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1.端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽2个、红枣粽3个、腊肉粽2个、白米粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽。若小明任意选取一个，则选到甜粽的概率是（
A.$\frac{2}{11}$
B.$\frac{3}{11}$
C.$\frac{5}{11}$
D.$\frac{6}{11}$
C
）A.$\frac{2}{11}$
B.$\frac{3}{11}$
C.$\frac{5}{11}$
D.$\frac{6}{11}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算选到甜粽的概率，需运用简单随机事件的概率计算公式：概率=所求情况数÷总情况数。解题时第一步先统计所有粽子的总数量，第二步统计属于甜粽的数量，最后将甜粽数量除以总数量即可得到所求概率。
【解析】
首先计算粽子的总个数：$2+3+2+4=11$（个）
由题意可知，甜粽包含豆沙粽和红枣粽，甜粽的总个数为：$2+3=5$（个）
根据简单随机事件的概率公式，选到甜粽的概率$P=\frac{甜粽个数}{粽子总个数}=\frac{5}{11}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
简单随机事件概率计算、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础应用题，核心考查对概率公式的理解与运用，解题关键是准确统计总样本数和符合条件的样本数，难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算选到甜粽的概率，需运用简单随机事件的概率计算公式：概率=所求情况数÷总情况数。解题时第一步先统计所有粽子的总数量，第二步统计属于甜粽的数量，最后将甜粽数量除以总数量即可得到所求概率。
【解析】
首先计算粽子的总个数：$2+3+2+4=11$（个）
由题意可知，甜粽包含豆沙粽和红枣粽，甜粽的总个数为：$2+3=5$（个）
根据简单随机事件的概率公式，选到甜粽的概率$P=\frac{甜粽个数}{粽子总个数}=\frac{5}{11}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
简单随机事件概率计算、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础应用题，核心考查对概率公式的理解与运用，解题关键是准确统计总样本数和符合条件的样本数，难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 从$\sqrt{2},0,π,3.14,6$这5个数中随机抽取一个数，则抽到有理数的概率是（
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
C
）A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是有理数的判定标准，二是简单随机事件的概率计算方法。首先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴，无限不循环小数是无理数。第一步先从给出的5个数中筛选出所有有理数，统计有理数的个数；第二步用“抽到有理数的概率=有理数的个数÷数的总个数”的公式计算概率，对应选项即可得到答案。
【解析】
首先对给出的5个数逐一判断是否为有理数：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.14$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $6$是整数，属于有理数。
综上，有理数共有3个，数的总个数为5个。
根据简单随机事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得抽到有理数的概率为$\frac{3}{5}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的判定，简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将实数的分类与概率计算结合考查，解题的关键是准确区分有理数与无理数，再代入概率公式计算即可，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：一是有理数的判定标准，二是简单随机事件的概率计算方法。首先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于分数范畴，无限不循环小数是无理数。第一步先从给出的5个数中筛选出所有有理数，统计有理数的个数；第二步用“抽到有理数的概率=有理数的个数÷数的总个数”的公式计算概率，对应选项即可得到答案。
【解析】
首先对给出的5个数逐一判断是否为有理数：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.14$是有限小数，可化为分数，属于有理数；
5. $6$是整数，属于有理数。
综上，有理数共有3个，数的总个数为5个。
根据简单随机事件的概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}$，可得抽到有理数的概率为$\frac{3}{5}$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数的判定，简单概率计算
【点评】
本题属于基础综合题，将实数的分类与概率计算结合考查，解题的关键是准确区分有理数与无理数，再代入概率公式计算即可，整体考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8
3. [2025·合肥包河区三模]某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区的75份环境数据样本.已知样本分布如下:热带雨林气候20份;沙漠气候15份;温带海洋性气候25份;极地气候5份;地中海气候10份.若从这75份样本中随机抽取一份,抽到的样本不是温带海洋性气候的概率是（
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{2}{3}$
D
）A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
3.D
解析
【分析】
