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9. (天津期中)化简$(\sqrt{3}-2)^{2026}(\sqrt{3}+2)^{2027}$的结果为 【 】
A.$-1$
B.$\sqrt{3}-2$
C.$\sqrt{3}+2$
D.$-\sqrt{3}-2$
A.$-1$
B.$\sqrt{3}-2$
C.$\sqrt{3}+2$
D.$-\sqrt{3}-2$
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察式子中两个幂的底数特征，发现$\sqrt{3}-2$和$\sqrt{3}+2$满足平方差公式的结构，乘积为常数；再看指数，两个幂的指数相差1，可将指数较高的$(\sqrt{3}+2)^{2027}$拆分为$(\sqrt{3}+2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)$，再逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，将同指数的两个幂先相乘，简化高次幂的计算，最后结合乘方的性质化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)]^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=[(\sqrt{3})^2 - 2^2]^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=(3-4)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=(-1)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=1×(\sqrt{3}+2)\\&=\sqrt{3}+2\end{aligned}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
积的乘方逆运算；平方差公式；二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式混合运算的典型巧算题型，解题核心是通过观察底数的结构特征，结合指数特点拆分变形，将高次幂运算转化为常数的乘方运算，大幅降低计算量，是二次根式运算中常考的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察式子中两个幂的底数特征，发现$\sqrt{3}-2$和$\sqrt{3}+2$满足平方差公式的结构，乘积为常数；再看指数，两个幂的指数相差1，可将指数较高的$(\sqrt{3}+2)^{2027}$拆分为$(\sqrt{3}+2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)$，再逆用积的乘方公式$a^n· b^n=(ab)^n$，将同指数的两个幂先相乘，简化高次幂的计算，最后结合乘方的性质化简即可得到结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\sqrt{3}-2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)]^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=[(\sqrt{3})^2 - 2^2]^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=(3-4)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=(-1)^{2026}×(\sqrt{3}+2)\\&=1×(\sqrt{3}+2)\\&=\sqrt{3}+2\end{aligned}$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
积的乘方逆运算；平方差公式；二次根式乘法
【点评】
本题是二次根式混合运算的典型巧算题型，解题核心是通过观察底数的结构特征，结合指数特点拆分变形，将高次幂运算转化为常数的乘方运算，大幅降低计算量，是二次根式运算中常考的技巧类题型。
【难度系数】
0.7
10. 下列计算中，正确的是 【 】
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1$
C.$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = -3$
D.$\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$
A.$\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1$
C.$(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = -3$
D.$\frac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，结合二次根式的化简、运算法则以及乘法公式判断正误，最终选出正确选项。具体步骤为：先将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，再按照对应的运算法则计算，对比结果判断是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
选项B：先化简分子，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，计算错误。
选项C：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠-3$，计算错误。
选项D：将式子拆分计算，$\frac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1≠3\sqrt{2}$，计算错误。
综上，只有选项A计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握二次根式的化简规则、加减乘除运算法则，以及整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时需仔细运算，避免因公式误用、化简错误导致失分。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，结合二次根式的化简、运算法则以及乘法公式判断正误，最终选出正确选项。具体步骤为：先将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，再按照对应的运算法则计算，对比结果判断是否正确。
【解析】
我们对每个选项逐一计算验证：
选项A：先化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$，计算正确。
选项B：先化简分子，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，则$\frac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}≠1$，计算错误。
选项C：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，得$(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠-3$，计算错误。
