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10. 已知抛物线 $y=-(x+4)^2$ 上两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$. 若 $x_1＞x_2＞-4$，则下列关系正确的是（
A.$0＜y_1＜y_2$
B.$0＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜0$
D.$y_1＜y_2＜0$
D
）A.$0＜y_1＜y_2$
B.$0＜y_2＜y_1$
C.$y_2＜y_1＜0$
D.$y_1＜y_2＜0$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：先根据$a$的符号判断开口方向，再确定对称轴和增减性，最后结合已知的$x_1、x_2$的取值范围，判断$y_1、y_2$的大小关系和正负性。第一步先看本题抛物线的$a=-1＜0$，可得开口向下，对称轴为直线$x=-4$，顶点在$(-4,0)$，因此$x＞-4$时$y$随$x$增大而减小，且所有函数值都小于0（仅顶点处取0）；第二步结合$x_1＞x_2＞-4$，利用增减性即可判断$y_1、y_2$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-(x+4)^2$：
1. 由$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(-4,0)$，对称轴为直线$x=-4$；
2. 可得性质：当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而减小，且$y＜0$（因$x≠-4$，函数值取不到0）；
3. 已知$x_1＞x_2＞-4$，根据上述增减性可得$y_1＜y_2$，且$y_1＜y_2＜0$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，核心是通过顶点式快速确定抛物线的开口方向、对称轴，进而利用增减性判断函数值大小，熟练掌握顶点式对应的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的基本性质：先根据$a$的符号判断开口方向，再确定对称轴和增减性，最后结合已知的$x_1、x_2$的取值范围，判断$y_1、y_2$的大小关系和正负性。第一步先看本题抛物线的$a=-1＜0$，可得开口向下，对称轴为直线$x=-4$，顶点在$(-4,0)$，因此$x＞-4$时$y$随$x$增大而减小，且所有函数值都小于0（仅顶点处取0）；第二步结合$x_1＞x_2＞-4$，利用增减性即可判断$y_1、y_2$的大小。
【解析】
对于抛物线$y=-(x+4)^2$：
1. 由$a=-1＜0$，可知抛物线开口向下，顶点坐标为$(-4,0)$，对称轴为直线$x=-4$；
2. 可得性质：当$x＞-4$时，$y$随$x$的增大而减小，且$y＜0$（因$x≠-4$，函数值取不到0）；
3. 已知$x_1＞x_2＞-4$，根据上述增减性可得$y_1＜y_2$，且$y_1＜y_2＜0$。
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数增减性
3. 函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用考题，核心是通过顶点式快速确定抛物线的开口方向、对称轴，进而利用增减性判断函数值大小，熟练掌握顶点式对应的图象性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
变式训练
点在对称轴同侧→点在对称轴异侧
已知点$A(-4,y_{1}),B(-3,y_{2}),C(3,y_{3})$在抛物线$y=2(x+2)^{2}$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为
点在对称轴同侧→点在对称轴异侧
已知点$A(-4,y_{1}),B(-3,y_{2}),C(3,y_{3})$在抛物线$y=2(x+2)^{2}$上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系为
$y_2＜y_1＜y_3$
.(用“＜”连接)答案
【变式训练】$y_2＜y_1＜y_3$
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是利用二次函数的性质，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再通过点到对称轴的距离判断函数值大小，开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；二是直接将各点横坐标代入解析式，算出对应的函数值后再比较大小，两种方法都符合九年级知识要求，思路清晰易操作。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
抛物线$y=2(x+2)^2$是顶点式，其中$a=2＞0$，对称轴为直线$x=-2$。
因为$a＞0$，抛物线开口向上，所以抛物线上的点到对称轴$x=-2$的距离越远，对应的函数值$y$越大。
计算三个点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-4-(-2)|=2$
点$B(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$
点$C(3,y_3)$到$x=-2$的距离：$|3-(-2)|=5$
因为$1＜2＜5$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算函数值：
当$x=-4$时，$y_1=2×(-4+2)^2=2×4=8$
当$x=-3$时，$y_2=2×(-3+2)^2=2×1=2$
当$x=3$时，$y_3=2×(3+2)^2=2×25=50$
因为$2＜8＜50$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都很常用，其中利用“开口方向+点到对称轴距离”的方法不需要复杂计算，能更快速得出结果，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.7
