登录
1. 将二次函数 $ y=\frac{1}{2}x^2 $ 的图象向右平移2个单位长度，则所得抛物线对应的函数表达式为（
A.$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2 $
B.$ y=\frac{1}{2}(x+2)^2 $
C.$ y=\frac{1}{2}x^2 -2 $
D.$ y=\frac{1}{2}x^2 +2 $
变式训练
图象的平移→坐标轴的平移
若抛物线 $ y=x^2 $ 不动，把y轴向右平移3个单位长度，则在新的平面直角坐标系中抛物线对应的函数表达式为
A
）A.$ y=\frac{1}{2}(x-2)^2 $
B.$ y=\frac{1}{2}(x+2)^2 $
C.$ y=\frac{1}{2}x^2 -2 $
D.$ y=\frac{1}{2}x^2 +2 $
变式训练
图象的平移→坐标轴的平移
若抛物线 $ y=x^2 $ 不动，把y轴向右平移3个单位长度，则在新的平面直角坐标系中抛物线对应的函数表达式为
$y=(x+3)^2$
.答案
1.A
【变式训练】$y=(x+3)^2$
【变式训练】$y=(x+3)^2$
解析
【分析】
解决原题需先掌握二次函数图象平移的核心规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是对自变量$x$进行调整，向左平移给$x$加平移距离，向右平移给$x$减平移距离；上下平移是对整个函数表达式加减平移距离。本题是向右平移2个单位，只需将原表达式中的$x$替换为$(x-2)$即可得到新的函数表达式。
解决变式训练要明确坐标轴平移和图象平移是相对的：$y$轴向右平移3个单位，等价于坐标系不动时抛物线向左平移3个单位，再套用“左加右减”的平移规律，将原表达式中的$x$替换为$(x+3)$就能得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
原题解析
二次函数图象左右平移遵循“针对自变量$x$，左加右减”的规律：
原函数为$y=\frac{1}{2}x^2$，向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，代入得新的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应选项A。
变式训练解析
$y$轴向右平移3个单位，等价于抛物线在原坐标系中向左平移3个单位，根据“左加右减”的规律，将原函数$y=x^2$中的$x$替换为$x+3$，得到新坐标系下的函数表达式为$y=(x+3)^2$。
【答案】
1.A；变式训练：$y=(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 坐标变换的相对性
【点评】
本题重点考察二次函数平移的“左加右减”规律，易错点在于平移时要注意是针对自变量$x$进行调整，变式题需要转换思考角度，将坐标轴的平移转化为函数图象的反向平移，避免直接套用口诀出现符号错误。
【难度系数】
0.7
解决原题需先掌握二次函数图象平移的核心规律：“左加右减，上加下减”，其中左右平移是对自变量$x$进行调整，向左平移给$x$加平移距离，向右平移给$x$减平移距离；上下平移是对整个函数表达式加减平移距离。本题是向右平移2个单位，只需将原表达式中的$x$替换为$(x-2)$即可得到新的函数表达式。
解决变式训练要明确坐标轴平移和图象平移是相对的：$y$轴向右平移3个单位，等价于坐标系不动时抛物线向左平移3个单位，再套用“左加右减”的平移规律，将原表达式中的$x$替换为$(x+3)$就能得到新坐标系下的函数表达式。
【解析】
原题解析
二次函数图象左右平移遵循“针对自变量$x$，左加右减”的规律：
原函数为$y=\frac{1}{2}x^2$，向右平移2个单位，将$x$替换为$x-2$，代入得新的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$，对应选项A。
变式训练解析
$y$轴向右平移3个单位，等价于抛物线在原坐标系中向左平移3个单位，根据“左加右减”的规律，将原函数$y=x^2$中的$x$替换为$x+3$，得到新坐标系下的函数表达式为$y=(x+3)^2$。
【答案】
1.A；变式训练：$y=(x+3)^2$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 坐标变换的相对性
【点评】
本题重点考察二次函数平移的“左加右减”规律，易错点在于平移时要注意是针对自变量$x$进行调整，变式题需要转换思考角度，将坐标轴的平移转化为函数图象的反向平移，避免直接套用口诀出现符号错误。
【难度系数】
0.7
2. [2024·阜阳期末]若抛物线$y=m(x+n)^2$向左平移2个单位长度后，得到的抛物线是$y=-2(x-3)^2$，则$m=$
$-2$
，$n=$$-5$
。答案
$m=-2$，$n=-5$
解析
【分析】
解题时首先明确二次函数图像平移的核心特点：平移仅改变图像位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数不变，可先确定m的值。再根据二次函数平移“左加右减”的规律（即向左平移时，将解析式中的x替换为x加平移单位），写出原抛物线平移后的解析式，与题目给出的平移后解析式对比，对应项相等即可列方程求出n的值。也可通过逆向思维，将平移后的抛物线向右平移2个单位得到原抛物线，再对应系数求n。
【解析】
1. 求m的值：
抛物线平移过程中，开口方向和大小不变，因此二次项系数不变，已知平移后抛物线为$y=-2(x-3)^2$，所以$m=-2$。
2. 求n的值：
原抛物线为$y=m(x+n)^2$，向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，将x替换为$x+2$，可得平移后的解析式为：
$y=m[(x+2)+n]^2 = m(x + n + 2)^2$
已知平移后的解析式为$y=-2(x-3)^2$，代入$m=-2$，可得对应项相等：
$x + n + 2 = x - 3$
化简得：$n + 2 = -3$，解得$n=-5$。
【答案】
$m=-2$，$n=-5$
