登录
1.如图,在$△ ABC$中,D,E是AC边上两点,$BE⊥ AB$,$BD⊥ BC$,则BD是下列哪个三角形的高(
A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$
A
).A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形的高。解题思路是：先结合题干给出的BD⊥BC的垂直条件，再逐一对照每个选项的三角形，判断BD是否符合对应三角形高的要求即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
已知条件：$BD⊥BC$，即$∠ DBC=90°$。
对各选项逐一分析：
选项A：$△ BCD$的顶点为B、C、D，边BC的对顶点是D，$DB⊥BC$且垂足为B，完全符合三角形高的定义，故BD是$△ BCD$的高；
选项B：$△ ABC$的顶点为A、B、C，BD的端点D不是$△ ABC$的顶点，不符合高的定义，排除；
选项C：$△ ABE$中仅有$BE⊥AB$的条件，无BD与$△ ABE$的边垂直的相关结论，不符合，排除；
选项D：$△ BDE$中没有条件能证明BD垂直于该三角形的任意一条边，不符合，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是紧扣三角形高的两个判定条件：一是线段的一个端点是三角形的顶点，二是线段垂直于该顶点的对边，结合已知垂直条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形的高。解题思路是：先结合题干给出的BD⊥BC的垂直条件，再逐一对照每个选项的三角形，判断BD是否符合对应三角形高的要求即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。
已知条件：$BD⊥BC$，即$∠ DBC=90°$。
对各选项逐一分析：
选项A：$△ BCD$的顶点为B、C、D，边BC的对顶点是D，$DB⊥BC$且垂足为B，完全符合三角形高的定义，故BD是$△ BCD$的高；
选项B：$△ ABC$的顶点为A、B、C，BD的端点D不是$△ ABC$的顶点，不符合高的定义，排除；
选项C：$△ ABE$中仅有$BE⊥AB$的条件，无BD与$△ ABE$的边垂直的相关结论，不符合，排除；
选项D：$△ BDE$中没有条件能证明BD垂直于该三角形的任意一条边，不符合，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题核心是紧扣三角形高的两个判定条件：一是线段的一个端点是三角形的顶点，二是线段垂直于该顶点的对边，结合已知垂直条件即可快速判断。
【难度系数】
0.8
2. 如图，如果$BD=DE=EF=FC$，那么$△ ABE$的中线是(
A.AD
B.AE
C.AF
D.以上都是
A
).A.AD
B.AE
C.AF
D.以上都是
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。解题思路如下：第一步，确定目标三角形△ABE的边，要找它的中线，需先找到某条边的中点；第二步，根据已知条件BD=DE=EF=FC，可得出BE边被点D分为长度相等的两段BD和DE，即D是BE的中点；第三步，△ABE的顶点A对应对边BE的中点是D，因此连接A和D的线段就是△ABE的中线。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知BD=DE，因此点D是线段BE的中点。
在△ABE中，顶点A的对边是BE，BE的中点为D，因此线段AD是△ABE的中线。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义；线段中点的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形中线定义的掌握情况，解题核心是准确找到对应边的中点，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。解题思路如下：第一步，确定目标三角形△ABE的边，要找它的中线，需先找到某条边的中点；第二步，根据已知条件BD=DE=EF=FC，可得出BE边被点D分为长度相等的两段BD和DE，即D是BE的中点；第三步，△ABE的顶点A对应对边BE的中点是D，因此连接A和D的线段就是△ABE的中线。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知BD=DE，因此点D是线段BE的中点。
