6.已知二次函数$y=(x-1)^2 +k$的图象经过点$(3,0)$。
(1)求$k$的值；
(2)判断二次函数$y=(x-1)^2 +k$的图象与$x$轴公共点的个数，并说明理由。

6. 解:(1)把$(3,0)$代入$y=(x-1)^2+k$,得$0=(3-1)^2+k$.解得$k=-4$.
(2)二次函数$y=(x-1)^2+k$的图象与$x$轴有2个公共点.理由如下:由(1)得二次函数的解析式为$y=(x-1)^2-4=x^2-2x-3$,$\therefore \Delta=(-2)^2-4×(-3)=16＞0$,$\therefore$二次函数$y=(x-1)^2+k$的图象与$x$轴有2个公共点.

7. 函数$y=ax^2 - ax +3x +1$的图象与$x$轴有且只有一个公共点，则$a$的值为（）

A.0
B.1或9
C.0或9
D.0或1或9

7. D

8.已知函数$y=ax^2+bx(a≠0)$的图象和函数$y=t$的图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-t=0$的解是

8. $x_1=-0.5,x_2=2.5$

9. 已知二次函数 $ y = x^2 - 4x + m $（$ m $ 为常数）。
(1)若其图象与 $ x $ 轴有两个公共点，求 $ m $ 的取值范围；
(2)求其图象与直线 $ y = m + 5 $ 的图象交点的横坐标。

9. 解:(1)由题意,得$\Delta=b^2-4ac=16-4m＞0$,解得$m＜4$.
(2)由题意,得$x^2-4x+m=m+5$,解得$x_1=5,x_2=-1$,$\therefore$二次函数$y=x^2-4x+m$的图象与直线$y=m+5$的图象交点的横坐标为5或$-1$.

10. (2026 北京)在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，抛物线 $ C_1: y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 经过点 $ (0, \frac{1 - a}{a}) $，对称轴为直线 $ x = \frac{1}{a} $。
(1) 求 $ b $ 的值，并用含 $ a $ 的式子表示 $ c $。
(2) 已知 $ M $ 是抛物线 $ C_1 $ 上的点，$ M $ 的横坐标为 $ t $，抛物线 $ C_2 $ 的顶点为 $ M $，且可以由抛物线 $ C_1 $ 平移得到（特别地，当 $ M $ 是 $ C_1 $ 的顶点时，$ C_2 $ 即为 $ C_1 $）。若无论 $ t $ 为何值，抛物线 $ C_2 $ 都不经过点 $ O $，求 $ a $ 的取值范围。

10. 解:(1) $\because$ 抛物线 $ C_1: y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) $ 经过点 $(0,\frac{1-a}{a})$，$\therefore c=\frac{1-a}{a}$.
$\because$ 抛物线 $ C_1 $ 的对称轴为 $ x=\frac{1}{a} $，$\therefore -\frac{b}{2a}=\frac{1}{a}$，$\therefore b=-2$.
(2) 设点 $ M(t,y_1) $.
$\because M$ 是抛物线 $ C_1 $ 上的点，$\therefore y_1=at^2-2t+\frac{1-a}{a}$.
由题意,抛物线 $ C_2:y=a(x-t)^2+at^2-2t+\frac{1-a}{a} $，设抛物线 $ C_2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ N(0,y_2) $,则 $ y_2=2at^2-2t+\frac{1-a}{a} $.
$\because$ 无论 $ t $ 为何值,抛物线 $ C_2 $ 都不经过点 $ O $，$\therefore$ 无论 $ t $ 为何值,都有 $ y_2≠0 $，$\therefore$ 关于 $ t $ 的方程 $ 2at^2-2t+\frac{1-a}{a}=0(a≠0) $没有实数根.
$\therefore \Delta＜0$,即 $ 4-8a · \frac{1-a}{a}＜0 $.
$4-8(1-a)＜0$,
化简得:$8a-4＜0$,
解得 $ a＜\frac{1}{2} $,
$\therefore a＜\frac{1}{2}$ 且 $ a≠0 $.