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，核心考查对“左加右减，上加下减”平移规则的理解与应用，解题时需注意平移不改变二次项系数，避免漏看对应项关系出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确二次函数图像平移的核心特点：平移仅改变图像位置，不改变开口方向和大小，因此二次项系数不变，可先确定m的值。再根据二次函数平移“左加右减”的规律（即向左平移时，将解析式中的x替换为x加平移单位），写出原抛物线平移后的解析式，与题目给出的平移后解析式对比，对应项相等即可列方程求出n的值。也可通过逆向思维，将平移后的抛物线向右平移2个单位得到原抛物线，再对应系数求n。
【解析】
1. 求m的值：
抛物线平移过程中，开口方向和大小不变，因此二次项系数不变，已知平移后抛物线为$y=-2(x-3)^2$，所以$m=-2$。
2. 求n的值：
原抛物线为$y=m(x+n)^2$，向左平移2个单位长度，根据“左加右减”的平移规则，将x替换为$x+2$，可得平移后的解析式为：
$y=m[(x+2)+n]^2 = m(x + n + 2)^2$
已知平移后的解析式为$y=-2(x-3)^2$，代入$m=-2$，可得对应项相等：
$x + n + 2 = x - 3$
化简得：$n + 2 = -3$，解得$n=-5$。
【答案】
$m=-2$，$n=-5$
【知识点】
1. 二次函数图像平移规律
2. 二次函数顶点式的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础常考题，核心考查对“左加右减，上加下减”平移规则的理解与应用，解题时需注意平移不改变二次项系数，避免漏看对应项关系出错。
【难度系数】
0.8
3.若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是（
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
D
）A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
3.D
解析
【分析】
解题思路一（代入验证法）：首先根据点在抛物线上的性质，点的坐标满足抛物线解析式，先得到n与a、m的关系$n=am^2$；再将各选项的横坐标代入抛物线$y=a(x+1)^2$，计算对应的函数值，判断是否和选项的纵坐标相等即可。
解题思路二（图象平移法）：抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位得到的，图象平移时所有点的平移规律一致：向左平移1个单位时，点的横坐标减1，纵坐标不变，据此可直接得到原抛物线上点P平移后的对应点坐标。
【解析】
方法1：代入验证
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上
∴将$x=m$，$y=n$代入得：$n = a· m^2$
逐一验证选项：
A. 将$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n+1$，故A错误；
B. 将$x=m+1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+2)^2≠n$，故B错误；
C. 将$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n-1$，故C错误；
D. 将$x=m-1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m-1+1)^2=a· m^2=n$，故D正确。
方法2：平移法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”，原抛物线上的点$P(m,n)$向左平移1个单位后，横坐标变为$m-1$，纵坐标不变，即对应点为$(m-1,n)$，该点在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都很常用，代入验证法思路直接容易理解，平移法解题速度更快，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路一（代入验证法）：首先根据点在抛物线上的性质，点的坐标满足抛物线解析式，先得到n与a、m的关系$n=am^2$；再将各选项的横坐标代入抛物线$y=a(x+1)^2$，计算对应的函数值，判断是否和选项的纵坐标相等即可。
解题思路二（图象平移法）：抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位得到的，图象平移时所有点的平移规律一致：向左平移1个单位时，点的横坐标减1，纵坐标不变，据此可直接得到原抛物线上点P平移后的对应点坐标。
【解析】
方法1：代入验证
∵点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2$上
∴将$x=m$，$y=n$代入得：$n = a· m^2$
逐一验证选项：
A. 将$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n+1$，故A错误；
B. 将$x=m+1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+2)^2≠n$，故B错误；
C. 将$x=m$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m+1)^2≠n-1$，故C错误；
D. 将$x=m-1$代入$y=a(x+1)^2$，得$y=a(m-1+1)^2=a· m^2=n$，故D正确。
方法2：平移法
抛物线$y=a(x+1)^2$是由$y=ax^2$向左平移1个单位长度得到，根据点的平移规律“左减右加，上加下减”，原抛物线上的点$P(m,n)$向左平移1个单位后，横坐标变为$m-1$，纵坐标不变，即对应点为$(m-1,n)$，该点在抛物线$y=a(x+1)^2$上。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，两种解题方法都很常用，代入验证法思路直接容易理解，平移法解题速度更快，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.将抛物线$y=2x^2$沿$x$轴向右平移3个单位长度，则平移后的抛物线与$x$轴和$y$轴的交点坐标分别为
