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15. 如图,两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成了一个梯形. 用不同的方法计算梯形的面积,可以得到一个等式：$a^{2}+b^{2}= c^{2}$.
(1) 请用两种方法计算梯形的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的过程.
(2) 如果满足等式$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的 a、b、c 是三个正整数,我们称 a、b、c 为勾股数. 已知 m、n 是正整数且$m＞n$,证明$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数.
(1) 请用两种方法计算梯形的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的过程.
(2) 如果满足等式$a^{2}+b^{2}= c^{2}$的 a、b、c 是三个正整数,我们称 a、b、c 为勾股数. 已知 m、n 是正整数且$m＞n$,证明$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数.
答案
【解析】：
### $(1)$ 计算梯形面积并推导等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
**方法一：根据梯形面积公式计算**
梯形的面积公式为$S = \dfrac{(上底 + 下底)×高}{2}$，由图可知梯形的上底为$b$，下底为$a$，高为$(a + b)$，则梯形面积$S=\dfrac{1}{2}(a + b)(a + b)=\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})$。
**方法二：根据三个三角形面积之和计算**
图中梯形是由两个直角边分别为$a$、$b$的直角三角形和一个直角边为$c$的等腰直角三角形组成。
根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}底×高$，则两个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积和为$2×\dfrac{1}{2}ab$，直角边为$c$的等腰直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}c^{2}$，所以梯形面积$S = 2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^{2}=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$。
由于两种方法计算的是同一个梯形的面积，所以$\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，等式两边同时乘以$2$得$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，移项可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
### $(2)$ 证明$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数
分别计算$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}$和$(m^{2}+n^{2})^{2}$：
计算$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}$
根据完全平方公式$(A + B)^{2}=A^{2}+2AB + B^{2}$和$(A - B)^{2}=A^{2}-2AB + B^{2}$，可得$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
计算$(m^{2}+n^{2})^{2}$
$(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
所以$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$。
因为$m$、$n$是正整数且$m\gt n$，所以$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$都是正整数，满足勾股数的定义，即$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数。
【答案】：
$(1)$ 方法一：$S=\dfrac{1}{2}(a + b)(a + b)=\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})$；方法二：$S = 2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^{2}=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，由$\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
$(2)$ 证明见上述解析过程，证得$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$且$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是正整数，所以$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数。
### $(1)$ 计算梯形面积并推导等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
**方法一：根据梯形面积公式计算**
梯形的面积公式为$S = \dfrac{(上底 + 下底)×高}{2}$，由图可知梯形的上底为$b$，下底为$a$，高为$(a + b)$，则梯形面积$S=\dfrac{1}{2}(a + b)(a + b)=\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})$。
**方法二：根据三个三角形面积之和计算**
图中梯形是由两个直角边分别为$a$、$b$的直角三角形和一个直角边为$c$的等腰直角三角形组成。
根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}底×高$，则两个直角边为$a$、$b$的直角三角形面积和为$2×\dfrac{1}{2}ab$，直角边为$c$的等腰直角三角形面积为$\dfrac{1}{2}c^{2}$，所以梯形面积$S = 2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^{2}=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$。
由于两种方法计算的是同一个梯形的面积，所以$\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，等式两边同时乘以$2$得$a^{2}+2ab + b^{2}=2ab + c^{2}$，移项可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
### $(2)$ 证明$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数
分别计算$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}$和$(m^{2}+n^{2})^{2}$：
计算$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}$
根据完全平方公式$(A + B)^{2}=A^{2}+2AB + B^{2}$和$(A - B)^{2}=A^{2}-2AB + B^{2}$，可得$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=4m^{2}n^{2}+m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
计算$(m^{2}+n^{2})^{2}$
$(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$。
所以$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$。
因为$m$、$n$是正整数且$m\gt n$，所以$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$都是正整数，满足勾股数的定义，即$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数。
【答案】：
$(1)$ 方法一：$S=\dfrac{1}{2}(a + b)(a + b)=\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})$；方法二：$S = 2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^{2}=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，由$\dfrac{1}{2}(a^{2}+2ab + b^{2})=ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$，化简得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
$(2)$ 证明见上述解析过程，证得$(2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}$且$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是正整数，所以$2mn$、$m^{2}-n^{2}$、$m^{2}+n^{2}$是勾股数。
16. 先阅读后解题：
若$m^{2}+2m + n^{2}-6n + 10 = 0$,求 m、n 的值.
解：把等式的左边整理得$m^{2}+2m + 1 + n^{2}-6n + 9 = 0$,
即$(m + 1)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$.
因为$(m + 1)^{2}\geq 0$,$(n - 3)^{2}\geq 0$,所以$m + 1 = 0$,$n - 3 = 0$,
即$m = -1$,$n = 3$.
利用以上解法,解下列问题：
已知$x^{2}+y^{2}-x + 4y+\frac{17}{4}= 0$,求 x 和 y 的值.
若$m^{2}+2m + n^{2}-6n + 10 = 0$,求 m、n 的值.
解：把等式的左边整理得$m^{2}+2m + 1 + n^{2}-6n + 9 = 0$,
即$(m + 1)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$.
因为$(m + 1)^{2}\geq 0$,$(n - 3)^{2}\geq 0$,所以$m + 1 = 0$,$n - 3 = 0$,
即$m = -1$,$n = 3$.
利用以上解法,解下列问题：
已知$x^{2}+y^{2}-x + 4y+\frac{17}{4}= 0$,求 x 和 y 的值.
答案
$ x=\frac{1}{2},y=-2 $。
17. (1) 已知$x-\frac{1}{x}= 10$,求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值；
(2) 已知$(a + 25)^{2}= 1000$,求$(a + 15)(a + 35)$的值.
(2) 已知$(a + 25)^{2}= 1000$,求$(a + 15)(a + 35)$的值.
答案
(1) $ 102 $ (2) $ 900 $