要比较抛物线上三个点的函数值大小，有两种常用思路：一是利用二次函数的性质，先确定抛物线的开口方向和对称轴，再通过点到对称轴的距离判断函数值大小，开口向上时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；二是直接将各点横坐标代入解析式，算出对应的函数值后再比较大小，两种方法都符合九年级知识要求，思路清晰易操作。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
抛物线$y=2(x+2)^2$是顶点式，其中$a=2＞0$，对称轴为直线$x=-2$。
因为$a＞0$，抛物线开口向上，所以抛物线上的点到对称轴$x=-2$的距离越远，对应的函数值$y$越大。
计算三个点到对称轴的距离：
点$A(-4,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-4-(-2)|=2$
点$B(-3,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$
点$C(3,y_3)$到$x=-2$的距离：$|3-(-2)|=5$
因为$1＜2＜5$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二：代入计算法
将三个点的横坐标分别代入解析式计算函数值：
当$x=-4$时，$y_1=2×(-4+2)^2=2×4=8$
当$x=-3$时，$y_2=2×(-3+2)^2=2×1=2$
当$x=3$时，$y_3=2×(3+2)^2=2×25=50$
因为$2＜8＜50$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都很常用，其中利用“开口方向+点到对称轴距离”的方法不需要复杂计算，能更快速得出结果，建议熟练掌握该技巧。
【难度系数】
0.7
11. [易错题]若二次函数$y=(m+2)(x-m)^2$（$m$是常数）的图象如图所示，则$m$的取值范围是（
A.$m＜0$
B.$m＜-2$
C.$m＞-2$
D.$-2＜m＜0$
B
）A.$m＜0$
B.$m＜-2$
C.$m＞-2$
D.$-2＜m＜0$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时需结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质分步推导：第一步先判断开口方向，图像开口向下，说明二次项系数$a＜0$，据此列不等式求出$m$的第一个范围；第二步看顶点位置，该式的顶点坐标为$(h,0)$，由图可知顶点在$x$轴负半轴，因此$h＜0$，得到$m$的第二个范围，最后取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
对于二次函数$y=(m+2)(x-m)^2$：
1. 由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$m+2＜0$，解得$m＜-2$
2. 该函数顶点式中$h=m$，顶点坐标为$(m,0)$，由图像得顶点在$x$轴负半轴，因此$m＜0$
3. 取两个解集的公共部分，$m＜-2$已经满足$m＜0$，因此$m$的取值范围是$m＜-2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用题，需要结合图像特征对应解析式中参数的符号，易错点是容易只关注顶点位置忽略开口方向对二次项系数的要求，从而误选其他选项。
【难度系数】
0.6
解题时需结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质分步推导：第一步先判断开口方向，图像开口向下，说明二次项系数$a＜0$，据此列不等式求出$m$的第一个范围；第二步看顶点位置，该式的顶点坐标为$(h,0)$，由图可知顶点在$x$轴负半轴，因此$h＜0$，得到$m$的第二个范围，最后取两个范围的公共部分即可得到最终结果。
【解析】
对于二次函数$y=(m+2)(x-m)^2$：
1. 由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数小于0，即：
$m+2＜0$，解得$m＜-2$
2. 该函数顶点式中$h=m$，顶点坐标为$(m,0)$，由图像得顶点在$x$轴负半轴，因此$m＜0$
3. 取两个解集的公共部分，$m＜-2$已经满足$m＜0$，因此$m$的取值范围是$m＜-2$
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图像与系数的关系
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础应用题，需要结合图像特征对应解析式中参数的符号，易错点是容易只关注顶点位置忽略开口方向对二次项系数的要求，从而误选其他选项。
【难度系数】
0.6
12. [与 T8 互为孪生题]已知二次函数 $y=2(x-h)^2$，当 $x＞3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $h$ 的取值范围是
$h≤ 3$
。答案
12.$h≤ 3$
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧（即$x≥ h$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中$a=2＞0$，要满足$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞3$的区间必须全部落在对称轴的右侧区域，因此对称轴$x=h$不能大于3，否则3到h之间的x值会在对称轴左侧，不满足增减性要求，同时注意端点h=3时也符合条件，即可推出h的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-h)^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x≥ h$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，因此区间$x＞3$需包含在$x≥ h$的范围内，可得$h≤ 3$。
