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9. [2025·合肥包河区一模]如图,以$O_1,O_2$为圆心,$O_1O_2$长为半径的两个圆相交于点A,B,BC为$\odot O_1$的直径.若$O_1O_2=1$,则$\overset{\frown}{AC}$的长为（
A.1
B.$\frac{1}{6}π$
C.$\frac{1}{3}π$
D.$\frac{1}{2}π$
C
）A.1
B.$\frac{1}{6}π$
C.$\frac{1}{3}π$
D.$\frac{1}{2}π$
答案
9.C
解析
【分析】要计算$\overset{\frown}{AC}$的长，需先确定它所在的$\odot O_1$的半径，以及$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角的度数。首先根据两圆半径都等于$O_1O_2$，可得$△ AO_1O_2$、$△ BO_1O_2$都是等边三角形，求出$∠ AO_1B$的度数，再结合BC是$\odot O_1$的直径，算出$∠ AO_1C$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：连接$AO_1$、$AO_2$、$BO_2$，
由题意得，两圆半径均等于$O_1O_2=1$，即$O_1A=O_1B=O_1O_2=O_2A=O_2B=1$，
∴$△ AO_1O_2$和$△ BO_1O_2$都是等边三角形，
∴$∠ AO_1O_2=∠ BO_1O_2=60°$，
∴$∠ AO_1B=∠ AO_1O_2+∠ BO_1O_2=60°+60°=120°$，
∵BC是$\odot O_1$的直径，
∴$∠ CO_1B=180°$，
∴$∠ AO_1C=∠ CO_1B-∠ AO_1B=180°-120°=60°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径），
$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{60π×1}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】C
【知识点】弧长的计算，等边三角形的判定与性质，相交两圆的性质
【点评】本题解题核心是先根据两圆半径相等推出等边三角形，求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，熟记基础公式和相交圆的性质是得分关键。
【难度系数】0.7
【解析】
解：连接$AO_1$、$AO_2$、$BO_2$，
由题意得，两圆半径均等于$O_1O_2=1$，即$O_1A=O_1B=O_1O_2=O_2A=O_2B=1$，
∴$△ AO_1O_2$和$△ BO_1O_2$都是等边三角形，
∴$∠ AO_1O_2=∠ BO_1O_2=60°$，
∴$∠ AO_1B=∠ AO_1O_2+∠ BO_1O_2=60°+60°=120°$，
∵BC是$\odot O_1$的直径，
∴$∠ CO_1B=180°$，
∴$∠ AO_1C=∠ CO_1B-∠ AO_1B=180°-120°=60°$，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$是圆心角度数，$r$是圆的半径），
$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{60π×1}{180}=\frac{1}{3}π$。
【答案】C
【知识点】弧长的计算，等边三角形的判定与性质，相交两圆的性质
【点评】本题解题核心是先根据两圆半径相等推出等边三角形，求出弧对应的圆心角度数，再代入弧长公式求解，熟记基础公式和相交圆的性质是得分关键。
【难度系数】0.7
10. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧($\overset{\frown}{AC}$),点O是这段弧所在圆的圆心,B为$\overset{\frown}{AC}$上一点,$OB ⊥ AC$于点D.若$AC=300\sqrt{3}$ m,$BD=150$ m,则$\overset{\frown}{AC}$的长为 (
A.$300π$ m
B.$200π$ m
C.$150π$ m
D.$100\sqrt{3}π$ m
B
)A.$300π$ m
B.$200π$ m
C.$150π$ m
D.$100\sqrt{3}π$ m
答案
10.B
解析
【分析】
要求弧$\overset{\frown}{AC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可知需要先求出这段弧所在圆的半径$R$和弧对应的圆心角$n$。首先根据垂径定理，由$OB⊥ AC$可求出$AD$的长度；接下来设圆的半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OD$的长度，在$Rt△ ADO$中利用勾股定理列方程即可求出半径；再根据直角三角形的边角关系求出圆心角$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because OB⊥ AC$，$AC=300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AC=150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
$\because BD=150\ \mathrm{m}$，$\therefore OD=OB-BD=r-150$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=(150\sqrt{3})^2+(r-150)^2$，
展开得：$r^2=67500 + r^2 - 300r + 22500$，
化简解得：$300r=90000$，$r=300\ \mathrm{m}$。
$\therefore OD=300-150=150\ \mathrm{m}=\frac{1}{2}OA$，