选项D：将式子拆分计算，$\frac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1≠3\sqrt{2}$，计算错误。
综上，只有选项A计算正确。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心是熟练掌握二次根式的化简规则、加减乘除运算法则，以及整式乘法公式在二次根式运算中的应用，解题时需仔细运算，避免因公式误用、化简错误导致失分。
【难度系数】
0.7
11. 已知$a + b = 3 + \sqrt{5}$，$ab = 3\sqrt{5}$，则$a - b =$
$3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-3$
.答案
11. $3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-3$
解析
【分析】
要求$a-b$的值，可利用完全平方公式的变形关系：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$求解。已知$a+b$和$ab$的数值，先代入计算出$(a-b)^2$的值，再对结果开平方即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a + b = 3 + \sqrt{5}$，$ab = 3\sqrt{5}$代入上式：
$(a+b)^2=(3+\sqrt{5})^2=3^2+2×3×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=9+6\sqrt{5}+5=14+6\sqrt{5}$
$4ab=4×3\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
因此：
$(a-b)^2=14+6\sqrt{5}-12\sqrt{5}=14-6\sqrt{5}$
又因为$14-6\sqrt{5}=3^2-2×3×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=(3-\sqrt{5})^2$
所以$(a-b)^2=(3-\sqrt{5})^2$
两边开平方得：$a-b=\pm(3-\sqrt{5})$
即$a-b=3-\sqrt{5}$或$a-b=\sqrt{5}-3$
【答案】
$3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-3$
【知识点】
完全平方公式变形；二次根式混合运算；平方根的性质
【点评】
本题是代数运算的常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，计算时要注意二次根式运算的正确性，开平方时切勿遗漏负根。
【难度系数】
0.7
要求$a-b$的值，可利用完全平方公式的变形关系：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$求解。已知$a+b$和$ab$的数值，先代入计算出$(a-b)^2$的值，再对结果开平方即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据完全平方公式变形可得：
$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$
将$a + b = 3 + \sqrt{5}$，$ab = 3\sqrt{5}$代入上式：
$(a+b)^2=(3+\sqrt{5})^2=3^2+2×3×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=9+6\sqrt{5}+5=14+6\sqrt{5}$
$4ab=4×3\sqrt{5}=12\sqrt{5}$
因此：
$(a-b)^2=14+6\sqrt{5}-12\sqrt{5}=14-6\sqrt{5}$
又因为$14-6\sqrt{5}=3^2-2×3×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2=(3-\sqrt{5})^2$
所以$(a-b)^2=(3-\sqrt{5})^2$
两边开平方得：$a-b=\pm(3-\sqrt{5})$
即$a-b=3-\sqrt{5}$或$a-b=\sqrt{5}-3$
【答案】
$3-\sqrt{5}$或$\sqrt{5}-3$
【知识点】
完全平方公式变形；二次根式混合运算；平方根的性质
【点评】
本题是代数运算的常考题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的变形技巧，计算时要注意二次根式运算的正确性，开平方时切勿遗漏负根。
【难度系数】
0.7
12. 计算：
(1) $\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{32} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + 2\sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{30} - (2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$。
(1) $\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{32} + \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(2) $\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} + 2\sqrt{\frac{1}{5}} × \sqrt{30} - (2\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$。
答案
(1) 5 (2) $-7-2\sqrt{6}$
解析
【分析】
这两道题属于二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，结合二次根式乘除法则、整式乘法公式计算即可。第(1)题：先分别计算二次根式的乘法、分式部分的除法，再将结果相加，分式部分可拆分分子分别除以分母简化计算，避免先化简分子再计算的繁琐。第(2)题：先依次计算二次根式的除法、乘法，再用完全平方公式展开平方项，去括号后合并同类二次根式即可，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式 = $\sqrt{\frac{1}{2}×32} + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{16} + \sqrt{9} - \sqrt{4}$
= $4 + 3 - 2$
= $5$
(2) 原式 = $\sqrt{48÷3} + 2\sqrt{\frac{1}{5}×30} - [(2\sqrt{2})² + 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})²]$
= $\sqrt{16} + 2\sqrt{6} - (8 + 4\sqrt{6} + 3)$
= $4 + 2\sqrt{6} - (11 + 4\sqrt{6})$
= $4 + 2\sqrt{6} - 11 - 4\sqrt{6}$
