12. 如图所示的是由边长为1的正方形组成的$3×4$网格，其中点$A,B,C$分别在格点(正方形的顶点)上，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

解:△ABC为等腰直角三角形。理由如下：
因为 $AC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, BC^2 = 1^2 + 3^3 = 10, AB^2 = 2^2 + 4^2 = 20,$
所以 $AC=BC,AB^2 = BC^2 + AC^2,$
所以△ABC为等腰直角三角形。

13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10$,$BC=6$,点$D$在$AC$上,$DE⊥ AB$,垂足为点$E$,且$AE=BE$,求$CD$的长。

13. 解:如图,连接BD,因为 $DE⊥AB$,
所以$∠AED=∠BED=90°$。
又因为 $AE=BE$,
所以$△ADE≌△BDE$(SAS),
所以 $AD=BD$。
在$△ABC$中,$∠C=90°,AB=10$,
$BC=6$,由勾股定理得 $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 64$,
所以 $AC=8$。
设 $AD=BD=x$,则 $CD=8-x$,
在$Rt△BCD$中,由勾股定理得$(8-x)^2 + 6^2 = x^2$,
解得 $x=\frac{25}{4}$,所以 $CD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$。

14. 某教学楼走廊的左右两侧是竖直的墙，走廊宽$AB=2.2\ \mathrm{m}$，一架梯子$OM$在走廊上斜靠在左墙上，梯子底端$O$到左墙的距离$OA=0.7\ \mathrm{m}$，顶端$M$到地面的距离$MA=2.4\ \mathrm{m}$。（图中所有点均在同一平面内）
(1)求梯子$OM$的长；
(2)如果保持底端位置$O$不动，将梯子斜靠在右墙上，求梯子顶端$N$距离地面的高度$NB$的长。

14. 解:(1)由题意知 $MA⊥AB$,所以$∠MAB=90°$。
在$Rt△MAO$中,因为 $OA=0.7\ \mathrm{m},MA=2.4\ \mathrm{m}$,
所以 $MO^2=MA^2+OA^2=2.4^2+0.7^2=6.25$,
所以 $OM=2.5\ \mathrm{m}$,即梯子 $OM$ 的长为 $2.5\ \mathrm{m}$。
(2)由题意知 $NB⊥AB$,所以$∠NBA=90°$。
在$Rt△NBO$中,$NB^2=NO^2-OB^2$。
因为 $AB=2.2\ \mathrm{m}$,
所以 $OB=AB-OA=1.5\ \mathrm{m}$,
所以 $NB^2=2.5^2-1.5^2=4$,所以 $NB=2\ \mathrm{m}$,
即梯子顶端 $N$ 距离地面的高度 $NB$ 的长为$2\ \mathrm{m}$。