$\therefore$在$Rt△ ADO$中，$∠ OAD=30°$，$∠ AOD=60°$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD=120°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AC}$的长为：
$l=\frac{120×π×300}{180}=200π\ \mathrm{m}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的典型题型，综合考查了圆的相关性质和弧长公式的应用，解题的核心是先通过垂径定理和勾股定理求出圆的半径，再求出对应圆心角的度数，即可代入公式得到结果。
【难度系数】
0.6
要求弧$\overset{\frown}{AC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，可知需要先求出这段弧所在圆的半径$R$和弧对应的圆心角$n$。首先根据垂径定理，由$OB⊥ AC$可求出$AD$的长度；接下来设圆的半径为$r$，用含$r$的式子表示出$OD$的长度，在$Rt△ ADO$中利用勾股定理列方程即可求出半径；再根据直角三角形的边角关系求出圆心角$∠ AOC$的度数，最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
解：$\because OB⊥ AC$，$AC=300\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
根据垂径定理可得：$AD=\frac{1}{2}AC=150\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA=OB=r$，
$\because BD=150\ \mathrm{m}$，$\therefore OD=OB-BD=r-150$。
在$Rt△ ADO$中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=(150\sqrt{3})^2+(r-150)^2$，
展开得：$r^2=67500 + r^2 - 300r + 22500$，
化简解得：$300r=90000$，$r=300\ \mathrm{m}$。
$\therefore OD=300-150=150\ \mathrm{m}=\frac{1}{2}OA$，
$\therefore$在$Rt△ ADO$中，$∠ OAD=30°$，$∠ AOD=60°$，
$\therefore ∠ AOC=2∠ AOD=120°$。
代入弧长公式得$\overset{\frown}{AC}$的长为：
$l=\frac{120×π×300}{180}=200π\ \mathrm{m}$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理；弧长计算
【点评】
本题是弧长计算的典型题型，综合考查了圆的相关性质和弧长公式的应用，解题的核心是先通过垂径定理和勾股定理求出圆的半径，再求出对应圆心角的度数，即可代入公式得到结果。
【难度系数】
0.6
11.如图,已知点C,D是以AB为直径的半圆O的三等分点,$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$,则图中阴影部分的面积为 （
A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{3π}{16}$
C.$\frac{π}{24}$
D.$\frac{π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
A
）A.$\frac{π}{6}$
B.$\frac{3π}{16}$
C.$\frac{π}{24}$
D.$\frac{π}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
答案
11.A
解析
【分析】
解题时先明确思路：①由C、D是半圆的三等分点，可得每段弧对应的圆心角为60°；②利用弧长公式求出半圆的半径r；③通过平行线判定推出CD//AB，根据同底等高的三角形面积相等，可将不规则阴影部分的面积转化为规则扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、OD、CD。
∵点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，对应的圆心角$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$。
∵OC=OD，$∠ COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$∠ OCD=60°$，
∴$∠ OCD=∠ AOC$，
∴$CD// AB$，
∴$△ ACD$和$△ OCD$同底CD，且高相等，故$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，
因此阴影部分面积等于扇形OCD的面积。
已知$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，$l=\frac{π}{3}$：
$\frac{π}{3}=\frac{60π r}{180}$，解得$r=1$。
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$，即阴影部分面积为$\frac{π}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式计算；扇形面积计算；等积变换求阴影面积
【点评】
本题的核心是利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，避免了直接计算不规则图形面积的繁琐，需要熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式，同时要具备图形转化的思维。
【难度系数】
0.7
解题时先明确思路：①由C、D是半圆的三等分点，可得每段弧对应的圆心角为60°；②利用弧长公式求出半圆的半径r；③通过平行线判定推出CD//AB，根据同底等高的三角形面积相等，可将不规则阴影部分的面积转化为规则扇形OCD的面积，最后代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