本题考查简单随机事件的概率计算，解题有两种常用思路：思路一：先求出“不是温带海洋性气候”的样本总数量，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”直接计算；思路二：先计算“抽到温带海洋性气候”的概率，再利用“对立事件概率和为1”，用1减去该概率得到结果，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
解：方法1：先计算不是温带海洋性气候的样本总数：
$20+15+5+10=50$（份）
已知总样本数为75份，根据概率计算公式可得：
$P=\frac{符合条件的样本数}{总样本数}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}$
方法2：先计算抽到温带海洋性气候的概率：
$P(温带海洋性气候)=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}$
“抽到温带海洋性气候”和“抽到不是温带海洋性气候”是对立事件，概率和为1，因此：
$P(不是温带海洋性气候)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.简单随机事件概率计算
2.对立事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算基础题，运算量小，核心是掌握概率的基本计算公式，能准确梳理总情况数和对应事件的情况数即可快速解答。
【难度系数】
0.85
本题考查简单随机事件的概率计算，解题有两种常用思路：思路一：先求出“不是温带海洋性气候”的样本总数量，再根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”直接计算；思路二：先计算“抽到温带海洋性气候”的概率，再利用“对立事件概率和为1”，用1减去该概率得到结果，两种方法都能快速得到答案。
【解析】
解：方法1：先计算不是温带海洋性气候的样本总数：
$20+15+5+10=50$（份）
已知总样本数为75份，根据概率计算公式可得：
$P=\frac{符合条件的样本数}{总样本数}=\frac{50}{75}=\frac{2}{3}$
方法2：先计算抽到温带海洋性气候的概率：
$P(温带海洋性气候)=\frac{25}{75}=\frac{1}{3}$
“抽到温带海洋性气候”和“抽到不是温带海洋性气候”是对立事件，概率和为1，因此：
$P(不是温带海洋性气候)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.简单随机事件概率计算
2.对立事件概率计算
【点评】
本题属于概率计算基础题，运算量小，核心是掌握概率的基本计算公式，能准确梳理总情况数和对应事件的情况数即可快速解答。
【难度系数】
0.85
4.已知函数$y=(2k-1)x+5(-3≤ k≤ 3$且$k$为常数).若任取整数$k$值,则得到的函数中具有性质“$y$随$x$的增大而增大”的概率为
$\frac{3}{7}$
.答案
4.$\frac{3}{7}$
解析
【分析】
本题是一次函数性质与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步，回忆一次函数的增减性规律：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围；第二步，明确题目中k的取值限制是$-3≤k≤3$的整数，列举出所有可能的k值，统计总情况数；第三步，统计出符合k取值范围的整数个数，根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
解：对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），若y随x的增大而增大，需满足一次项系数$a＞0$。
根据题意列不等式：
$2k-1＞0$
解得$k＞\frac{1}{2}$
已知$-3≤k≤3$且k为整数，因此k的所有可能取值为：$-3,-2,-1,0,1,2,3$，共7种等可能的结果。
其中满足$k＞\frac{1}{2}$的整数k为$1,2,3$，共3种符合要求的结果。
根据概率公式可得：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
一次函数的增减性，简单概率计算，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础综合题，将函数性质和概率计算结合考查，解题的核心是先根据函数增减性锁定参数的取值范围，再准确枚举所有整数取值，注意常数函数不满足“y随x增大而增大”的要求，因此一次项系数不能取0。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数性质与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：第一步，回忆一次函数的增减性规律：当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，据此列出关于k的不等式，求出k的取值范围；第二步，明确题目中k的取值限制是$-3≤k≤3$的整数，列举出所有可能的k值，统计总情况数；第三步，统计出符合k取值范围的整数个数，根据“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算结果即可。
【解析】
解：对于一次函数$y=ax+b$（$a≠0$），若y随x的增大而增大，需满足一次项系数$a＞0$。
根据题意列不等式：
$2k-1＞0$
解得$k＞\frac{1}{2}$
已知$-3≤k≤3$且k为整数，因此k的所有可能取值为：$-3,-2,-1,0,1,2,3$，共7种等可能的结果。
其中满足$k＞\frac{1}{2}$的整数k为$1,2,3$，共3种符合要求的结果。
根据概率公式可得：
$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}=\frac{3}{7}$
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
一次函数的增减性，简单概率计算，一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础综合题，将函数性质和概率计算结合考查，解题的核心是先根据函数增减性锁定参数的取值范围，再准确枚举所有整数取值，注意常数函数不满足“y随x增大而增大”的要求，因此一次项系数不能取0。
【难度系数】
0.7
5. 超市举行有奖促销活动:凡一次性购物满300元者即可获得一次摇奖机会.摇奖机是一个圆形转盘,被分成16等份,规定摇中红、黄、蓝色区域,分别获一、二、三等奖.
(1)摇奖一次,获一等奖的概率是多少?
(2)摇奖一次,获奖的概率是多少?
(1)摇奖一次,获一等奖的概率是多少?
(2)摇奖一次,获奖的概率是多少?