【答案】
$h≤ 3$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题关键是根据开口方向确定函数的增减区间，易错点是容易忽略h=3的情况漏写等号，判断取值范围时要结合区间的包含关系验证端点是否可取。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数$y=a(x-h)^2$的图象性质：当$a＞0$时，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=h$，在对称轴右侧（即$x≥ h$时），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。本题中$a=2＞0$，要满足$x＞3$时$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞3$的区间必须全部落在对称轴的右侧区域，因此对称轴$x=h$不能大于3，否则3到h之间的x值会在对称轴左侧，不满足增减性要求，同时注意端点h=3时也符合条件，即可推出h的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=2(x-h)^2$：
1. 由$a=2＞0$，可知抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=h$；
3. 开口向上的抛物线中，当$x≥ h$时，$y$随$x$的增大而增大；
4. 题目要求当$x＞3$时，$y$随$x$的增大而增大，因此区间$x＞3$需包含在$x≥ h$的范围内，可得$h≤ 3$。
【答案】
$h≤ 3$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，解题关键是根据开口方向确定函数的增减区间，易错点是容易忽略h=3的情况漏写等号，判断取值范围时要结合区间的包含关系验证端点是否可取。
【难度系数】
0.7
13. [数形结合思想]对于函数$y=(x-2)^2$，当自变量$x$满足$a≤x≤3$时，函数值$y$的取值范围为$0≤y≤1$，则$a$的取值范围为
$1≤ a≤ 2$
。答案
13.$1≤ a≤ 2$
解析
【分析】
首先分析二次函数$y=(x-2)^2$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$，因此函数最小值为0，在$x=2$处取得。接下来找到函数值$y=1$对应的自变量$x$的取值，再结合题目给出的$x$的区间$a≤x≤3$和$y$的取值范围$0≤y≤1$，逐步推导$a$的取值边界：一方面要保证区间内可取到$y=0$，另一方面要保证区间内所有点的函数值不超过1，即可确定$a$的范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2$：
1. 性质分析：函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值$0$。
2. 求$y=1$时对应的$x$值：
令$y=1$，则$(x-2)^2=1$，
开平方得$x-2=\pm1$，
解得$x=1$或$x=3$。
3. 结合区间推导$a$的范围：
已知当$a≤x≤3$时，$0≤y≤1$：
① 要使$y$可取到最小值$0$，则$x=2$必须在区间$[a,3]$内，因此$a≤2$；
② 要使$y$的最大值不超过$1$，则区间左端点$a$不能小于$1$（若$a＜1$，则$x=a$时$y＞1$，不符合取值范围），因此$a≥1$。
综上，$a$的取值范围为$1≤a≤2$。
【答案】
$1≤a≤2$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数区间取值范围；一元二次方程求解
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，需要结合函数图象分析区间内的取值情况，体现了数形结合思想的应用，解题的关键是先求出函数取边界值时对应的自变量取值，再结合区间限制确定参数的范围。
【难度系数】
0.6
首先分析二次函数$y=(x-2)^2$的基本性质：该函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$，因此函数最小值为0，在$x=2$处取得。接下来找到函数值$y=1$对应的自变量$x$的取值，再结合题目给出的$x$的区间$a≤x≤3$和$y$的取值范围$0≤y≤1$，逐步推导$a$的取值边界：一方面要保证区间内可取到$y=0$，另一方面要保证区间内所有点的函数值不超过1，即可确定$a$的范围。
【解析】
对于二次函数$y=(x-2)^2$：
1. 性质分析：函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,0)$，因此当$x=2$时，$y$取得最小值$0$。
2. 求$y=1$时对应的$x$值：
令$y=1$，则$(x-2)^2=1$，
开平方得$x-2=\pm1$，
解得$x=1$或$x=3$。
3. 结合区间推导$a$的范围：
已知当$a≤x≤3$时，$0≤y≤1$：
① 要使$y$可取到最小值$0$，则$x=2$必须在区间$[a,3]$内，因此$a≤2$；
② 要使$y$的最大值不超过$1$，则区间左端点$a$不能小于$1$（若$a＜1$，则$x=a$时$y＞1$，不符合取值范围），因此$a≥1$。
综上，$a$的取值范围为$1≤a≤2$。
【答案】
$1≤a≤2$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数区间取值范围；一元二次方程求解
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，需要结合函数图象分析区间内的取值情况，体现了数形结合思想的应用，解题的关键是先求出函数取边界值时对应的自变量取值，再结合区间限制确定参数的范围。
【难度系数】
0.6
