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条件变式:设$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$,$C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x+1)^2+k$上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为 (
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
)A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_3＞y_1$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
A
【解析】因为二次函数$y=-(x+1)^2+k$,所以该二次函数的抛物线开口向下,且对称轴为:直线$x=-1$。因为$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x+1)^2+k$上的三点,而三点离对称轴的距离按由近到远为:$(-2,y_1)$、$(1,y_2)$、$(2,y_3)$,所以$y_1＞y_2＞y_3$,故选:A。
【解析】因为二次函数$y=-(x+1)^2+k$,所以该二次函数的抛物线开口向下,且对称轴为:直线$x=-1$。因为$A(-2,y_1),B(1,y_2),C(2,y_3)$是抛物线$y=-(x+1)^2+k$上的三点,而三点离对称轴的距离按由近到远为:$(-2,y_1)$、$(1,y_2)$、$(2,y_3)$,所以$y_1＞y_2＞y_3$,故选:A。
原题3:抛物线$y=-2x^2$经过平移可得到$y=-2(x-1)^2+3$,平移方法是 （
A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
【解析】平移遵循“上加下减,左加右减”。
问题变式:在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=2x^2$不动,而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的表达式为 （
A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
D
）A.向左平移1个单位,再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位,再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移3个单位
【解析】平移遵循“上加下减,左加右减”。
问题变式:在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=2x^2$不动,而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的表达式为 （
D
）A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
答案
原题3:D
【解析】因为抛物线$y=-2x^2$的顶点坐标为(0,0),而平移后抛物线$y=-2(x-1)^2+3$的顶点坐标为(1,3),所以平移方法为向右平移1个单位,再向上平移3个单位。故选:D。
问题变式:D
【解析】抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为(0,0),因为把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位,所以在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(-2,2),所以抛物线的表达式为$y=2(x+2)^2+2$。故选:D。
【解析】因为抛物线$y=-2x^2$的顶点坐标为(0,0),而平移后抛物线$y=-2(x-1)^2+3$的顶点坐标为(1,3),所以平移方法为向右平移1个单位,再向上平移3个单位。故选:D。
问题变式:D
【解析】抛物线$y=2x^2$的顶点坐标为(0,0),因为把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位,所以在新坐标系中抛物线的顶点坐标为(-2,2),所以抛物线的表达式为$y=2(x+2)^2+2$。故选:D。
原题4:如图所示是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的一部分，图象过点$A(-3,0)$，对称轴为直线$x=-1$，给出4个结论：①$c＞0$；②若点$B(-\frac{3}{2},y_1)$、$C(-\frac{5}{2},y_2)$为函数图象上的两点，则$y_1＜y_2$；③$2a-b=0$；
$b=0$；④$\frac{4ac-b^2}{4a}＜0$。
其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】此类问题常见题型有
①判断$a,b,c$的正负；
②判断与$a,b,c$相关的代数式；
③判断图象反映的性质；
④解决时需数形结合。
$b=0$；④$\frac{4ac-b^2}{4a}＜0$。
其中正确结论的个数是（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】此类问题常见题型有
①判断$a,b,c$的正负；
②判断与$a,b,c$相关的代数式；
③判断图象反映的性质；
④解决时需数形结合。
答案
B
【解析】由抛物线交y轴的正半轴,所以$c＞0$,故①正确;因为对称轴为直线$x=-1$,所以点$B(-\frac{3}{2},y_1)$距离对称轴较近,因为抛物线开口向下,所以$y_1＞y_2$,故②错误;因为对称轴为直线$x=-1$,所以$-\frac{b}{2a}=-1$,即$2a-b=0$,故③正确;由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点,所以$b^2-4ac＞0$即$4ac-b^2＜0$,因为$a＜0$,所以$\frac{4ac-b^2}{4a}＞0$,故④错误;综上,正确的结论是:①③,故选:B。
【解析】由抛物线交y轴的正半轴,所以$c＞0$,故①正确;因为对称轴为直线$x=-1$,所以点$B(-\frac{3}{2},y_1)$距离对称轴较近,因为抛物线开口向下,所以$y_1＞y_2$,故②错误;因为对称轴为直线$x=-1$,所以$-\frac{b}{2a}=-1$,即$2a-b=0$,故③正确;由函数图象可知抛物线与x轴有2个交点,所以$b^2-4ac＞0$即$4ac-b^2＜0$,因为$a＜0$,所以$\frac{4ac-b^2}{4a}＞0$,故④错误;综上,正确的结论是:①③,故选:B。
条件变式:二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$图象的一部分如图所示,给出下列命题:①$abc＜0$;②$2a+b=0$;③$3a+c=0$;④$m(am+b)≥a-b$(m为任意实数);⑤$b^2-4ac＜0$。其中正确的命题有
①③④
。答案
①③④
问题变式:如图,等腰直角三角形ABC与矩形DEFG在同一水平线上,AB=DE=2,DG=3,现将等腰直角三角形ABC沿箭头所指方向水平平移,平移距离x是自点C到达DE之时开始计算,至AB离开GF为止。等腰直角三角形ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y,则能大致反映y与x的函数关系的图象为 (
B
)答案
B