$(3,0)$
，$(0,18)$
。答案
交点坐标分别为$(3,0)$、$(0,18)$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：沿x轴平移时遵循“左加右减”规则，即向右平移n个单位，将原解析式中的x替换为(x-n)，先求出平移后的抛物线解析式；再根据坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入平移后的解析式求解，即可得到对应的交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
抛物线$y=2x^2$沿x轴向右平移3个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后的解析式为：
$y=2(x-3)^2$
2. 求平移后抛物线与x轴的交点坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则：
$2(x-3)^2=0$
解得$x=3$，因此与x轴的交点坐标为$(3,0)$。
3. 求平移后抛物线与y轴的交点坐标：
y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，代入解析式得：
$y=2×(0-3)^2=2×9=18$
因此与y轴的交点坐标为$(0,18)$。
【答案】
$(3,0)$、$(0,18)$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数与坐标轴交点的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移的基本规则以及坐标轴上点的坐标特征的应用，掌握平移规律和交点求解方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：沿x轴平移时遵循“左加右减”规则，即向右平移n个单位，将原解析式中的x替换为(x-n)，先求出平移后的抛物线解析式；再根据坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入平移后的解析式求解，即可得到对应的交点坐标。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
抛物线$y=2x^2$沿x轴向右平移3个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后的解析式为：
$y=2(x-3)^2$
2. 求平移后抛物线与x轴的交点坐标：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，则：
$2(x-3)^2=0$
解得$x=3$，因此与x轴的交点坐标为$(3,0)$。
3. 求平移后抛物线与y轴的交点坐标：
y轴上的点横坐标为0，令$x=0$，代入解析式得：
$y=2×(0-3)^2=2×9=18$
因此与y轴的交点坐标为$(0,18)$。
【答案】
$(3,0)$、$(0,18)$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数与坐标轴交点的求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数平移的基本规则以及坐标轴上点的坐标特征的应用，掌握平移规律和交点求解方法即可快速得分。
【难度系数】
0.8
5. 在平面直角坐标系中，二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$的图象可能是（
D
）答案
5.D
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：第一步先看二次项系数$a$的符号，判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，再次排除不符合的选项；第三步也可以代入特殊点（比如x=0时的y值，即与y轴的交点）验证，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，排除B；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=2$，因此抛物线顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项C的顶点在y轴（x=0处），不符合，排除C；
选项A的抛物线过原点$(0,0)$，将x=0代入函数得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2≠0$，即函数与y轴交点为$(0,2)$，与A不符，排除A；
3. 选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，且与y轴交于正半轴，完全符合函数性质。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断；二次函数开口方向
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，结合排除法即可快速得到答案，也可通过代入特殊点验证的方法提升准确率。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的相关性质：第一步先看二次项系数$a$的符号，判断抛物线的开口方向，排除不符合的选项；第二步根据顶点式确定顶点坐标，再次排除不符合的选项；第三步也可以代入特殊点（比如x=0时的y值，即与y轴的交点）验证，最终确定正确选项。
【解析】
1. 判断开口方向：二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$中，二次项系数$a=\frac{1}{2}＞0$，因此抛物线开口向上，选项B开口向下，排除B；
2. 确定顶点坐标：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=2$，因此抛物线顶点坐标为$(2,0)$，即顶点在x轴正半轴上：