14.已知抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，且经过点$A(-2,-\frac{1}{2})$。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)抛物线是否经过点$B(2,-2)$？若经过，请说明理由；若不经过，应怎样沿$x$轴平移，才能使它经过点$B$？
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)抛物线是否经过点$B(2,-2)$？若经过，请说明理由；若不经过，应怎样沿$x$轴平移，才能使它经过点$B$？
答案
(1)$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2)将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，得$y=-\frac{9}{2}≠ -2$，$\therefore$抛物线不经过点$B(2,-2)$。
根据题意，设平移后函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$。
将点$B(2,-2)$代入，得$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$，解得 $m=-1$ 或 $m=-5$，$\therefore$抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可经过点$B$。
(2)将$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，得$y=-\frac{9}{2}≠ -2$，$\therefore$抛物线不经过点$B(2,-2)$。
根据题意，设平移后函数的表达式为 $y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$。
将点$B(2,-2)$代入，得$-2=-\frac{1}{2}(2+1+m)^2$，解得 $m=-1$ 或 $m=-5$，$\therefore$抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可经过点$B$。
解析
【分析】
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$中，顶点的横坐标就是$h$的值，先由已知顶点坐标确定$h$，再将点$A$的坐标代入解析式求解系数$a$，即可得到函数表达式。
(2) 判断抛物线是否经过点$B$，只需将点$B$的横坐标代入原解析式，计算对应$y$值，和点$B$的纵坐标比较即可；若不经过，沿$x$轴平移遵循“左加右减”的规律，设平移后的解析式，代入点$B$坐标求解平移参数，即可确定平移方案。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，
$\therefore h=-1$，抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\frac{1}{2})$代入得：$-\frac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
(2) 把$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，得：
$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}≠-2$，
$\therefore$抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设抛物线沿$x$轴平移$m$个单位长度后的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$（$m＞0$为向左平移，$m＜0$为向右平移），
将$B(2,-2)$代入得：$-2=-\frac{1}{2}×(2+1+m)^2$，
整理得$(3+m)^2=4$，
解得$m=-1$或$m=-5$，
即抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度可经过点$B$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2)抛物线不经过点$B(2,-2)$，向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可经过点$B$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查了待定系数法求解析式、函数图象平移规律，解题核心是熟练掌握顶点式的特点和“左加右减”的平移规则，注意沿x轴平移时有两种符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$中，顶点的横坐标就是$h$的值，先由已知顶点坐标确定$h$，再将点$A$的坐标代入解析式求解系数$a$，即可得到函数表达式。
(2) 判断抛物线是否经过点$B$，只需将点$B$的横坐标代入原解析式，计算对应$y$值，和点$B$的纵坐标比较即可；若不经过，沿$x$轴平移遵循“左加右减”的规律，设平移后的解析式，代入点$B$坐标求解平移参数，即可确定平移方案。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(-1,0)$，
$\therefore h=-1$，抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2$，
将点$A(-2,-\frac{1}{2})$代入得：$-\frac{1}{2}=a·(-2+1)^2$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$。
(2) 把$x=2$代入$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$，得：
$y=-\frac{1}{2}×(2+1)^2=-\frac{9}{2}≠-2$，
$\therefore$抛物线不经过点$B(2,-2)$。
设抛物线沿$x$轴平移$m$个单位长度后的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+1+m)^2$（$m＞0$为向左平移，$m＜0$为向右平移），
