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9. 如图是一张由边长均为1的小正方形构成的方格纸，丁丁在该纸上做随机扎针试验，求针头扎在阴影区域的概率.
答案
9.$\frac{1}{5}$
解析
【分析】要计算针头扎在阴影区域的概率属于几何概率问题，解题思路清晰：首先明确几何概率的计算规则是事件对应区域面积除以总区域面积，所以先计算整个方格纸的总面积，再用割补法求出阴影三角形的面积，最后代入概率公式计算即可。
【解析】解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算方格纸总面积：方格纸由5行5列的小正方形组成，因此总面积 $S_{\mathrm{总}}=5×5=25$。
2. 计算阴影三角形面积：采用补形法，将阴影三角形补为长3、高4的矩形，矩形面积为 $3×4=12$，再减去矩形内3个空白直角三角形的面积：
左侧空白三角形面积：$\frac{1}{2}×1×4=2$
右上空白三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$
右下空白三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$
因此阴影面积 $S_{\mathrm{阴}}=12-2-2-3=5$。
3. 计算概率：根据几何概率公式可得
$P(\mathrm{针头扎在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】几何概率计算，割补法求面积，概率公式
【点评】本题核心考查几何概率的计算方法，解题关键是熟练运用割补法求解网格中不规则图形的面积，这类题型是概率计算的常见基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】解：设每个小正方形的边长为1。
1. 计算方格纸总面积：方格纸由5行5列的小正方形组成，因此总面积 $S_{\mathrm{总}}=5×5=25$。
2. 计算阴影三角形面积：采用补形法，将阴影三角形补为长3、高4的矩形，矩形面积为 $3×4=12$，再减去矩形内3个空白直角三角形的面积：
左侧空白三角形面积：$\frac{1}{2}×1×4=2$
右上空白三角形面积：$\frac{1}{2}×2×2=2$
右下空白三角形面积：$\frac{1}{2}×3×2=3$
因此阴影面积 $S_{\mathrm{阴}}=12-2-2-3=5$。
3. 计算概率：根据几何概率公式可得
$P(\mathrm{针头扎在阴影区域})=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$。
【答案】$\frac{1}{5}$
【知识点】几何概率计算，割补法求面积，概率公式
【点评】本题核心考查几何概率的计算方法，解题关键是熟练运用割补法求解网格中不规则图形的面积，这类题型是概率计算的常见基础题型。
【难度系数】0.7
10. 我们把十位上数字比百位和个位上数字都小的三位数称为“V”形数，如856，325等，那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”形数的概率为（
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{3}$
D
）A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
10.D
解析
【分析】
解题时需分三步进行：第一步，先明确所有由2、3、4组成的无重复数字的三位数，统计总共有多少种等可能的结果；第二步，根据题干给出的“V”形数定义，即十位上数字比百位和个位上数字都小，从所有三位数中筛选出符合要求的数，统计符合条件的结果数；第三步，根据简单概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”，代入计算即可得到答案。
【解析】
首先枚举由2、3、4组成的所有无重复数字的三位数：234、243、324、342、423、432，共6个，即总共有6种等可能的结果。
再根据“V”形数的定义筛选：
324的十位数字是2，比百位数字3、个位数字4都小，符合要求；
423的十位数字是2，比百位数字4、个位数字3都小，符合要求；
其余数均不符合“V”形数的定义，因此符合条件的结果共有2种。
根据概率公式得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】D
【知识点】概率计算；枚举法计数；新定义理解
【点评】本题结合新定义考查简单概率的计算，解题核心是准确理解新定义的规则，通过枚举法清晰列出所有情况再筛选即可，解题时注意不要漏数或重复计数。
【难度系数】0.7
解题时需分三步进行：第一步，先明确所有由2、3、4组成的无重复数字的三位数，统计总共有多少种等可能的结果；第二步，根据题干给出的“V”形数定义，即十位上数字比百位和个位上数字都小，从所有三位数中筛选出符合要求的数，统计符合条件的结果数；第三步，根据简单概率的计算公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”，代入计算即可得到答案。
【解析】
首先枚举由2、3、4组成的所有无重复数字的三位数：234、243、324、342、423、432，共6个，即总共有6种等可能的结果。
再根据“V”形数的定义筛选：
324的十位数字是2，比百位数字3、个位数字4都小，符合要求；
423的十位数字是2，比百位数字4、个位数字3都小，符合要求；
其余数均不符合“V”形数的定义，因此符合条件的结果共有2种。