答案
5.(1)$\frac{1}{16}$ (2)$\frac{7}{16}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确转盘被平均分成16等份，每一份被摇中的可能性相等，符合等可能事件的概率计算条件。（1）求获一等奖的概率，只需找出红色区域的份数，再用红色区域份数除以总份数即可；（2）求获奖的概率，先统计红、黄、蓝三种获奖区域的总份数，再用总获奖份数除以总份数得到结果。
【解析】
解：已知转盘被等分成16份，每份被摇中的概率相等。
（1）观察转盘可得，红色区域占1份，获一等奖对应摇中红色区域，因此：
$P(\mathrm{获一等奖})=\frac{\mathrm{红色区域份数}}{\mathrm{总份数}}=\frac{1}{16}$
（2）观察转盘可得：红色区域1份，黄色区域2份，蓝色区域4份，获奖区域总份数为$1+2+4=7$份，因此：
$P(\mathrm{获奖})=\frac{\mathrm{获奖区域总份数}}{\mathrm{总份数}}=\frac{7}{16}$
【答案】
(1)$\frac{1}{16}$；(2)$\frac{7}{16}$
【知识点】
概率计算，等可能事件，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确统计对应区域的份数，牢记等可能事件的概率计算公式，只要仔细观察图形数对份数即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确转盘被平均分成16等份，每一份被摇中的可能性相等，符合等可能事件的概率计算条件。（1）求获一等奖的概率，只需找出红色区域的份数，再用红色区域份数除以总份数即可；（2）求获奖的概率，先统计红、黄、蓝三种获奖区域的总份数，再用总获奖份数除以总份数得到结果。
【解析】
解：已知转盘被等分成16份，每份被摇中的概率相等。
（1）观察转盘可得，红色区域占1份，获一等奖对应摇中红色区域，因此：
$P(\mathrm{获一等奖})=\frac{\mathrm{红色区域份数}}{\mathrm{总份数}}=\frac{1}{16}$
（2）观察转盘可得：红色区域1份，黄色区域2份，蓝色区域4份，获奖区域总份数为$1+2+4=7$份，因此：
$P(\mathrm{获奖})=\frac{\mathrm{获奖区域总份数}}{\mathrm{总份数}}=\frac{7}{16}$
【答案】
(1)$\frac{1}{16}$；(2)$\frac{7}{16}$
【知识点】
概率计算，等可能事件，概率公式应用
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是准确统计对应区域的份数，牢记等可能事件的概率计算公式，只要仔细观察图形数对份数即可正确解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机地在图案上滚动，最后停留在阴影部分的概率是（
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{9}$
B
）A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{7}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{9}$
答案
6.B
解析
【分析】
计算小球停在阴影部分的概率属于几何概率问题，概率等于阴影部分面积与整个图案总面积的比值。我们可以先将阴影部分面积设为1份，再分析单个菱形包含的与阴影等面积的部分数量，计算总面积时注意减去重复计算的重合阴影部分，最终求出面积比即可得到概率。
【解析】
设阴影重合部分的面积为1。
观察图形可得：1个完整的菱形可分成4个和阴影面积相等的部分，因此单个菱形面积为4。
两个菱形若无重合，总面积为$4+4=8$，由于重合部分（阴影）被重复计算了1次，因此图案实际总面积为$8-1=7$。
根据概率公式：
$P(\mathrm{停留在阴影部分})=\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{图案总面积}}=\frac{1}{7}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率，面积计算，概率公式
【点评】
本题重点考查几何概率的计算方法，解题核心是准确计算总面积，避免重合部分重复计算，能够很好地检验学生对几何概率的理解和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
计算小球停在阴影部分的概率属于几何概率问题，概率等于阴影部分面积与整个图案总面积的比值。我们可以先将阴影部分面积设为1份，再分析单个菱形包含的与阴影等面积的部分数量，计算总面积时注意减去重复计算的重合阴影部分，最终求出面积比即可得到概率。
【解析】
设阴影重合部分的面积为1。
观察图形可得：1个完整的菱形可分成4个和阴影面积相等的部分，因此单个菱形面积为4。
两个菱形若无重合，总面积为$4+4=8$，由于重合部分（阴影）被重复计算了1次，因此图案实际总面积为$8-1=7$。
根据概率公式：
$P(\mathrm{停留在阴影部分})=\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{图案总面积}}=\frac{1}{7}$
【答案】
B
【知识点】
几何概率，面积计算，概率公式
【点评】
本题重点考查几何概率的计算方法，解题核心是准确计算总面积，避免重合部分重复计算，能够很好地检验学生对几何概率的理解和图形分析能力。
【难度系数】
0.7
7.[易错题]如图,选一个空白小方块涂黑后,能使图中所有黑色方块构成轴对称图形的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