= $-7 - 2\sqrt{6}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-7 - 2\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式混合运算，完全平方公式，二次根式乘除法则
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则以及整式运算公式的迁移应用，运算时需注意运算顺序和去括号的符号处理，养成化简检查的习惯可以有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
这两道题属于二次根式的混合运算，解题时遵循“先乘除、后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，结合二次根式乘除法则、整式乘法公式计算即可。第(1)题：先分别计算二次根式的乘法、分式部分的除法，再将结果相加，分式部分可拆分分子分别除以分母简化计算，避免先化简分子再计算的繁琐。第(2)题：先依次计算二次根式的除法、乘法，再用完全平方公式展开平方项，去括号后合并同类二次根式即可，注意去括号时符号的变化。
【解析】
(1) 原式 = $\sqrt{\frac{1}{2}×32} + \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{16} + \sqrt{9} - \sqrt{4}$
= $4 + 3 - 2$
= $5$
(2) 原式 = $\sqrt{48÷3} + 2\sqrt{\frac{1}{5}×30} - [(2\sqrt{2})² + 2×2\sqrt{2}×\sqrt{3} + (\sqrt{3})²]$
= $\sqrt{16} + 2\sqrt{6} - (8 + 4\sqrt{6} + 3)$
= $4 + 2\sqrt{6} - (11 + 4\sqrt{6})$
= $4 + 2\sqrt{6} - 11 - 4\sqrt{6}$
= $-7 - 2\sqrt{6}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-7 - 2\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式混合运算，完全平方公式，二次根式乘除法则
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题的核心是熟练掌握二次根式的运算法则以及整式运算公式的迁移应用，运算时需注意运算顺序和去括号的符号处理，养成化简检查的习惯可以有效降低出错率。
【难度系数】
0.7
13. 已知 $x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，求 $x^2 + 3xy + y^2$ 的值。
答案
13. $\because x =\sqrt{5}+\sqrt{3},\ y=\sqrt{5}-\sqrt{3},\therefore x + y =(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2\sqrt{5},\ xy=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2.$$\therefore x^2 + 3xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2 + xy = (x + y)^2 + xy = (2\sqrt{5})^2 + 2 = 22$
解析
【分析】
本题若直接将x、y的值代入原式计算会非常繁琐，容易出错。我们可以先观察所求代数式的结构：$x^2+3xy+y^2$可利用完全平方公式变形为$(x+y)^2 + xy$，因此只需要先求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入变形后的式子计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算过程。另外x、y是共轭二次根式，计算二者的和与积时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，
1. 计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y = (\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$，
$xy = (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$；
2. 对所求代数式变形：
$x^2 + 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + xy = (x+y)^2 + xy$；
3. 代入数值计算：
将$x+y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{5})^2 + 2 = 4×5 + 2 = 20 + 2 = 22$。
【答案】
22
【知识点】
二次根式的运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是代数式化简求值的典型题型，核心解题技巧是合理变形所求代数式，结合整体代入思想简化计算，熟练运用乘法公式能有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
本题若直接将x、y的值代入原式计算会非常繁琐，容易出错。我们可以先观察所求代数式的结构：$x^2+3xy+y^2$可利用完全平方公式变形为$(x+y)^2 + xy$，因此只需要先求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入变形后的式子计算即可，这种整体代入的方法能大幅简化计算过程。另外x、y是共轭二次根式，计算二者的和与积时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：已知$x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，
1. 计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y = (\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{5}$，
$xy = (\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$；
2. 对所求代数式变形：
$x^2 + 3xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + xy = (x+y)^2 + xy$；
3. 代入数值计算：
将$x+y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{5})^2 + 2 = 4×5 + 2 = 20 + 2 = 22$。
【答案】
22
【知识点】
二次根式的运算；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是代数式化简求值的典型题型，核心解题技巧是合理变形所求代数式，结合整体代入思想简化计算，熟练运用乘法公式能有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.7