根据概率公式得：$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】D
【知识点】概率计算；枚举法计数；新定义理解
【点评】本题结合新定义考查简单概率的计算，解题核心是准确理解新定义的规则，通过枚举法清晰列出所有情况再筛选即可，解题时注意不要漏数或重复计数。
【难度系数】0.7
11.如图为三阶魔方,将六个面分别涂有不同颜色的魔方平均分割成27个大小相同的小立方块,从中任取一个小立方块,恰好有三面涂色的概率为 (
A.$\frac{8}{27}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{16}{27}$
A
)A.$\frac{8}{27}$
B.$\frac{4}{9}$
C.$\frac{2}{9}$
D.$\frac{16}{27}$
答案
11.A
解析
【分析】
本题属于简单随机事件的概率计算问题，解题思路可分三步：第一步先确定所有等可能的结果总数，本题中任取1个小立方块，总共有27种等可能的情况；第二步分析魔方的结构，找出恰好三面涂色的小立方块的个数：三阶魔方中，只有位于8个顶点位置的小立方块同时属于三个外表面，因此三面涂色，共8个；第三步根据概率计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 将魔方平均分割为27个大小相同的小立方块，从中任取1个，共有27种等可能的结果。
结合三阶魔方的结构可知，只有位于魔方8个顶点处的小立方块为三面涂色，即满足“恰好三面涂色”的结果共有8种。
根据简单概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$P=\frac{8}{27}$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 正方体的结构特征
【点评】
本题结合生活中常见的三阶魔方考查概率的基础计算，解题的核心是准确识别出三面涂色的小立方块对应正方体的顶点位置，属于基础题型，贴近生活，易于理解。
【难度系数】
0.8
本题属于简单随机事件的概率计算问题，解题思路可分三步：第一步先确定所有等可能的结果总数，本题中任取1个小立方块，总共有27种等可能的情况；第二步分析魔方的结构，找出恰好三面涂色的小立方块的个数：三阶魔方中，只有位于8个顶点位置的小立方块同时属于三个外表面，因此三面涂色，共8个；第三步根据概率计算公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 将魔方平均分割为27个大小相同的小立方块，从中任取1个，共有27种等可能的结果。
结合三阶魔方的结构可知，只有位于魔方8个顶点处的小立方块为三面涂色，即满足“恰好三面涂色”的结果共有8种。
根据简单概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得所求概率为$P=\frac{8}{27}$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
1. 简单概率计算 2. 正方体的结构特征
【点评】
本题结合生活中常见的三阶魔方考查概率的基础计算，解题的核心是准确识别出三面涂色的小立方块对应正方体的顶点位置，属于基础题型，贴近生活，易于理解。
【难度系数】
0.8
12. [易错题]如图,在$3×3$的正方形网格中,点A,B在格点(网格线的交点)上,在其余14个格点中任取一个点C,使$△ ABC$成为以AB为腰的等腰三角形的概率是
$\frac{2}{7}$
.答案
12.$\frac{2}{7}$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合概率公式、勾股定理和等腰三角形的判定来分析：首先明确概率等于符合条件的情况数除以总等可能情况数。第一步先确定总情况数：除A、B外共有14个格点，即总共有14种等可能的取点结果。第二步设小正方形边长为1，用勾股定理计算AB的长度为√5。第三步分两种情况找符合条件的点C：一是AB=AC，即AC长度为√5，筛选出网格中满足条件且不为A、B的格点；二是AB=BC，即BC长度为√5，筛选出网格中满足条件且不为A、B的格点，注意不要重复计数。最后用符合条件的点的个数除以总情况数，化简即可得到所求概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
由题意可知，除A、B外共有14个格点，即总共有14种等可能的取点结果。
分两种情况讨论以AB为腰的等腰三角形：
1. 当$AB=AC$时，$AC=\sqrt{5}$，符合条件的格点C有2个；
2. 当$AB=BC$时，$BC=\sqrt{5}$，符合条件的格点C有2个；
综上，满足条件的格点C共有$2+2=4$个，
因此所求概率$P=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$。
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的判定，简单概率计算
【点评】
本题属于几何与概率结合的基础题型，易错点是在寻找符合条件的格点时容易出现漏算或多算的情况，解题时需分类讨论等腰三角形腰的两种情况，同时要注意排除A、B两个点本身，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合概率公式、勾股定理和等腰三角形的判定来分析：首先明确概率等于符合条件的情况数除以总等可能情况数。第一步先确定总情况数：除A、B外共有14个格点，即总共有14种等可能的取点结果。第二步设小正方形边长为1，用勾股定理计算AB的长度为√5。第三步分两种情况找符合条件的点C：一是AB=AC，即AC长度为√5，筛选出网格中满足条件且不为A、B的格点；二是AB=BC，即BC长度为√5，筛选出网格中满足条件且不为A、B的格点，注意不要重复计数。最后用符合条件的点的个数除以总情况数，化简即可得到所求概率。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