在△ABE中，顶点A的对边是BE，BE的中点为D，因此线段AD是△ABE的中线。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义；线段中点的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对三角形中线定义的掌握情况，解题核心是准确找到对应边的中点，牢记相关定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则下列结论正确的有（
① $AD$ 平分 $∠ BAF$；
② $AF$ 平分 $∠ BAC$；
③ $AE$ 平分 $∠ DAF$；
④ $AF$ 平分 $∠ DAC$；
⑤ $AE$ 平分 $∠ BAC$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
）.① $AD$ 平分 $∠ BAF$；
② $AF$ 平分 $∠ BAC$；
③ $AE$ 平分 $∠ DAF$；
④ $AF$ 平分 $∠ DAC$；
⑤ $AE$ 平分 $∠ BAC$.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的判定规则：若一条射线把一个角分成两个度数相等的小角，这条射线就是该角的角平分线。接下来结合已知条件∠1=∠2、∠3=∠4，对5个结论逐一验证：先明确每个结论中对应的被平分的角，再判断射线把这个角分成的两个小角是否相等，相等则结论成立，否则不成立。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
① $AD$ 平分 $∠ BAF$：$AD$ 将 $∠BAF$ 分为 $∠3$ 和 $∠1$，题目未给出 $∠3=∠1$，故①错误；
② $AF$ 平分 $∠ BAC$：$AF$ 将 $∠BAC$ 分为 $∠BAF$ 和 $∠CAF$，其中 $∠BAF=∠3+∠1$，$∠CAF=∠4$，无依据证明 $∠3+∠1=∠4$，故②错误；
③ $AE$ 平分 $∠ DAF$：$AE$ 将 $∠DAF$ 分为 $∠1$ 和 $∠2$，已知 $∠1=∠2$，符合角平分线定义，故③正确；
④ $AF$ 平分 $∠ DAC$：$AF$ 将 $∠DAC$ 分为 $∠2$ 和 $∠4$，题目未给出 $∠2=∠4$，故④错误；
⑤ $AE$ 平分 $∠ BAC$：已知 $∠1=∠2$，$∠3=∠4$，根据等式性质可得 $∠1+∠3=∠2+∠4$，即 $∠BAE=∠CAE$，符合角平分线定义，故⑤正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是紧扣角平分线的定义，不能自行假设题目未给出的等角条件，逐一验证即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆角平分线的判定规则：若一条射线把一个角分成两个度数相等的小角，这条射线就是该角的角平分线。接下来结合已知条件∠1=∠2、∠3=∠4，对5个结论逐一验证：先明确每个结论中对应的被平分的角，再判断射线把这个角分成的两个小角是否相等，相等则结论成立，否则不成立。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
① $AD$ 平分 $∠ BAF$：$AD$ 将 $∠BAF$ 分为 $∠3$ 和 $∠1$，题目未给出 $∠3=∠1$，故①错误；
② $AF$ 平分 $∠ BAC$：$AF$ 将 $∠BAC$ 分为 $∠BAF$ 和 $∠CAF$，其中 $∠BAF=∠3+∠1$，$∠CAF=∠4$，无依据证明 $∠3+∠1=∠4$，故②错误；
③ $AE$ 平分 $∠ DAF$：$AE$ 将 $∠DAF$ 分为 $∠1$ 和 $∠2$，已知 $∠1=∠2$，符合角平分线定义，故③正确；
④ $AF$ 平分 $∠ DAC$：$AF$ 将 $∠DAC$ 分为 $∠2$ 和 $∠4$，题目未给出 $∠2=∠4$，故④错误；
⑤ $AE$ 平分 $∠ BAC$：已知 $∠1=∠2$，$∠3=∠4$，根据等式性质可得 $∠1+∠3=∠2+∠4$，即 $∠BAE=∠CAE$，符合角平分线定义，故⑤正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是紧扣角平分线的定义，不能自行假设题目未给出的等角条件，逐一验证即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
4.如图，画出$△ ABC$的三条高. 