选项C的顶点在y轴（x=0处），不符合，排除C；
选项A的抛物线过原点$(0,0)$，将x=0代入函数得$y=\frac{1}{2}×(0-2)^2=2≠0$，即函数与y轴交点为$(0,2)$，与A不符，排除A；
3. 选项D开口向上，顶点在x轴正半轴，且与y轴交于正半轴，完全符合函数性质。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象判断；二次函数开口方向
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，解题核心是熟练掌握顶点式二次函数的开口方向、顶点坐标等性质，结合排除法即可快速得到答案，也可通过代入特殊点验证的方法提升准确率。
【难度系数】
0.8
6. 下列二次函数中,其图象的对称轴为直线$x=2$的是 (
A.$y=x^2 -2$
B.$y=-x^2 +2$
C.$y=-(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
C
)A.$y=x^2 -2$
B.$y=-x^2 +2$
C.$y=-(x-2)^2$
D.$y=(x+2)^2$
答案
6.C
解析
【分析】
要选出对称轴为直线$x=2$的二次函数，我们可以先回忆二次函数不同表达形式对应的对称轴计算方法：①对于一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；②对于顶点式$y=a(x-h)^2(a≠0)$，对称轴为直线$x=h$。接下来我们逐一计算四个选项的对称轴，对比选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们分别计算每个选项对应的二次函数对称轴：
A选项：$y=x^2-2$是一般式，其中$a=1,b=0,c=-2$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$，不符合要求；
B选项：$y=-x^2+2$是一般式，其中$a=-1,b=0,c=2$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×(-1)}=0$，不符合要求；
C选项：$y=-(x-2)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=2$，对称轴为直线$x=h=2$，符合要求；
D选项：$y=(x+2)^2$可变形为$y=(x-(-2))^2$，即顶点式中$h=-2$，对称轴为直线$x=-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握不同形式二次函数对称轴的计算方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
要选出对称轴为直线$x=2$的二次函数，我们可以先回忆二次函数不同表达形式对应的对称轴计算方法：①对于一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$；②对于顶点式$y=a(x-h)^2(a≠0)$，对称轴为直线$x=h$。接下来我们逐一计算四个选项的对称轴，对比选出符合要求的选项即可。
【解析】
我们分别计算每个选项对应的二次函数对称轴：
A选项：$y=x^2-2$是一般式，其中$a=1,b=0,c=-2$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×1}=0$，不符合要求；
B选项：$y=-x^2+2$是一般式，其中$a=-1,b=0,c=2$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×(-1)}=0$，不符合要求；
C选项：$y=-(x-2)^2$是顶点式$y=a(x-h)^2$的形式，其中$h=2$，对称轴为直线$x=h=2$，符合要求；
D选项：$y=(x+2)^2$可变形为$y=(x-(-2))^2$，即顶点式中$h=-2$，对称轴为直线$x=-2$，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数顶点式性质
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，解题关键是熟练掌握不同形式二次函数对称轴的计算方法，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
7. 顶点为$(-5,0)$，且开口方向、形状与函数$y=-2x^2$的图象相同的抛物线是（
A.$y=-2(x-5)^2$
B.$y=-2x^2 -5$
C.$y=-2(x+5)^2$
D.$y=2(x+5)^2$
C
）A.$y=-2(x-5)^2$
B.$y=-2x^2 -5$
C.$y=-2(x+5)^2$
D.$y=2(x+5)^2$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，明确抛物线的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，要和$y=-2x^2$的图象相同，首先确定a的取值，排除不符合的选项；第二步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$求出h的值，即可得到对应抛物线解析式，选出正确选项。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
抛物线的开口方向和形状由二次项系数a决定，已知所求抛物线与$y=-2x^2$的开口方向、形状相同，因此$a=-2$，可排除$a=2$的D选项。
2. 结合顶点坐标求解析式：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$。已知所求抛物线顶点为$(-5,0)$，因此$h=-5$，将$a=-2$、$h=-5$代入顶点式得：
$y=-2(x - (-5))^2 = -2(x+5)^2$