D
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合概率计算和轴对称图形的判定两步思考：首先明确概率的计算逻辑为“符合要求的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先统计总情况数：图形是3×3的九宫格，共9个小方块，已有2个为黑色，因此可涂黑的空白方块共9-2=7个，即总共有7种等可能的选择。第二步逐一判断每个空白涂黑后，所有黑色方块是否能沿某条直线对折后完全重合（即构成轴对称图形），统计出符合要求的情况数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
解：
∵ 3×3的方格共有9个大小相等的小正方形，其中已有2个黑色小正方形，
∴ 空白小正方形的数量为$9-2=7$，即任选一个空白方块涂黑共有7种等可能的情况。
逐一验证每个空白涂黑后的图形：共有5个空白小方块涂黑后，所有黑色方块可构成轴对称图形，即符合要求的情况有5种。
根据简单随机事件的概率公式，所求概率$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{5}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
概率的计算；轴对称图形的判定
【点评】
本题是概率与几何图形性质结合的基础综合题，解题核心是准确统计总情况数和符合条件的情况数，判断轴对称图形时要注意从不同方向找对称轴，避免漏数、多数符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合概率计算和轴对称图形的判定两步思考：首先明确概率的计算逻辑为“符合要求的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先统计总情况数：图形是3×3的九宫格，共9个小方块，已有2个为黑色，因此可涂黑的空白方块共9-2=7个，即总共有7种等可能的选择。第二步逐一判断每个空白涂黑后，所有黑色方块是否能沿某条直线对折后完全重合（即构成轴对称图形），统计出符合要求的情况数，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
解：
∵ 3×3的方格共有9个大小相等的小正方形，其中已有2个黑色小正方形，
∴ 空白小正方形的数量为$9-2=7$，即任选一个空白方块涂黑共有7种等可能的情况。
逐一验证每个空白涂黑后的图形：共有5个空白小方块涂黑后，所有黑色方块可构成轴对称图形，即符合要求的情况有5种。
根据简单随机事件的概率公式，所求概率$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{5}{7}$。
【答案】
D
【知识点】
概率的计算；轴对称图形的判定
【点评】
本题是概率与几何图形性质结合的基础综合题，解题核心是准确统计总情况数和符合条件的情况数，判断轴对称图形时要注意从不同方向找对称轴，避免漏数、多数符合要求的情况。
【难度系数】
0.6
8. 如图是由4个全等的小等边三角形拼成的一个大等边三角形，从这些等边三角形中任选一个，则所选等边三角形恰好含点A的概率为
$\frac{2}{5}$
。答案
8.$\frac{2}{5}$
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先回忆简单随机事件概率的计算公式：概率等于所求情况数与总情况数的比值。解题时分两步走：第一步先准确枚举图中所有的等边三角形，得到总情况数；第二步找出其中包含点A的等边三角形，得到符合条件的情况数，最后代入公式计算即可。解题时要注意不要漏数最大的等边三角形，避免计数错误。
【解析】
首先统计图中等边三角形的总个数：
1. 单个的小等边三角形共有4个；
2. 由4个小等边三角形拼成的大等边三角形共有1个；
因此总共有$4+1=5$个等边三角形，即总情况数为5。
接下来统计包含点A的等边三角形个数：
1. 点A所在的最上方的小等边三角形，共1个；
2. 整个大等边三角形也包含点A，共1个；
因此符合条件的情况数为$1+1=2$。
根据概率公式可得，所选等边三角形恰好含点A的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
概率的计算，几何图形计数
【点评】
本题是几何与概率结合的基础题型，核心考查点是概率公式的应用和图形计数的准确性，解题易错点是容易漏数最大的等边三角形，导致总情况数计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道概率题，首先回忆简单随机事件概率的计算公式：概率等于所求情况数与总情况数的比值。解题时分两步走：第一步先准确枚举图中所有的等边三角形，得到总情况数；第二步找出其中包含点A的等边三角形，得到符合条件的情况数，最后代入公式计算即可。解题时要注意不要漏数最大的等边三角形，避免计数错误。
【解析】
首先统计图中等边三角形的总个数：
1. 单个的小等边三角形共有4个；
2. 由4个小等边三角形拼成的大等边三角形共有1个；
因此总共有$4+1=5$个等边三角形，即总情况数为5。
接下来统计包含点A的等边三角形个数：
1. 点A所在的最上方的小等边三角形，共1个；
2. 整个大等边三角形也包含点A，共1个；
因此符合条件的情况数为$1+1=2$。
根据概率公式可得，所选等边三角形恰好含点A的概率为$\frac{2}{5}$。
【答案】
$\frac{2}{5}$
【知识点】
概率的计算，几何图形计数
【点评】
本题是几何与概率结合的基础题型，核心考查点是概率公式的应用和图形计数的准确性，解题易错点是容易漏数最大的等边三角形，导致总情况数计算错误。
【难度系数】
0.7
