登录
8. 下列各式从左到右的变形，不正确的是 （
A.$\frac{2bc}{ac}=\frac{2b}{a}$
B.$-\frac{2-x}{x}=\frac{x-2}{x}$
C.$\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$
D.$\frac{x+y}{(x-y)^2}=-\frac{x+y}{(y-x)^2}$
D
）A.$\frac{2bc}{ac}=\frac{2b}{a}$
B.$-\frac{2-x}{x}=\frac{x-2}{x}$
C.$\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$
D.$\frac{x+y}{(x-y)^2}=-\frac{x+y}{(y-x)^2}$
答案
8. D
解析
【分析】
本题考查分式的相关变形，解题时需结合分式的基本性质、符号变化规则、偶次幂的性质逐个分析选项：首先明确分式的基本性质为分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；其次记住$(a-b)^2=(b-a)^2$的恒等关系，逐一验证每个选项的变形是否成立，选出变形错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断各选项的变形：
A选项：$\frac{2bc}{ac}$中隐含$ac≠0$，即$c≠0$，分子分母同时除以不为0的$c$，可得$\frac{2b}{a}$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$-\frac{2-x}{x}$的分子提取负号，可得$-\frac{-(x-2)}{x}=\frac{x-2}{x}$，变形正确，不符合题意；
C选项：$\frac{x-3}{x+3}$中隐含$x+3≠0$，分子分母同时乘不为0的$(x+3)$，分子变为$(x-3)(x+3)=x^2-9$，分母变为$(x+3)^2=x^2+6x+9$，即$\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$，变形正确，不符合题意；
D选项：根据偶次幂的性质，$(x-y)^2=(y-x)^2$，因此$\frac{x+y}{(x-y)^2}=\frac{x+y}{(y-x)^2}$，无需添加负号，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式符号变换，偶次幂的性质
【点评】
本题属于分式变形的常规基础题，解题时要注意分式变形的前提是乘除的整式不为0，同时要熟练掌握分子分母的符号变化规律和偶次幂的恒等特征，避免符号判断失误。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的相关变形，解题时需结合分式的基本性质、符号变化规则、偶次幂的性质逐个分析选项：首先明确分式的基本性质为分式的分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变；其次记住$(a-b)^2=(b-a)^2$的恒等关系，逐一验证每个选项的变形是否成立，选出变形错误的选项即可。
【解析】
我们逐个判断各选项的变形：
A选项：$\frac{2bc}{ac}$中隐含$ac≠0$，即$c≠0$，分子分母同时除以不为0的$c$，可得$\frac{2b}{a}$，变形正确，不符合题意；
B选项：对$-\frac{2-x}{x}$的分子提取负号，可得$-\frac{-(x-2)}{x}=\frac{x-2}{x}$，变形正确，不符合题意；
C选项：$\frac{x-3}{x+3}$中隐含$x+3≠0$，分子分母同时乘不为0的$(x+3)$，分子变为$(x-3)(x+3)=x^2-9$，分母变为$(x+3)^2=x^2+6x+9$，即$\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}$，变形正确，不符合题意；
D选项：根据偶次幂的性质，$(x-y)^2=(y-x)^2$，因此$\frac{x+y}{(x-y)^2}=\frac{x+y}{(y-x)^2}$，无需添加负号，变形错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式符号变换，偶次幂的性质
【点评】
本题属于分式变形的常规基础题，解题时要注意分式变形的前提是乘除的整式不为0，同时要熟练掌握分子分母的符号变化规律和偶次幂的恒等特征，避免符号判断失误。
【难度系数】
0.8
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ C$，$AD$，$AE$分别是$△ ABC$的高和角平分线，有下列两个结论：①$AB + BD=DC$；②$AB+BE=AC$. 其中正确的结论是（
A.只有①对
B.只有②对
C.①②都对
D.①②都不对
C
）A.只有①对
B.只有②对
C.①②都对
D.①②都不对
答案
9. C
解析
【分析】
要判断两个结论是否正确，对于线段和等于另一线段的问题，常用截长补短法构造全等三角形或等腰三角形，结合已知的角的倍数关系、角平分线和高的性质转化线段，分别验证两个结论即可。
【解析】
先验证结论①：
在DC上截取DF=BD，连接AF。
∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，
∴AD垂直平分BF，
∴AB=AF，∠B=∠AFB。
由三角形外角性质得∠AFB=∠C+∠FAC，
已知∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠FAC，即∠FAC=∠C，
∴AF=FC，即AB=FC。
∵DC=DF+FC，DF=BD，FC=AB，
∴AB+BD=DC，结论①正确。
再验证结论②：
在AC上截取AG=AB，连接EG。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠GAE。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l} AB=AG\\ ∠ BAE=∠ GAE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△AGE（SAS），
