上等谷 $3$ 束,中等谷 $2$ 束,下等谷 $1$ 束,可得粮食 $39$ 斗；
上等谷 $2$ 束,中等谷 $3$ 束,下等谷 $1$ 束,可得粮食 $34$ 斗；
上等谷 $1$ 束,中等谷 $2$ 束,下等谷 $3$ 束,可得粮食 $26$ 斗.
求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？
下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法,它是什么意思呢？

不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有 $3$ 个未知数的问题.
设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食 $x$ 斗、$y$ 斗、$z$ 斗.
根据题意,得三元一次方程组
$\begin{cases}3x + 2y + z = 39,①\\2x + 3y + z = 34,②\\x + 2y + 3z = 26.③\end{cases} $
通过消元,可以求出各未知数.
上图实际上就是用算筹列出的方程组 $(*)$,它省略了各未知数,只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项.

【解析】：
由$① - ②$得：$x - y = 5$，即$x = y + 5$ ④
由$②×3 - ③$得：$5x + 7y = 76$ ⑤
把④代入⑤得：$5(y + 5)+7y = 76$
$5y + 25 + 7y = 76$
$12y = 51$
$y=\frac{17}{4}$
把$y=\frac{17}{4}$代入④得：$x=\frac{17}{4}+5=\frac{37}{4}$
把$x = \frac{37}{4}$，$y=\frac{17}{4}$代入①得：$3×\frac{37}{4}+2×\frac{17}{4}+z = 39$
$\frac{111}{4}+\frac{34}{4}+z = 39$
$\frac{145}{4}+z = 39$
$z=\frac{11}{4}$
【答案】：上等谷每束可得粮食$\frac{37}{4}$斗，中等谷每束可得粮食$\frac{17}{4}$斗，下等谷每束可得粮食$\frac{11}{4}$斗。