由题意可知，除A、B外共有14个格点，即总共有14种等可能的取点结果。
分两种情况讨论以AB为腰的等腰三角形：
1. 当$AB=AC$时，$AC=\sqrt{5}$，符合条件的格点C有2个；
2. 当$AB=BC$时，$BC=\sqrt{5}$，符合条件的格点C有2个；
综上，满足条件的格点C共有$2+2=4$个，
因此所求概率$P=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}$。
【答案】
$\frac{2}{7}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的判定，简单概率计算
【点评】
本题属于几何与概率结合的基础题型，易错点是在寻找符合条件的格点时容易出现漏算或多算的情况，解题时需分类讨论等腰三角形腰的两种情况，同时要注意排除A、B两个点本身，避免计数错误。
【难度系数】
0.6
13. 一个不透明的袋子里有红、黄、白三种颜色的球共50个，它们除颜色不同外其他都相同，其中黄球比白球少5个，已知从袋子里随机摸出1个球是红球的概率为$\frac{3}{10}$。
(1)求袋子里红球的个数；
(2)求从袋子里随机摸出1个球是白球的概率。
(1)求袋子里红球的个数；
(2)求从袋子里随机摸出1个球是白球的概率。
答案
13.(1)袋子里红球的个数为 $50×\frac{3}{10}=15$.
(2)设袋子里白球的个数为 $x$.
根据题意,得 $x+x-5+15=50$,解得 $x=20$,
∴从袋子里随机摸出 1 个球是白球的概率为 $\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.
(2)设袋子里白球的个数为 $x$.
根据题意,得 $x+x-5+15=50$,解得 $x=20$,
∴从袋子里随机摸出 1 个球是白球的概率为 $\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$.
解析
【分析】
（1）求红球个数时，可直接利用概率公式的变形：事件对应的数量=总数量×该事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，代入计算即可得到红球个数。
（2）求摸出白球的概率，需要先得到白球的个数。已知黄球和白球的数量关系，加上第一问已求出的红球个数，可设白球个数为未知数，根据三种球的总个数列一元一次方程求解，得到白球个数后再代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 根据概率的计算公式，红球的个数为：
$50×\frac{3}{10}=15$
(2) 设袋子里白球的个数为$x$，则黄球的个数为$x-5$。
根据三种球总个数为50，列方程得：
$x+x-5+15=50$
解得：$x=20$
因此随机摸出1个球是白球的概率为：
$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 15个；(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
概率计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，结合了一元一次方程的应用，核心考查对概率公式的理解和灵活运用，解题的关键是先求出红球数量，再通过数量关系求出白球个数，进而计算对应概率，属于概率章节的必掌握题型。
【难度系数】
0.8
（1）求红球个数时，可直接利用概率公式的变形：事件对应的数量=总数量×该事件发生的概率，已知总球数和摸出红球的概率，代入计算即可得到红球个数。
（2）求摸出白球的概率，需要先得到白球的个数。已知黄球和白球的数量关系，加上第一问已求出的红球个数，可设白球个数为未知数，根据三种球的总个数列一元一次方程求解，得到白球个数后再代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 根据概率的计算公式，红球的个数为：
$50×\frac{3}{10}=15$
(2) 设袋子里白球的个数为$x$，则黄球的个数为$x-5$。
根据三种球总个数为50，列方程得：
$x+x-5+15=50$
解得：$x=20$
因此随机摸出1个球是白球的概率为：
$\frac{20}{50}=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 15个；(2) $\frac{2}{5}$
【知识点】
概率计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，结合了一元一次方程的应用，核心考查对概率公式的理解和灵活运用，解题的关键是先求出红球数量，再通过数量关系求出白球个数，进而计算对应概率，属于概率章节的必掌握题型。
【难度系数】
0.8
14. 如图,在一个不规则区域内,有一个边长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$的正方形,向区域内随机撒4 000颗黄豆,数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆有1 350颗.
