例1 (1)在$\triangle ABC$中,(1)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,则$\angle C = $；
(2)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B = \angle C$,则$\angle C = $；
(3)若$\angle A = 20^{\circ}$,$\angle B - \angle C = 30^{\circ}$,则$\angle C = $；
(4)若$\angle A = \angle B = \angle C$,则$\angle C = $；
(5)若$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$,则$\angle C = $。
【思路导析】三角形的内角和为$180^{\circ}$。

(1)$100^{\circ}$；(2)$80^{\circ}$；(3)$65^{\circ}$；(4)$60^{\circ}$；(5)$90^{\circ}$。

(1) 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为$180^{\circ}$。
已知$\angle A = 20^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，
则：
$\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 60^{\circ} = 100^{\circ}$。
(2) 已知$\angle A = 20^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，
设$\angle B = \angle C = x$，
根据三角形内角和定理：
$20^{\circ} + x + x = 180^{\circ}$，
$2x = 160^{\circ}$，
$x = 80^{\circ}$，
所以$\angle C = 80^{\circ}$。
(3) 已知$\angle A = 20^{\circ}$，$\angle B - \angle C = 30^{\circ}$，
设$\angle C = x$，则$\angle B = x + 30^{\circ}$，
根据三角形内角和定理：
$20^{\circ} + (x + 30^{\circ}) + x = 180^{\circ}$，
$2x + 50^{\circ} = 180^{\circ}$，
$2x = 130^{\circ}$，
$x = 65^{\circ}$，
所以$\angle C = 65^{\circ}$。
(4) 已知$\angle A = \angle B = \angle C$，
设$\angle A = \angle B = \angle C = x$，
根据三角形内角和定理：
$x + x + x = 180^{\circ}$，
$3x = 180^{\circ}$，
$x = 60^{\circ}$，
所以$\angle C = 60^{\circ}$。
(5) 已知$\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$，
设$\angle A = x$，$\angle B = 2x$，$\angle C = 3x$，
根据三角形内角和定理：
$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$，
$6x = 180^{\circ}$，
$x = 30^{\circ}$，
则$\angle C = 3x = 90^{\circ}$。

例2 如图13.3-1,在海面上停着三艘船$A$,$B$,$C$,$C船在A船的北偏西40^{\circ}$方向,$B船在A船的南偏西80^{\circ}$方向,$C船在B船的北偏东35^{\circ}$方向,从$C船看A$,$B$两船,视线$CA$,$CB的夹角\angle ACB$是多少度？

75°

由题意得，在△ABC中：
1. 求∠CAB：
C在A的北偏西40°，则∠CAD=40°（D为A的正北方向）；
B在A的南偏西80°，则∠BAF=80°（F为A的正南方向）。
因AD与AF为平角（180°），故∠CAB=180°-∠CAD-∠BAF=180°-40°-80°=60°。
2. 求∠CBA：
C在B的北偏东35°，则∠EBC=35°（E为B的正北方向）；
B在A的南偏西80°，故A在B的北偏东80°，即∠EBA=80°。
故∠CBA=∠EBA-∠EBC=80°-35°=45°。
3. 求∠ACB：
由三角形内角和定理，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-60°-45°=75°。

例3 如图13.3-2,$AC$,$BD相交于点O$,$BP$,$CP分别平分\angle ABD$,$\angle ACD$,且交于点$P$。

(1)试探索$\angle P与\angle A$,$\angle D$之间的数量关系；
(2)若$\angle A : \angle D : \angle P = 2 : 4 : x$,求$x$的值。

(1)
∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCD。
∵∠D+∠PCD=∠P+∠PBD，∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠PCD+∠A+∠ABP=∠P+∠PBD+∠P+∠ACP。
∵∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCD，
∴∠A+∠D=2∠P，
∴∠P=1/2(∠A+∠D)。
(2)设∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk，
由(1)得xk=1/2(2k+4k)，
xk=3k，
∴x=3。