答案
解
解析
【分析】
解题前先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。对于钝角△ABC，两个锐角顶点对边的高会落在三角形外部，需要先将对边用虚线延长后再作垂线：①顶点A的对边是BC，需作BC所在直线的垂线；②顶点B的对边是AC，直接作AC的垂线即可；③顶点C的对边是AB，需作AB所在直线的垂线；最后在每个垂足处标注直角符号即可。
【解析】
1. 作BC边上的高：反向延长线段CB（虚线），将直角三角板的一条直角边与BC所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点A，沿该直角边画线段AE，E为垂足，标注直角符号，线段AE就是BC边上的高；
2. 作AC边上的高：将直角三角板的一条直角边与AC重合，平移三角板使另一条直角边过点B，沿该直角边画线段BF，F为垂足，标注直角符号，线段BF就是AC边上的高；
3. 作AB边上的高：延长线段AB（虚线），将直角三角板的一条直角边与AB所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点C，沿该直角边画线段CD，D为垂足，标注直角符号，线段CD就是AB边上的高。
【答案】
【知识点】
三角形的高，垂线的画法，钝角三角形的高
【点评】
本题考查三角形高的绘制，需要注意钝角三角形有2条高落在三角形外部，作高时要先延长对应边，辅助线用虚线表示，同时不要遗漏垂足处的直角符号，明确高是顶点到垂足的线段，而非直线或射线。
【难度系数】
0.7
解题前先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。对于钝角△ABC，两个锐角顶点对边的高会落在三角形外部，需要先将对边用虚线延长后再作垂线：①顶点A的对边是BC，需作BC所在直线的垂线；②顶点B的对边是AC，直接作AC的垂线即可；③顶点C的对边是AB，需作AB所在直线的垂线；最后在每个垂足处标注直角符号即可。
【解析】
1. 作BC边上的高：反向延长线段CB（虚线），将直角三角板的一条直角边与BC所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点A，沿该直角边画线段AE，E为垂足，标注直角符号，线段AE就是BC边上的高；
2. 作AC边上的高：将直角三角板的一条直角边与AC重合，平移三角板使另一条直角边过点B，沿该直角边画线段BF，F为垂足，标注直角符号，线段BF就是AC边上的高；
3. 作AB边上的高：延长线段AB（虚线），将直角三角板的一条直角边与AB所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点C，沿该直角边画线段CD，D为垂足，标注直角符号，线段CD就是AB边上的高。
【答案】
【知识点】
三角形的高，垂线的画法，钝角三角形的高
【点评】
本题考查三角形高的绘制，需要注意钝角三角形有2条高落在三角形外部，作高时要先延长对应边，辅助线用虚线表示，同时不要遗漏垂足处的直角符号，明确高是顶点到垂足的线段，而非直线或射线。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$，$HE$是$△ AEC$的中线，那么以$AD$为高的三角形有(
A.2个
B.3个
C.5个
D.6个
D
).A.2个
B.3个
C.5个
D.6个
答案
5. D 解析 以 AD 为高的三角形有$△ ABD,△ ABE,△ ABC,△ ADE,△ ADC,△ AEC$,共6个,故选 D.
解析
【分析】
要解这道题，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这个三角形的高。已知AD⊥BC于D，说明AD垂直于直线BC，因此只要三角形的一个顶点是A，另外两个顶点都在直线BC上，AD就是该三角形的高。接下来按从小到大的顺序有序数出所有符合特征的三角形，做到不重不漏即可。
【解析】
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ 所有以A为顶点，且有一条边在BC边上的三角形，AD都是它们的高。
按顺序枚举符合要求的三角形：$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ADC$、$△ AEC$，共6个。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义，图形计数
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是紧扣三角形高的定义，掌握有序计数的方法，避免出现漏数或者重复计数的错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这个三角形的高。已知AD⊥BC于D，说明AD垂直于直线BC，因此只要三角形的一个顶点是A，另外两个顶点都在直线BC上，AD就是该三角形的高。接下来按从小到大的顺序有序数出所有符合特征的三角形，做到不重不漏即可。
【解析】
∵ $AD ⊥ BC$，
∴ 所有以A为顶点，且有一条边在BC边上的三角形，AD都是它们的高。
按顺序枚举符合要求的三角形：$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ADC$、$△ AEC$，共6个。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义，图形计数
【点评】
本题是基础概念应用题，解题核心是紧扣三角形高的定义，掌握有序计数的方法，避免出现漏数或者重复计数的错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AD，CE 是$△ ABC$ 的两条高，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$，求AD的长。
答案
6. 解 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CE = \frac{1}{2} BC · AD$,
$\because AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$,
解得 $AD=3\ \mathrm{cm}$.