连接OC、OD、CD。
∵点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，对应的圆心角$∠ AOC=∠ COD=∠ DOB=\frac{180°}{3}=60°$。
∵OC=OD，$∠ COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形，$∠ OCD=60°$，
∴$∠ OCD=∠ AOC$，
∴$CD// AB$，
∴$△ ACD$和$△ OCD$同底CD，且高相等，故$S_{△ ACD}=S_{△ OCD}$，
因此阴影部分面积等于扇形OCD的面积。
已知$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{π}{3}$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，$l=\frac{π}{3}$：
$\frac{π}{3}=\frac{60π r}{180}$，解得$r=1$。
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$，代入得：
$S_{扇形OCD}=\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$，即阴影部分面积为$\frac{π}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
弧长公式计算；扇形面积计算；等积变换求阴影面积
【点评】
本题的核心是利用等积变换将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，避免了直接计算不规则图形面积的繁琐，需要熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式，同时要具备图形转化的思维。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE，DE。以E为圆心、EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为
4−π
。（结果保留π）答案
12.4−π
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，优先考虑割补法转化为规则图形的面积和差：首先观察阴影分别在两个直角三角形△ABE、△DCE内部，空白部分是两个扇形，因此阴影面积=两个直角三角形的面积和 - 两个扇形的面积和。第一步先根据矩形性质和E是中点的条件，判断△ABE、△DCE均为等腰直角三角形，计算两个三角形的总面积；第二步观察两个扇形的半径均为2，圆心角分别是等腰直角三角形的底角45°，两个圆心角之和为90°，可合并计算为四分之一圆的面积，最终作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2，
∵E为BC的中点，BC=4，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AB=BE=2，CD=EC=2，即△ABE、△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠DEC=45°，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×2×2=2$，同理$S_{△ DCE}=2$，
两个三角形的面积和为$2+2=4$；
两个扇形的圆心角之和为$45°+45°=90°$，半径$r=2$，
因此两个扇形的面积和为$\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$，
故阴影部分的面积为$4-π$。
【答案】
$4−π$
【知识点】
矩形的性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是运用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积差，解题时可观察到两个扇形圆心角之和为90°，能简化运算，很好地考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要求不规则阴影部分的面积，优先考虑割补法转化为规则图形的面积和差：首先观察阴影分别在两个直角三角形△ABE、△DCE内部，空白部分是两个扇形，因此阴影面积=两个直角三角形的面积和 - 两个扇形的面积和。第一步先根据矩形性质和E是中点的条件，判断△ABE、△DCE均为等腰直角三角形，计算两个三角形的总面积；第二步观察两个扇形的半径均为2，圆心角分别是等腰直角三角形的底角45°，两个圆心角之和为90°，可合并计算为四分之一圆的面积，最终作差即可得到阴影面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=2，
∵E为BC的中点，BC=4，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AB=BE=2，CD=EC=2，即△ABE、△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠AEB=∠DEC=45°，
$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}×AB×BE=\frac{1}{2}×2×2=2$，同理$S_{△ DCE}=2$，
两个三角形的面积和为$2+2=4$；
两个扇形的圆心角之和为$45°+45°=90°$，半径$r=2$，
因此两个扇形的面积和为$\frac{90°}{360°}×π×r^2=\frac{1}{4}×π×2^2=π$，
故阴影部分的面积为$4-π$。
【答案】
$4−π$
【知识点】
矩形的性质，等腰直角三角形的性质，扇形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是运用割补法将阴影面积转化为规则图形的面积差，解题时可观察到两个扇形圆心角之和为90°，能简化运算，很好地考查了图形转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