其余选项中，A选项$y=-2(x-5)^2$的顶点为$(5,0)$，B选项$y=-2x^2-5$的顶点为$(0,-5)$，均不符合要求，因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象与系数的关系，二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基本应用，解题核心是掌握“a决定抛物线开口方向和形状”以及顶点式中各参数对应图象的性质，属于对基础知识点的考查，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可分两步思考：第一步，明确抛物线的开口方向、形状仅由二次项系数a决定，要和$y=-2x^2$的图象相同，首先确定a的取值，排除不符合的选项；第二步，回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，结合题目给出的顶点坐标$(-5,0)$求出h的值，即可得到对应抛物线解析式，选出正确选项。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
抛物线的开口方向和形状由二次项系数a决定，已知所求抛物线与$y=-2x^2$的开口方向、形状相同，因此$a=-2$，可排除$a=2$的D选项。
2. 结合顶点坐标求解析式：
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2$，其顶点坐标为$(h,0)$。已知所求抛物线顶点为$(-5,0)$，因此$h=-5$，将$a=-2$、$h=-5$代入顶点式得：
$y=-2(x - (-5))^2 = -2(x+5)^2$
其余选项中，A选项$y=-2(x-5)^2$的顶点为$(5,0)$，B选项$y=-2x^2-5$的顶点为$(0,-5)$，均不符合要求，因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式，二次函数图象与系数的关系，二次函数顶点坐标
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基本应用，解题核心是掌握“a决定抛物线开口方向和形状”以及顶点式中各参数对应图象的性质，属于对基础知识点的考查，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. [与T12互为孪生题]已知二次函数$y=2(x+h)^2$，当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜3$时，$y$随$x$的增大而减小，则当$x=1$时，$y$的值为
$8$
。答案
8.8
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2$的基本性质：该形式的二次函数开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=m$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
本题中给出的函数增减性特征刚好符合开口向上的二次函数在对称轴两侧的变化规律，因此可以先根据增减性确定对称轴的位置，再求出参数$h$的值，最后代入$x=1$计算$y$的值即可。
【解析】
1. 确定二次函数的对称轴：
二次函数$y=2(x+h)^2$可变形为$y=2(x-(-h))^2$，因此它的对称轴为直线$x=-h$。
已知$a=2＞0$，抛物线开口向上，结合题中“$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大，$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小”的性质，可得该抛物线的对称轴为直线$x=3$。
2. 求参数$h$：
由对称轴为$x=3$，可得$-h=3$，解得$h=-3$。
因此二次函数的解析式为$y=2(x-3)^2$。
3. 代入$x=1$计算$y$的值：
把$x=1$代入解析式得：
$y=2×(1-3)^2=2×(-2)^2=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式的图象与性质，解题的关键是根据函数的增减性准确判断出对称轴的位置，属于基础类题型，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-m)^2$的基本性质：该形式的二次函数开口方向由$a$的符号决定，对称轴为直线$x=m$；当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大。
本题中给出的函数增减性特征刚好符合开口向上的二次函数在对称轴两侧的变化规律，因此可以先根据增减性确定对称轴的位置，再求出参数$h$的值，最后代入$x=1$计算$y$的值即可。
【解析】
1. 确定二次函数的对称轴：
二次函数$y=2(x+h)^2$可变形为$y=2(x-(-h))^2$，因此它的对称轴为直线$x=-h$。
已知$a=2＞0$，抛物线开口向上，结合题中“$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大，$x＜3$时$y$随$x$的增大而减小”的性质，可得该抛物线的对称轴为直线$x=3$。
2. 求参数$h$：
由对称轴为$x=3$，可得$-h=3$，解得$h=-3$。
因此二次函数的解析式为$y=2(x-3)^2$。
3. 代入$x=1$计算$y$的值：
把$x=1$代入解析式得：
$y=2×(1-3)^2=2×(-2)^2=2×4=8$
【答案】
8
【知识点】
二次函数顶点式性质、二次函数增减性、二次函数对称轴
【点评】
本题主要考查二次函数顶点式的图象与性质，解题的关键是根据函数的增减性准确判断出对称轴的位置，属于基础类题型，熟练掌握二次函数的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.已知抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=-2$，且经过点$(1,-3)$。
(1)求此抛物线对应的函数表达式。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出上述二次函数图象的草图。
(3)从图象上观察，当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是什么？当$x$取何值时，该函数有最值？