(1)随机向不规则区域内撒一颗黄豆,求黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率;
(2)请你估计出该不规则图形的面积.
(1)随机向不规则区域内撒一颗黄豆,求黄豆落在正方形区域内(含边界)的概率;
(2)请你估计出该不规则图形的面积.
答案
14.(1)记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件 A,
则 $P(A)=\frac{1\ 350}{4\ 000}=\frac{27}{80}$.
(2)$\because P(A)=\frac{27}{80}$,正方形面积为 $3\sqrt{3}×3\sqrt{3}=27(\mathrm{m}^2)$,
∴估计该不规则图形的面积为 $80\ \mathrm{m}^2$.
则 $P(A)=\frac{1\ 350}{4\ 000}=\frac{27}{80}$.
(2)$\because P(A)=\frac{27}{80}$,正方形面积为 $3\sqrt{3}×3\sqrt{3}=27(\mathrm{m}^2)$,
∴估计该不规则图形的面积为 $80\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
对于第(1)问，当随机试验次数足够多时，事件发生的频率可近似等同于事件发生的概率，因此只需用落在正方形内的黄豆数除以撒出的总黄豆数，即可得到黄豆落在正方形内的概率。对于第(2)问，几何概率的本质是事件对应区域的面积与总区域面积的比值，我们已经算出概率，也可先求出正方形的面积，代入面积比和概率的对应关系，就能估算出不规则区域的总面积。
【解析】
(1) 记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件A，根据频率估计概率的原理可得：
$P(A)=\frac{\mathrm{落在正方形内的黄豆数}}{\mathrm{总黄豆数}}=\frac{1350}{4000}=\frac{27}{80}$
(2) 先计算正方形的面积：
已知正方形边长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此正方形面积$S_{\mathrm{正}}=3\sqrt{3} × 3\sqrt{3}=27(\mathrm{m}^2)$
设不规则图形的面积为$S$，由几何概率公式$P(A)=\frac{S_{\mathrm{正}}}{S}$，代入数据得：
$\frac{27}{80}=\frac{27}{S}$
解得$S=80(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\frac{27}{80}$；(2) $80\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，正方形面积计算
【点评】
本题属于概率的实际应用类基础题，核心考查频率与概率的关系、几何概率的计算逻辑，理解概率和区域面积的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，当随机试验次数足够多时，事件发生的频率可近似等同于事件发生的概率，因此只需用落在正方形内的黄豆数除以撒出的总黄豆数，即可得到黄豆落在正方形内的概率。对于第(2)问，几何概率的本质是事件对应区域的面积与总区域面积的比值，我们已经算出概率，也可先求出正方形的面积，代入面积比和概率的对应关系，就能估算出不规则区域的总面积。
【解析】
(1) 记“黄豆落在正方形区域内(含边界)”为事件A，根据频率估计概率的原理可得：
$P(A)=\frac{\mathrm{落在正方形内的黄豆数}}{\mathrm{总黄豆数}}=\frac{1350}{4000}=\frac{27}{80}$
(2) 先计算正方形的面积：
已知正方形边长为$3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，因此正方形面积$S_{\mathrm{正}}=3\sqrt{3} × 3\sqrt{3}=27(\mathrm{m}^2)$
设不规则图形的面积为$S$，由几何概率公式$P(A)=\frac{S_{\mathrm{正}}}{S}$，代入数据得：
$\frac{27}{80}=\frac{27}{S}$
解得$S=80(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $\frac{27}{80}$；(2) $80\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
用频率估计概率，几何概率计算，正方形面积计算
【点评】
本题属于概率的实际应用类基础题，核心考查频率与概率的关系、几何概率的计算逻辑，理解概率和区域面积的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