13.[新课标—情境题]如图，一根5 m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A(羊只能在草地上活动)，求小羊A在草地上的最大活动区域面积。
答案
13. 由题意得大扇形的圆心角是90°，
半径是5 m，
∴面积=$\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}(m^2)$；
小扇形的圆心角是$180°−120°=60°$，
半径是5−4=1(m),
∴面积=$\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}(m^2)$，
∴小羊A在草地上的最大活动区域面积=$\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{77π}{12}(m^2)$。
半径是5 m，
∴面积=$\frac{90π×5^2}{360}=\frac{25π}{4}(m^2)$；
小扇形的圆心角是$180°−120°=60°$，
半径是5−4=1(m),
∴面积=$\frac{60π×1^2}{360}=\frac{π}{6}(m^2)$，
∴小羊A在草地上的最大活动区域面积=$\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{77π}{12}(m^2)$。
解析
【分析】
解题时首先要明确小羊的活动区域由两部分扇形构成：①当绳子未被围墙拐角遮挡时，小羊可在互相垂直的两围墙形成的90°夹角内活动，对应圆心角为90°、半径为绳长5m的扇形；②当小羊向斜围墙方向活动时，绳子会被竖直围墙的顶端拐角挡住，此时剩余可用绳长为5-4=1m，结合斜围墙与竖直墙的120°夹角，可算出该部分扇形的圆心角为180°-120°=60°，对应半径为1m的扇形。最后将两部分扇形的面积相加即可得到最大活动区域的总面积。
【解析】
1. 计算大扇形的面积：
大扇形的圆心角为90°，半径$r_1=5\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_1=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形的面积：
小扇形的圆心角为$180°-120°=60°$，剩余绳长即半径$r_2=5-4=1\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_2=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{m}^2$
3. 计算总面积：
$S=S_1+S_2=\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{75π+2π}{12}=\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题结合实际生活场景，核心是准确拆分小羊的活动区域，确定两个扇形的圆心角和对应半径，解题时要注意不要遗漏拐角处的小扇形区域，代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确小羊的活动区域由两部分扇形构成：①当绳子未被围墙拐角遮挡时，小羊可在互相垂直的两围墙形成的90°夹角内活动，对应圆心角为90°、半径为绳长5m的扇形；②当小羊向斜围墙方向活动时，绳子会被竖直围墙的顶端拐角挡住，此时剩余可用绳长为5-4=1m，结合斜围墙与竖直墙的120°夹角，可算出该部分扇形的圆心角为180°-120°=60°，对应半径为1m的扇形。最后将两部分扇形的面积相加即可得到最大活动区域的总面积。
【解析】
1. 计算大扇形的面积：
大扇形的圆心角为90°，半径$r_1=5\ \mathrm{m}$，根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$，得：
$S_1=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}\ \mathrm{m}^2$
2. 计算小扇形的面积：
小扇形的圆心角为$180°-120°=60°$，剩余绳长即半径$r_2=5-4=1\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_2=\frac{60π × 1^2}{360}=\frac{π}{6}\ \mathrm{m}^2$
3. 计算总面积：
$S=S_1+S_2=\frac{25π}{4}+\frac{π}{6}=\frac{75π+2π}{12}=\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$\frac{77π}{12}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
扇形面积计算，组合图形面积求解
【点评】
本题结合实际生活场景，核心是准确拆分小羊的活动区域，确定两个扇形的圆心角和对应半径，解题时要注意不要遗漏拐角处的小扇形区域，代入扇形面积公式计算即可得到结果。
【难度系数】
0.6
14. [教材P60习题24.7第3题改编] 如图，在$△ AOB$中，$OA=2$，$OB=5$，将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$90°$后得到$△ A'OB'$.
(1)求点$B$扫过的弧长；
(2)求线段$AB$扫过阴影部分的面积.
(1)求点$B$扫过的弧长；
(2)求线段$AB$扫过阴影部分的面积.
答案
14.(1)点B扫过的弧长=$\frac{90π×5}{180}=\frac{5π}{2}$.
(2)根据旋转的性质,得$S_{△AOB}=S_{△A'OB'}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形B'OB}+S_{△AOB}-S_{扇形A'OA}-S_{△A'OB'}=S_{扇形B'OB}-S_{扇形A'OA}=\frac{90π×5^2}{360}-\frac{90π×2^2}{360}=\frac{21π}{4}$.