$\because AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$,
解得 $AD=3\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要求AD的长度，我们可以利用三角形面积的两种计算方法求解：对于同一个△ABC，选取不同的底和对应的高计算出的面积是相等的。其中AB边对应的高是CE，BC边对应的高是AD，据此可以列出包含AD的等式，代入已知数值即可求解AD的长度。
【解析】
解：根据三角形面积公式，△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CE = \frac{1}{2} BC · AD$
已知$AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$，将数值代入上式：
$\frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$
化简得：$12=4AD$
解得：$AD=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AD=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题目，解题关键是抓住同一三角形面积不变的特点，选择不同的底和对应高建立等量关系求解未知线段，等面积法是几何中求线段长度的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要求AD的长度，我们可以利用三角形面积的两种计算方法求解：对于同一个△ABC，选取不同的底和对应的高计算出的面积是相等的。其中AB边对应的高是CE，BC边对应的高是AD，据此可以列出包含AD的等式，代入已知数值即可求解AD的长度。
【解析】
解：根据三角形面积公式，△ABC的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CE = \frac{1}{2} BC · AD$
已知$AB=4\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},CE=6\ \mathrm{cm}$，将数值代入上式：
$\frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$
化简得：$12=4AD$
解得：$AD=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AD=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题是三角形面积的基础应用题目，解题关键是抓住同一三角形面积不变的特点，选择不同的底和对应高建立等量关系求解未知线段，等面积法是几何中求线段长度的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ABD的周长比△ADC的周长多2,且AB与AC的和为10.(1)求AB,AC的长;(2)求BC边的取值范围.
答案
7. 解 (1)$\because AD$ 是 $BC$ 边上的中线，
$\therefore BD=CD$,
$\therefore △ ABD$ 的周长$-△ ADC$ 的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,
即 $AB-AC=2①$,
又 $AB+AC=10②$,
由①$+$②,得 $2AB=12$,解得 $AB=6$,
由②$-$①,得 $2AC=8$,解得 $AC=4$,
$\therefore AB=6,AC=4$.
(2)$\because AB=6,AC=4$,
$\therefore 2＜BC＜10$.
$\therefore BD=CD$,
$\therefore △ ABD$ 的周长$-△ ADC$ 的周长$=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$,
即 $AB-AC=2①$,
又 $AB+AC=10②$,
由①$+$②,得 $2AB=12$,解得 $AB=6$,
由②$-$①,得 $2AC=8$,解得 $AC=4$,
$\therefore AB=6,AC=4$.
(2)$\because AB=6,AC=4$,
$\therefore 2＜BC＜10$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据AD是BC边上的中线可得BD=CD，分别写出△ABD和△ADC的周长表达式，作差后可抵消公共边AD、相等的BD和CD，即可得到AB与AC的差，再结合已知AB+AC=10，联立两个等式就能求出AB、AC的长度。
(2) 求解第二问时，直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入AB和AC的长度即可求出BC的取值范围。
【解析】
$(1) \because AD $是 BC 边上的中线，
$\therefore BD=CD$，
$\therefore △ ABD $的周长 - △ ADC 的周长 =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2，
即 AB-AC=2 ①，
又 AB+AC=10 ②，
由①+②，得 2AB=12，解得 AB=6，
由②-①，得 2AC=8，解得 AC=4。
(2) 根据三角形三边关系，已知 AB-AC＜BC＜AB+AC，$\because AB=6,AC=4$，$\therefore 2＜BC＜10$。【答案】(1) AB=6，AC=4；(2) 2＜BC＜10
【知识点】
三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形中线性质和三边关系的应用，解题关键是通过周长差推导得到AB与AC的数量关系，再结合已知条件联立求解，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，首先根据AD是BC边上的中线可得BD=CD，分别写出△ABD和△ADC的周长表达式，作差后可抵消公共边AD、相等的BD和CD，即可得到AB与AC的差，再结合已知AB+AC=10，联立两个等式就能求出AB、AC的长度。
(2) 求解第二问时，直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入AB和AC的长度即可求出BC的取值范围。
【解析】
$(1) \because AD $是 BC 边上的中线，
$\therefore BD=CD$，
$\therefore △ ABD $的周长 - △ ADC 的周长 =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2，
即 AB-AC=2 ①，
又 AB+AC=10 ②，
由①+②，得 2AB=12，解得 AB=6，
由②-①，得 2AC=8，解得 AC=4。
(2) 根据三角形三边关系，已知 AB-AC＜BC＜AB+AC，$\because AB=6,AC=4$，$\therefore 2＜BC＜10$。【答案】(1) AB=6，AC=4；(2) 2＜BC＜10
【知识点】
三角形中线的性质，二元一次方程组的应用，三角形三边关系
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形中线性质和三边关系的应用，解题关键是通过周长差推导得到AB与AC的数量关系，再结合已知条件联立求解，整体计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