(1)求此抛物线对应的函数表达式。
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出上述二次函数图象的草图。
(3)从图象上观察，当$y$随$x$的增大而增大时，$x$的取值范围是什么？当$x$取何值时，该函数有最值？
答案
(1)此抛物线对应的函数表达式为 $y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2)图略。
(3)当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-2$时，该函数有最大值。
(2)图略。
(3)当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-2$时，该函数有最大值。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，结合题目给出的对称轴$x=-2$可先确定$h$的值，再将已知点$(1,-3)$代入解析式即可求出$a$的值，得到函数表达式。
(2) 画二次函数草图时，先确定顶点坐标、对称轴、开口方向，再取几组对称点，用平滑曲线连接即可。
(3) 根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可判断函数的增减性和最值对应的$x$取值。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，已知对称轴为直线$x=-2$，
$\therefore h=-2$，即抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入解析式，得：
$-3=a×(1+2)^2$，即$9a=-3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 画草图步骤：①确定顶点坐标为$(-2,0)$，对称轴为直线$x=-2$；②由$a=-\frac{1}{3}＜0$可知抛物线开口向下；③取对称点如$(1,-3)$和$(-5,-3)$、$(0,-\frac{4}{3})$和$(-4,-\frac{4}{3})$，用平滑曲线顺次连接顶点和上述点即可，图象略。
(3) $\because a=-\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，
$\therefore$ 在对称轴左侧，即$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
$\because$ 开口向下的抛物线顶点为最高点，
$\therefore$ 当$x=-2$时，该函数有最大值。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$
(2) 图略
(3) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-2$时，该函数有最大值。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=a(x-h)^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数的意义、二次函数增减性和最值的判断，熟练掌握顶点式的性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线为顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，结合题目给出的对称轴$x=-2$可先确定$h$的值，再将已知点$(1,-3)$代入解析式即可求出$a$的值，得到函数表达式。
(2) 画二次函数草图时，先确定顶点坐标、对称轴、开口方向，再取几组对称点，用平滑曲线连接即可。
(3) 根据$a$的正负判断抛物线开口方向，结合对称轴即可判断函数的增减性和最值对应的$x$取值。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x-h)^2$的对称轴为直线$x=h$，已知对称轴为直线$x=-2$，
$\therefore h=-2$，即抛物线解析式可写为$y=a(x+2)^2$。
将点$(1,-3)$代入解析式，得：
$-3=a×(1+2)^2$，即$9a=-3$，
解得$a=-\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$。
(2) 画草图步骤：①确定顶点坐标为$(-2,0)$，对称轴为直线$x=-2$；②由$a=-\frac{1}{3}＜0$可知抛物线开口向下；③取对称点如$(1,-3)$和$(-5,-3)$、$(0,-\frac{4}{3})$和$(-4,-\frac{4}{3})$，用平滑曲线顺次连接顶点和上述点即可，图象略。
(3) $\because a=-\frac{1}{3}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-2$，
$\therefore$ 在对称轴左侧，即$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；
$\because$ 开口向下的抛物线顶点为最高点，
$\therefore$ 当$x=-2$时，该函数有最大值。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{3}(x+2)^2$
(2) 图略
(3) 当$x＜-2$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x=-2$时，该函数有最大值。
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=a(x-h)^2$的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查顶点式中参数的意义、二次函数增减性和最值的判断，熟练掌握顶点式的性质就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