(2)根据旋转的性质,得$S_{△AOB}=S_{△A'OB'}$，
∴$S_{阴影}=S_{扇形B'OB}+S_{△AOB}-S_{扇形A'OA}-S_{△A'OB'}=S_{扇形B'OB}-S_{扇形A'OA}=\frac{90π×5^2}{360}-\frac{90π×2^2}{360}=\frac{21π}{4}$.
解析
【分析】
（1）求点B扫过的弧长，首先明确点B的运动轨迹：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，点B的轨迹是以O为圆心、OB长为半径，圆心角为90°的弧，直接代入弧长公式计算即可。
（2）求阴影部分面积属于不规则图形面积计算，优先用割补法转化为规则图形面积计算：根据旋转的性质可知旋转前后△AOB和△A'OB'面积完全相等，观察图形可知阴影部分面积=扇形BOB'的面积 + △AOB的面积 - 扇形AOA'的面积 - △A'OB'的面积，两个三角形面积抵消后，阴影部分面积即为两个扇形的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）由题意可知，点B扫过的轨迹是圆心为O，半径$OB=5$，圆心角为$90°$的弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2}$。
（2）根据旋转的性质可得：$△ AOB ≌ △ A'OB'$，因此$S_{△ AOB}=S_{△ A'OB'}$。
观察图形可得阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形B'OB} + S_{△ AOB} - S_{扇形A'OA} - S_{△ A'OB'} \\&=S_{扇形B'OB} - S_{扇形A'OA}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{扇形B'OB}=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}$，$S_{扇形A'OA}=\frac{90π × 2^2}{360}=π$，
因此$S_{阴影}=\frac{25π}{4}-π=\frac{21π}{4}$。
【答案】
（1）$\frac{5π}{2}$；（2）$\frac{21π}{4}$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【点评】
本题是旋转与面积计算的典型题型，解题核心是利用旋转前后图形全等的性质，将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积差，熟练掌握弧长、扇形面积公式是解题的基础，要注意积累割补法求解不规则图形面积的技巧。
【难度系数】
0.7
（1）求点B扫过的弧长，首先明确点B的运动轨迹：将△AOB绕点O顺时针旋转90°，点B的轨迹是以O为圆心、OB长为半径，圆心角为90°的弧，直接代入弧长公式计算即可。
（2）求阴影部分面积属于不规则图形面积计算，优先用割补法转化为规则图形面积计算：根据旋转的性质可知旋转前后△AOB和△A'OB'面积完全相等，观察图形可知阴影部分面积=扇形BOB'的面积 + △AOB的面积 - 扇形AOA'的面积 - △A'OB'的面积，两个三角形面积抵消后，阴影部分面积即为两个扇形的面积差，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）由题意可知，点B扫过的轨迹是圆心为O，半径$OB=5$，圆心角为$90°$的弧，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径）：
$l_{\overset{\frown}{BB'}}=\frac{90π × 5}{180}=\frac{5π}{2}$。
（2）根据旋转的性质可得：$△ AOB ≌ △ A'OB'$，因此$S_{△ AOB}=S_{△ A'OB'}$。
观察图形可得阴影部分面积：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=S_{扇形B'OB} + S_{△ AOB} - S_{扇形A'OA} - S_{△ A'OB'} \\&=S_{扇形B'OB} - S_{扇形A'OA}\end{aligned}$
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$：
$S_{扇形B'OB}=\frac{90π × 5^2}{360}=\frac{25π}{4}$，$S_{扇形A'OA}=\frac{90π × 2^2}{360}=π$，
因此$S_{阴影}=\frac{25π}{4}-π=\frac{21π}{4}$。
【答案】
（1）$\frac{5π}{2}$；（2）$\frac{21π}{4}$
【知识点】
弧长的计算；扇形面积的计算；旋转的性质
【点评】
本题是旋转与面积计算的典型题型，解题核心是利用旋转前后图形全等的性质，将不规则的阴影面积转化为规则扇形的面积差，熟练掌握弧长、扇形面积公式是解题的基础，要注意积累割补法求解不规则图形面积的技巧。
【难度系数】
0.7