将$B(2,-2)$代入得：$-2=-\frac{1}{2}×(2+1+m)^2$，
整理得$(3+m)^2=4$，
解得$m=-1$或$m=-5$，
即抛物线向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度可经过点$B$。
【答案】
(1)$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$
(2)抛物线不经过点$B(2,-2)$，向右平移1个单位长度或向右平移5个单位长度即可经过点$B$。
【知识点】
二次函数顶点式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象平移
【点评】
本题属于二次函数基础题，考查了待定系数法求解析式、函数图象平移规律，解题核心是熟练掌握顶点式的特点和“左加右减”的平移规则，注意沿x轴平移时有两种符合条件的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
15.[新课标—探究题]如图,已知点$A(-5,8)$和点$B(1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上.
(1)①求$a$和$n$的值；
②若抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$C$,连接$AB,BC,AC$,判断$△ ABC$的形状.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$PA+PB$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
(1)①求$a$和$n$的值；
②若抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$C$,连接$AB,BC,AC$,判断$△ ABC$的形状.
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$PA+PB$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
答案
(1)①$a=\frac{1}{2}$，$n=2$。
②由①得 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$\therefore$顶点$C$的坐标为$(-1,0)$。
$\because AC=\sqrt{(-1+5)^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1+1)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{(1+5)^2+(2-8)^2}=6\sqrt{2}$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，$\therefore△ ABC$ 是直角三角形。
(2)存在. 点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{1}{5},0)$。
②由①得 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$\therefore$顶点$C$的坐标为$(-1,0)$。
$\because AC=\sqrt{(-1+5)^2+8^2}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1+1)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{(1+5)^2+(2-8)^2}=6\sqrt{2}$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，$\therefore△ ABC$ 是直角三角形。
(2)存在. 点 $P$ 的坐标为 $(-\frac{1}{5},0)$。
解析
【分析】
(1)①求参数a和n可采用待定系数法：先将已知点A的坐标代入抛物线解析式求出a，再将点B的横坐标代入已得的抛物线解析式，即可算出n的值；②判断△ABC的形状，首先要确定抛物线顶点C的坐标，再用两点间距离公式分别求出AB、BC、AC的长度，最后通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
(2)求x轴上使PA+PB最小的点P属于将军饮马类最短路径问题，解题思路是作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，求出对称点与另一个点所在直线的解析式，该直线和x轴的交点就是所求的点P。
【解析】
(1)①将点$A(-5,8)$代入抛物线$y=a(x+1)^2$可得：
$8=a(-5+1)^2$，即$8=16a$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，
将点$B(1,n)$代入上述解析式得：$n=\frac{1}{2}×(1+1)^2=2$。
②由①得抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，其顶点$C$的坐标为$(-1,0)$，
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$计算三边长度：
$AC=\sqrt{(-1+5)^2+(0-8)^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1+1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{(1+5)^2+(2-8)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$，
$\because AB^2+BC^2=(6\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=72+8=80$，$AC^2=(4\sqrt{5})^2=80$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形。
