}}$，$\dfrac{1}{3x^{4}y^{2}}$，$\dfrac{1}{9xy^{2}}$：
取各分母系数的最小公倍数，$2$、$3$、$9$的最小公倍数为$18$；
凡出现的单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，$x$最高次幂为$4$，$y$最高次幂为$3$。
所以最简公分母是$18x^{4}y^{3}$。
(2)
对$x^{2}-xy$因式分解得$x(x - y)$，$y - x=-(x - y)$。
对于$\dfrac{y^{2}}{x^{2}-xy}=\dfrac{y^{2}}{x(x - y)}$，$\dfrac{x}{y - x}=-\dfrac{x}{x - y}$，$\dfrac{1}{3y}$：
各分母系数$1$、$1$、$3$的最小公倍数为$3$；
出现的因式$x$、$y$、$x - y$都要取到。
所以最简公分母是$3xy(x - y)$。

例3 已知$\dfrac{3x+5}{(x-1)(x+2)}= \dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$,求$A$,$B$的值.

$\because \dfrac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2}$，
$\therefore \dfrac{3x + 5}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{A(x + 2) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}=\dfrac{(A + B)x + (2A - B)}{(x - 1)(x + 2)}$，
$\therefore \begin{cases}A + B = 3,\\2A - B = 5.\end{cases}$
两式相加可得：$3A = 8$，解得$A=\frac{8}{3}$。
将$A = \frac{8}{3}$代入$A + B = 3$，可得$\frac{8}{3}+B = 3$，解得$B = 3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \begin{cases}A = \frac{8}{3},\\B = \frac{1}{3}.\end{cases}$