∴BE=GE，∠B=∠AGE。
由三角形外角性质得∠AGE=∠C+∠GEC，
已知∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠GEC，即∠GEC=∠C，
∴GE=GC，即BE=GC。
∵AC=AG+GC，AG=AB，GC=BE，
∴AB+BE=AC，结论②正确。
综上，①②都正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质；2. 等腰三角形的判定与性质；3. 三角形外角性质
【点评】
本题是三角形综合题，核心是用截长补短法处理线段和差类证明问题，结合角的倍数关系构造全等或等腰三角形即可快速解题，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要判断两个结论是否正确，对于线段和等于另一线段的问题，常用截长补短法构造全等三角形或等腰三角形，结合已知的角的倍数关系、角平分线和高的性质转化线段，分别验证两个结论即可。
【解析】
先验证结论①：
在DC上截取DF=BD，连接AF。
∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，
∴AD垂直平分BF，
∴AB=AF，∠B=∠AFB。
由三角形外角性质得∠AFB=∠C+∠FAC，
已知∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠FAC，即∠FAC=∠C，
∴AF=FC，即AB=FC。
∵DC=DF+FC，DF=BD，FC=AB，
∴AB+BD=DC，结论①正确。
再验证结论②：
在AC上截取AG=AB，连接EG。
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠GAE。
在△ABE和△AGE中：
$\{\begin{array}{l} AB=AG\\ ∠ BAE=∠ GAE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ABE≌△AGE（SAS），
∴BE=GE，∠B=∠AGE。
由三角形外角性质得∠AGE=∠C+∠GEC，
已知∠B=2∠C，
∴2∠C=∠C+∠GEC，即∠GEC=∠C，
∴GE=GC，即BE=GC。
∵AC=AG+GC，AG=AB，GC=BE，
∴AB+BE=AC，结论②正确。
综上，①②都正确。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质；2. 等腰三角形的判定与性质；3. 三角形外角性质
【点评】
本题是三角形综合题，核心是用截长补短法处理线段和差类证明问题，结合角的倍数关系构造全等或等腰三角形即可快速解题，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在$△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$，$AB⊥ BC$，点$P$，$Q$分别是边$BC$，$AC$上的动点，则$AP+PQ$的最小值等于（
A.$4$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$5$
D.$\dfrac{27}{5}$
B
）A.$4$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$5$
D.$\dfrac{27}{5}$
答案
10. B
解析
【分析】
本题是两条线段和的最小值求解问题，核心解题思路是利用轴对称转化线段，结合“垂线段最短”原理求解。首先观察到点P在BC上，先作点A关于BC的对称点A'，根据轴对称性质可得AP=A'P，因此AP+PQ可转化为A'P+PQ；要让这两条线段的和最小，只需满足A'、P、Q三点共线且A'Q⊥AC，此时A'Q的长度就是AP+PQ的最小值，最后通过面积法计算出A'Q的长度即可。
【解析】
解：已知$AB=3$，$BC=4$，$AB⊥BC$，$AC=5$，可知$△ ABC$为直角三角形。
作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，因为$AB⊥BC$，所以点$A'$在$AB$的延长线上，且$A'B=AB=3$，因此$AA'=AB+A'B=6$。
由轴对称的性质可得$AP=A'P$，因此$AP+PQ = A'P+PQ$。
根据“垂线段最短”可知，当$A'Q⊥AC$，且$P$为$A'Q$与$BC$的交点时，$A'P+PQ$的值最小，最小值为垂线段$A'Q$的长度。
用两种方法计算$△ AA'C$的面积：
1. 以$AA'$为底，$BC$为高：$S_{△ AA'C} = \frac{1}{2} × AA' × BC = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
2. 以$AC$为底，$A'Q$为高：$S_{△ AA'C} = \frac{1}{2} × AC × A'Q = \frac{1}{2} ×5 × A'Q$
联立两个面积表达式可得：$\frac{1}{2} ×5 × A'Q = 12$，解得$A'Q=\frac{24}{5}$。
即$AP+PQ$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题、轴对称的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于最短路径的典型题型，解题关键是通过轴对称将两条线段和转化为点到直线的距离，再结合面积法求解，能很好地考查学生对几何最值原理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是两条线段和的最小值求解问题，核心解题思路是利用轴对称转化线段，结合“垂线段最短”原理求解。首先观察到点P在BC上，先作点A关于BC的对称点A'，根据轴对称性质可得AP=A'P，因此AP+PQ可转化为A'P+PQ；要让这两条线段的和最小，只需满足A'、P、Q三点共线且A'Q⊥AC，此时A'Q的长度就是AP+PQ的最小值，最后通过面积法计算出A'Q的长度即可。
【解析】
解：已知$AB=3$，$BC=4$，$AB⊥BC$，$AC=5$，可知$△ ABC$为直角三角形。
