13. 如图6-33，以BC为底边的等腰三角形ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且$EG // BC$，$DE // AC$，延长GE至点F，使得$BE = BF$.

(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当$\angle C = 45^{\circ}$，$BD = 2$时，求D，F两点间的距离.

【解析】：
### $(1)$ 证明四边形$BDEF$为平行四边形
- 已知$\triangle ABC$是以$BC$为底边的等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得$\angle ABC=\angle C$。
- 因为$EG// BC$，$DE// AC$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知四边形$CDEG$是平行四边形，所以$\angle DEG = \angle C$。
- 又因为$EG// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$\angle AEG=\angle ABC$，再由对顶角相等可知$\angle BEF=\angle AEG$，所以$\angle BEF=\angle ABC$。
- 已知$BE = BF$，根据“等边对等角”可得$\angle BFE=\angle BEF$，所以$\angle BFE=\angle DEG$，根据“内错角相等，两直线平行”可得$BF// DE$。
- 又因为$EG// BC$，即$FE// BD$，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，所以四边形$BDEF$为平行四边形。
### $(2)$ 求$D$，$F$两点间的距离
过点$F$作$FM\perp BD$交$DB$的延长线于点$M$。
因为$\angle C = 45^{\circ}$，$\angle ABC=\angle C$，所以$\angle ABC = 45^{\circ}$，则$\angle BEF=\angle ABC = 45^{\circ}$。
又因为$BE = BF$，所以$\angle BFE=\angle BEF = 45^{\circ}$，那么$\angle EBF = 90^{\circ}$。
由于四边形$BDEF$是平行四边形，所以$BF = DE$，$EF = BD = 2$，$BF// DE$，所以$\angle EDB=\angle EBF = 90^{\circ}$。
因为四边形$CDEG$是平行四边形，所以$DE = CG$，$EG = CD$，又因为$\triangle ABC$是等腰三角形，$EG// BC$，所以$AE = AG$，$BE = CG$，则$BE = DE$。
设$BE = DE = x$，在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理$BD^{2}+DE^{2}=BE^{2}$（这里$BD = 2$），可得$x^{2}+x^{2}=2^{2}$，即$2x^{2}=4$，解得$x=\sqrt{2}$（负根舍去），所以$BF = DE=\sqrt{2}$。
因为$\angle FBM = 180^{\circ}-\angle EBF-\angle ABC=45^{\circ}$，$\angle FMB = 90^{\circ}$，所以$\triangle FMB$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的性质，$FM = BM$，由勾股定理$FM^{2}+BM^{2}=BF^{2}$，可得$2FM^{2}=(\sqrt{2})^{2}$，解得$FM = BM = 1$。
则$DM=BD + BM=2 + 1=3$。
在$Rt\triangle FMD$中，根据勾股定理$DF=\sqrt{FM^{2}+DM^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1 + 9}=\sqrt{10}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{\sqrt{10}}$