(2)存在，求解过程如下：
作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，则$B'$的坐标为$(1,-2)$，连接$AB'$，$AB'$与$x$轴的交点即为所求点$P$，此时$PA+PB=PA+PB'=AB'$，值最小。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-5,8)$、$B'(1,-2)$代入得：
$\begin{cases}8=-5k+b\\-2=k+b\end{cases}$
两式相减得$10=-6k$，解得$k=-\frac{5}{3}$，
将$k=-\frac{5}{3}$代入$-2=k+b$，得$b=-\frac{1}{3}$，
因此直线$AB'$的解析式为$y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，
令$y=0$，则$0=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，解得$x=-\frac{1}{5}$，
即点$P$的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$。
【答案】
(1)①$a=\frac{1}{2}$，$n=2$；②$△ ABC$是直角三角形；
(2)存在，点$P$的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.勾股定理逆定理
3.轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型习题，综合考查了二次函数的基本性质、直角三角形的判定和最短路径的转化思想，解题关键是熟练掌握待定系数法、两点间距离公式以及将军饮马问题的解题思路，注重知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
(1)①求参数a和n可采用待定系数法：先将已知点A的坐标代入抛物线解析式求出a，再将点B的横坐标代入已得的抛物线解析式，即可算出n的值；②判断△ABC的形状，首先要确定抛物线顶点C的坐标，再用两点间距离公式分别求出AB、BC、AC的长度，最后通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。
(2)求x轴上使PA+PB最小的点P属于将军饮马类最短路径问题，解题思路是作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，求出对称点与另一个点所在直线的解析式，该直线和x轴的交点就是所求的点P。
【解析】
(1)①将点$A(-5,8)$代入抛物线$y=a(x+1)^2$可得：
$8=a(-5+1)^2$，即$8=16a$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，
将点$B(1,n)$代入上述解析式得：$n=\frac{1}{2}×(1+1)^2=2$。
②由①得抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，其顶点$C$的坐标为$(-1,0)$，
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$计算三边长度：
$AC=\sqrt{(-1+5)^2+(0-8)^2}=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$，
$BC=\sqrt{(1+1)^2+(2-0)^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{(1+5)^2+(2-8)^2}=\sqrt{36+36}=6\sqrt{2}$，
$\because AB^2+BC^2=(6\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=72+8=80$，$AC^2=(4\sqrt{5})^2=80$，
$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形。
(2)存在，求解过程如下：
作点$B$关于$x$轴的对称点$B'$，则$B'$的坐标为$(1,-2)$，连接$AB'$，$AB'$与$x$轴的交点即为所求点$P$，此时$PA+PB=PA+PB'=AB'$，值最小。
设直线$AB'$的解析式为$y=kx+b$，将$A(-5,8)$、$B'(1,-2)$代入得：
$\begin{cases}8=-5k+b\\-2=k+b\end{cases}$
两式相减得$10=-6k$，解得$k=-\frac{5}{3}$，
将$k=-\frac{5}{3}$代入$-2=k+b$，得$b=-\frac{1}{3}$，
因此直线$AB'$的解析式为$y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，
令$y=0$，则$0=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$，解得$x=-\frac{1}{5}$，
即点$P$的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$。
【答案】
(1)①$a=\frac{1}{2}$，$n=2$；②$△ ABC$是直角三角形；
(2)存在，点$P$的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$。
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.勾股定理逆定理
3.轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数与几何结合的典型习题，综合考查了二次函数的基本性质、直角三角形的判定和最短路径的转化思想，解题关键是熟练掌握待定系数法、两点间距离公式以及将军饮马问题的解题思路，注重知识点的综合运用。
【难度系数】
0.7