作点$A$关于$BC$的对称点$A'$，因为$AB⊥BC$，所以点$A'$在$AB$的延长线上，且$A'B=AB=3$，因此$AA'=AB+A'B=6$。
由轴对称的性质可得$AP=A'P$，因此$AP+PQ = A'P+PQ$。
根据“垂线段最短”可知，当$A'Q⊥AC$，且$P$为$A'Q$与$BC$的交点时，$A'P+PQ$的值最小，最小值为垂线段$A'Q$的长度。
用两种方法计算$△ AA'C$的面积：
1. 以$AA'$为底，$BC$为高：$S_{△ AA'C} = \frac{1}{2} × AA' × BC = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$
2. 以$AC$为底，$A'Q$为高：$S_{△ AA'C} = \frac{1}{2} × AC × A'Q = \frac{1}{2} ×5 × A'Q$
联立两个面积表达式可得：$\frac{1}{2} ×5 × A'Q = 12$，解得$A'Q=\frac{24}{5}$。
即$AP+PQ$的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题、轴对称的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于最短路径的典型题型，解题关键是通过轴对称将两条线段和转化为点到直线的距离，再结合面积法求解，能很好地考查学生对几何最值原理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 使分式$\frac{x}{x-1}$有意义的$x$的取值范围是
11. 使分式$\frac{x}{x-1}$有意义的$x$的取值范围是
x≠1
.答案
11. x≠1
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。首先找到所给分式的分母为x-1，令分母不等于0，解出对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
【答案】
$x ≠ 1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础类题型，重点考查分式有意义的判定规则，属于考试中常见的送分题，解题时注意不要混淆分式有意义、分式值为0的条件，牢记仅需保证分母不为0即可正确求解。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。首先找到所给分式的分母为x-1，令分母不等于0，解出对应的不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据分式有意义的条件：分母不为0，可得：
$x-1 ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
【答案】
$x ≠ 1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础类题型，重点考查分式有意义的判定规则，属于考试中常见的送分题，解题时注意不要混淆分式有意义、分式值为0的条件，牢记仅需保证分母不为0即可正确求解。
【难度系数】
0.9
12. 用一根长 18 cm 的细绳围成一个其中一边长为 4 cm 的等腰三角形，则腰长是
7
cm.答案
12. 7
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形两腰长度相等的特征，题目中未明确说明4cm的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰长；②4cm为底边长。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况进行验证，排除无法构成三角形的情况，即可得到正确的腰长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若4cm为腰长，则底边长为 $18 - 4 × 2 = 10\ \mathrm{cm}$，此时三角形三边长为4cm、4cm、10cm。
验证三边关系：$4 + 4 = 8 ＜ 10$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此该情况不成立，舍去。
2. 若4cm为底边长，则腰长为 $(18 - 4) ÷ 2 = 7\ \mathrm{cm}$，此时三角形三边长为7cm、7cm、4cm。
验证三边关系：$4 + 7 = 11 ＞ 7$，$7 + 7 = 14 ＞ 4$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，腰长为7cm。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的常见易错题，解题时容易忽略对已知边的分类讨论，或分类后忘记用三角形三边关系验证是否能构成三角形，导致出现错误的多解结果，解题时要注意养成分类后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形两腰长度相等的特征，题目中未明确说明4cm的边是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为腰长；②4cm为底边长。再结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况进行验证，排除无法构成三角形的情况，即可得到正确的腰长。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若4cm为腰长，则底边长为 $18 - 4 × 2 = 10\ \mathrm{cm}$，此时三角形三边长为4cm、4cm、10cm。
验证三边关系：$4 + 4 = 8 ＜ 10$，不满足三角形两边之和大于第三边，因此该情况不成立，舍去。
2. 若4cm为底边长，则腰长为 $(18 - 4) ÷ 2 = 7\ \mathrm{cm}$，此时三角形三边长为7cm、7cm、4cm。
验证三边关系：$4 + 7 = 11 ＞ 7$，$7 + 7 = 14 ＞ 4$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，腰长为7cm。
【答案】
7
