10. 如图,已知AD是△ABC的边BC上的中线。
(1)作出△ABD的边BD上的高；
(2)若△ABD的面积为6,且BD边上的高为3,求BC的长。

(1) 过点A作AE⊥BD于点E，AE即为△ABD的边BD上的高。（作图步骤：以A为圆心，适当长为半径画弧，交BD于两点；分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长为半径画弧，两弧交于BD下方一点；过A与该交点作直线，交BD于E，则AE为所求高。）
(2) 解：∵△ABD的面积为6，BD边上的高AE=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×BD×AE=6，
即$\frac{1}{2}$×BD×3=6，
解得BD=4。
∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BC=2BD=2×4=8。
答：BC的长为8。

11. AD是△ABC的角平分线,DE//AB。
(1)若DF//AC,EF交AD于点O。试问：DO是否为△EDF的角平分线？说明理由。
(2)若DO是△EDF的角平分线,试探索DF与AC的位置关系,并说明理由。

(1)
$DO$是$\triangle EDF$的角平分线。
理由如下：
因为$DE// AB$，
根据两直线平行，内错角相等，
所以$\angle 1 = \angle 2$。
因为$DF// AC$，
所以$\angle 3 = \angle 4$（两直线平行，内错角相等），
又因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
所以$\angle 1 = \angle 2$（角平分线定义），
由$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 1=\angle 3$（两直线平行，同位角相等），
可得$\angle 3 = \angle 4$，
即$DO$是$\triangle EDF$的角平分线。
(2)
$DF// AC$。
理由如下：
因为$DE// AB$，
所以$\angle 1 = \angle 2$（两直线平行，内错角相等）。
因为$DO$是$\triangle EDF$的角平分线，
所以$\angle 3 = \angle 4$。
又因为$\angle 1 = \angle 3$（两直线平行，同位角相等），
所以$\angle 2 = \angle 4$，
根据内错角相等，两直线平行，
所以$DF// AC$。

12. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,AC = 8cm,BC = 6cm,AB = 10cm。若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2cm。设运动的时间为t s。
(1)当t为何值时,CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当t为何值时,CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
(3)当t为何值时,△BCP的面积为$12cm^2？$

(1) 6；(2) 6.5；(3) 2或6.5

(1)△ABC周长为8+6+10=24cm，一半周长为12cm。
当P在CA上时，CP=2t，2t=12，t=6，但CA=8cm，P在CA上最大t=4s，故P不在CA上。
当P在AB上时，CA+AP=2t，CA=8cm，AP=2t-8，CP分周长为CA+AP=12cm，即2t-8+8=12，2t=12，t=6。此时P在AB上，AP=4cm，符合题意，t=6。
(2)△ABC面积为$\frac{1}{2}×6×8=24cm^2$，一半面积为12cm²。
中线分面积相等，AB中点D，CD为中线。AD=5cm，CA+AD=8+5=13cm，t=$\frac{13}{2}=6.5$。
(3)①P在CA上时，CP=2t，$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}×6×2t=6t=12$，t=2。
②P在AB上时，AB上高h=$\frac{24}{10}=2.4cm$，$S_{\triangle BCP}=\frac{1}{2}× BP×2.4=12$，BP=10，AB=10cm，BP=10时P与A重合，CA=8cm，t=$\frac{8}{2}=4$；或BP=10，AP=AB-BP=0，P与A重合，t=4。
综上，t=2或t=4。
(1)t=6
(2)t=6.5
(3)t=2或t=4