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，三角形周长计算
【点评】
本题是等腰三角形相关的常见易错题，解题时容易忽略对已知边的分类讨论，或分类后忘记用三角形三边关系验证是否能构成三角形，导致出现错误的多解结果，解题时要注意养成分类后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.6
13.若$x^2+2(m-3)x+16$是完全平方式，则$m$的值为
7或-1
.答案
13. 7或-1
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构：完全平方式分为和的平方、差的平方两种形式，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。首先确定给定多项式的首项和尾项对应的底数：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；尾项$16=4^2$对应$b^2$，即$b=\pm4$。再根据中间项等于$\pm2ab$的特征，列出关于$m$的方程求解即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
解：
∵$x^2+2(m-3)x+16$是完全平方式
∴该多项式可表示为$(x\pm4)^2$
展开$(x\pm4)^2$得：$x^2\pm8x+16$
对比中间项系数可得：$2(m-3)=\pm8$
分两种情况求解：
①当$2(m-3)=8$时，
两边同时除以2得：$m-3=4$
解得：$m=7$
②当$2(m-3)=-8$时，
两边同时除以2得：$m-3=-4$
解得：$m=-1$
综上，$m$的值为7或-1。
【答案】
7或-1
【知识点】
完全平方公式，一元一次方程的解法
【点评】
本题是完全平方公式应用的常考题，解题的关键是掌握完全平方式的两种结构形式，易错点是容易忽略差的平方的情况，导致只求出一个解，做题时要注意分类讨论，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先回忆完全平方公式的结构：完全平方式分为和的平方、差的平方两种形式，即$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$和$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。首先确定给定多项式的首项和尾项对应的底数：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；尾项$16=4^2$对应$b^2$，即$b=\pm4$。再根据中间项等于$\pm2ab$的特征，列出关于$m$的方程求解即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
解：
∵$x^2+2(m-3)x+16$是完全平方式
∴该多项式可表示为$(x\pm4)^2$
展开$(x\pm4)^2$得：$x^2\pm8x+16$
对比中间项系数可得：$2(m-3)=\pm8$
分两种情况求解：
①当$2(m-3)=8$时，
两边同时除以2得：$m-3=4$
解得：$m=7$
②当$2(m-3)=-8$时，
两边同时除以2得：$m-3=-4$
解得：$m=-1$
综上，$m$的值为7或-1。
【答案】
7或-1
【知识点】
完全平方公式，一元一次方程的解法
【点评】
本题是完全平方公式应用的常考题，解题的关键是掌握完全平方式的两种结构形式，易错点是容易忽略差的平方的情况，导致只求出一个解，做题时要注意分类讨论，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
14. 如图,在$△ ABC$中,BO平分$∠ ABC$,CO平分$∠ ACB$,过点O作$MN // BC$,MN分别与AB,AC相交于点M,N.若$△ ABC$的周长为18,$△ AMN$的周长为12,则$BC=$
第14小题图
第15小题图
6
.第14小题图
第15小题图
答案
14. 6
解析
【分析】
解题时先结合已知的角平分线和平行线条件，利用“等角对等边”推导出等腰三角形，将△AMN的周长转化为AB+AC的长度，再结合△ABC的周长即可求出BC的长。具体思考步骤：1. 由角平分线可得两个角相等，结合平行线的内错角相等，推导出△MBO和△NCO都是等腰三角形，得到MB=MO、NC=NO；2. 将△AMN的周长中的MO、NO替换为MB、NC，即可得到△AMN的周长等于AB+AC；3. 用△ABC的周长减去AB+AC的长度，就是BC的长度。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，
∴MB=MO（等角对等边），
同理可得：NC=NO。
∵△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN，
将MO=MB、ON=NC代入得：
△AMN的周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC=12，
又
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=18，
∴BC=18 - (AB+AC)=18 - 12=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角平分线和平行线的组合特征推导出等腰三角形，实现线段的等量转化，从而建立两个三角形周长的关联，这类线段转化的思路在几何周长计算类题目中非常常见。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知的角平分线和平行线条件，利用“等角对等边”推导出等腰三角形，将△AMN的周长转化为AB+AC的长度，再结合△ABC的周长即可求出BC的长。具体思考步骤：1. 由角平分线可得两个角相等，结合平行线的内错角相等，推导出△MBO和△NCO都是等腰三角形，得到MB=MO、NC=NO；2. 将△AMN的周长中的MO、NO替换为MB、NC，即可得到△AMN的周长等于AB+AC；3. 用△ABC的周长减去AB+AC的长度，就是BC的长度。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠OBC，
∵MN//BC，
∴∠MOB=∠OBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠MBO=∠MOB，
∴MB=MO（等角对等边），
同理可得：NC=NO。
∵△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN，
将MO=MB、ON=NC代入得：
△AMN的周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC=12，
又
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=18，
∴BC=18 - (AB+AC)=18 - 12=6。
【答案】
6
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是通过角平分线和平行线的组合特征推导出等腰三角形，实现线段的等量转化，从而建立两个三角形周长的关联，这类线段转化的思路在几何周长计算类题目中非常常见。
【难度系数】
0.7
15.如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为$(a-1)$米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克.则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？
$\frac{2m}{(a - 1)^2(a + 1)}$
.答案
15. $\frac{2m}{(a - 1)^2(a + 1)}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式为“总产量÷种植面积”，解题思路分为四步：第一步先分别计算两块试验田的种植面积；第二步根据公式算出两块试验田的单位面积产量；第三步通过比较两块试验田的面积大小，判断出单位面积产量的高低；最后对高、低单位面积产量作差，通过分式通分化简得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知$a＞1$，步骤如下：
1. 计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积：$S_1=a^2-1=(a+1)(a-1)$（平方米）
“丰收2号”试验田面积：$S_2=(a-1)^2$（平方米）
2. 计算两块试验田的单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{m}{S_1}=\frac{m}{(a+1)(a-1)}$（千克/平方米）
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{m}{S_2}=\frac{m}{(a-1)^2}$（千克/平方米）
3. 判断单位面积产量高低：
$S_1-S_2=(a^2-1)-(a^2-2a+1)=2(a-1)＞0$，即$S_1＞S_2$，总产量相同的情况下，面积越小单位面积产量越高，因此“丰收2号”单位面积产量更高。
4. 计算产量差值：
$\frac{m}{(a-1)^2}-\frac{m}{(a+1)(a-1)}$
通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)^2$，化简得：
$=\frac{m(a+1)}{(a+1)(a-1)^2}-\frac{m(a-1)}{(a+1)(a-1)^2}$
$=\frac{ma+m-ma+m}{(a+1)(a-1)^2}$
$=\frac{2m}{(a-1)^2(a+1)}$
【答案】
$\frac{2m}{(a - 1)^2(a + 1)}$
【知识点】
平方差公式，分式的加减运算，分式实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查分式的运算应用，解题核心是明确单位面积产量的计算逻辑，通过比较面积大小确定产量高低，计算差值时要熟练运用因式分解辅助通分化简，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式为“总产量÷种植面积”，解题思路分为四步：第一步先分别计算两块试验田的种植面积；第二步根据公式算出两块试验田的单位面积产量；第三步通过比较两块试验田的面积大小，判断出单位面积产量的高低；最后对高、低单位面积产量作差，通过分式通分化简得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知$a＞1$，步骤如下：
1. 计算两块试验田的面积：
“丰收1号”试验田面积：$S_1=a^2-1=(a+1)(a-1)$（平方米）
“丰收2号”试验田面积：$S_2=(a-1)^2$（平方米）
2. 计算两块试验田的单位面积产量：
“丰收1号”单位面积产量：$\frac{m}{S_1}=\frac{m}{(a+1)(a-1)}$（千克/平方米）
“丰收2号”单位面积产量：$\frac{m}{S_2}=\frac{m}{(a-1)^2}$（千克/平方米）
3. 判断单位面积产量高低：
$S_1-S_2=(a^2-1)-(a^2-2a+1)=2(a-1)＞0$，即$S_1＞S_2$，总产量相同的情况下，面积越小单位面积产量越高，因此“丰收2号”单位面积产量更高。
4. 计算产量差值：
$\frac{m}{(a-1)^2}-\frac{m}{(a+1)(a-1)}$
通分，最简公分母为$(a+1)(a-1)^2$，化简得：
$=\frac{m(a+1)}{(a+1)(a-1)^2}-\frac{m(a-1)}{(a+1)(a-1)^2}$
$=\frac{ma+m-ma+m}{(a+1)(a-1)^2}$
$=\frac{2m}{(a-1)^2(a+1)}$
【答案】
$\frac{2m}{(a - 1)^2(a + 1)}$
【知识点】
平方差公式，分式的加减运算，分式实际应用
【点评】
本题结合实际场景考查分式的运算应用，解题核心是明确单位面积产量的计算逻辑，通过比较面积大小确定产量高低，计算差值时要熟练运用因式分解辅助通分化简，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图,在平面直角坐标系中,已知三角形ABC各顶点在格点上.
(1)直接写出三角形ABC的三个顶点的坐标:A
(2)求三角形ABC的面积.
16.(6分)如图,在平面直角坐标系中,已知三角形ABC各顶点在格点上.
(1)直接写出三角形ABC的三个顶点的坐标:A
(2,2)
;B (3,0)
;C (5,4)
;(2)求三角形ABC的面积.
答案
16. (1)(2,2),(3,0),(5,4);
(2)解:三角形ABC的面积=$3×4$- $\frac{1}{2}$×2×1- $\frac{1}{2}$×2×3- $\frac{1}{2}$×2×4=4.
(2)解:三角形ABC的面积=$3×4$- $\frac{1}{2}$×2×1- $\frac{1}{2}$×2×3- $\frac{1}{2}$×2×4=4.
解析
【分析】
（1）求点的坐标时，根据坐标的定义：横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，依次读取A、B、C三点的横、纵坐标即可。
（2）求格点三角形面积时，采用八年级常用的割补法：先找到将△ABC完全包含在内的最小矩形，计算出矩形的面积，再减去矩形内部△ABC之外的三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积，该方法规避了直接找三角形底和高的难点，适合格点图形的面积计算。
【解析】
（1）观察平面直角坐标系可得：
A点横坐标为2，纵坐标为2，即$\boldsymbol{A(2,2)}$；
B点横坐标为3，纵坐标为0，即$\boldsymbol{B(3,0)}$；
C点横坐标为5，纵坐标为4，即$\boldsymbol{C(5,4)}$。
（2）用割补法计算面积：
包含△ABC的最小矩形的长为$5-2=3$，宽为$4-0=4$，矩形面积为$3×4=12$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×2×4=4$。
因此三角形ABC的面积为：
$3×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×4=12-1-3-4=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$，$\boldsymbol{(3,0)}$，$\boldsymbol{(5,4)}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
点的坐标表示，割补法求面积，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查坐标的读取和格点不规则图形面积的计算方法，割补法是解决此类格点面积问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
（1）求点的坐标时，根据坐标的定义：横坐标为点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标为点向y轴作垂线对应的y轴数值，依次读取A、B、C三点的横、纵坐标即可。
（2）求格点三角形面积时，采用八年级常用的割补法：先找到将△ABC完全包含在内的最小矩形，计算出矩形的面积，再减去矩形内部△ABC之外的三个直角三角形的面积，就能得到△ABC的面积，该方法规避了直接找三角形底和高的难点，适合格点图形的面积计算。
【解析】
（1）观察平面直角坐标系可得：
A点横坐标为2，纵坐标为2，即$\boldsymbol{A(2,2)}$；
B点横坐标为3，纵坐标为0，即$\boldsymbol{B(3,0)}$；
C点横坐标为5，纵坐标为4，即$\boldsymbol{C(5,4)}$。
（2）用割补法计算面积：
包含△ABC的最小矩形的长为$5-2=3$，宽为$4-0=4$，矩形面积为$3×4=12$。
矩形内三个多余直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×2×3=3$，$\frac{1}{2}×2×4=4$。
因此三角形ABC的面积为：
$3×4-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×2×4=12-1-3-4=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(2,2)}$，$\boldsymbol{(3,0)}$，$\boldsymbol{(5,4)}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
点的坐标表示，割补法求面积，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，重点考查坐标的读取和格点不规则图形面积的计算方法，割补法是解决此类格点面积问题的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
