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1. 下列说法中正确的是 （
A.$4^2$表示4个2相乘
B.3个$-2$相乘写成乘方形式为$-2^3$
C.$(-\dfrac{2}{7})^5$的底数为$-\dfrac{2}{7}$
D.$-4^2$的底数为$-4$
C
）A.$4^2$表示4个2相乘
B.3个$-2$相乘写成乘方形式为$-2^3$
C.$(-\dfrac{2}{7})^5$的底数为$-\dfrac{2}{7}$
D.$-4^2$的底数为$-4$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确有理数乘方的基本定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a叫做底数，n叫做指数。解题时逐个分析每个选项，结合乘方的定义判断表述是否正确即可，重点要区分带负号的乘方中，负号是否属于底数（关键看有没有括号把负号和数字括在一起）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$4^2$中底数是4，指数是2，表示2个4相乘，而非4个2相乘，故A错误；
B选项：3个$-2$相乘是$(-2)×(-2)×(-2)$，写成乘方形式为$(-2)^3$，而$-2^3$表示$-(2×2×2)$，是3个2相乘的相反数，故B错误；
C选项：$(-\dfrac{2}{7})^5$中括号将$-\dfrac{2}{7}$作为整体，所以底数为$-\dfrac{2}{7}$，故C正确；
D选项：$-4^2$表示$-(4×4)$，是$4^2$的相反数，底数为4，不是$-4$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
乘方的定义；乘方底数的判定
【点评】
这道题是乘方的基础概念题，重点考查带负号的乘方的底数区分，做题时只要注意括号的作用，牢记乘方的定义就能轻松判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确有理数乘方的基本定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a叫做底数，n叫做指数。解题时逐个分析每个选项，结合乘方的定义判断表述是否正确即可，重点要区分带负号的乘方中，负号是否属于底数（关键看有没有括号把负号和数字括在一起）。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$4^2$中底数是4，指数是2，表示2个4相乘，而非4个2相乘，故A错误；
B选项：3个$-2$相乘是$(-2)×(-2)×(-2)$，写成乘方形式为$(-2)^3$，而$-2^3$表示$-(2×2×2)$，是3个2相乘的相反数，故B错误；
C选项：$(-\dfrac{2}{7})^5$中括号将$-\dfrac{2}{7}$作为整体，所以底数为$-\dfrac{2}{7}$，故C正确；
D选项：$-4^2$表示$-(4×4)$，是$4^2$的相反数，底数为4，不是$-4$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
乘方的定义；乘方底数的判定
【点评】
这道题是乘方的基础概念题，重点考查带负号的乘方的底数区分，做题时只要注意括号的作用，牢记乘方的定义就能轻松判断。
【难度系数】
0.8
2. $7^4$ 表示4个
7
相乘，叫作7
的4
次幂，其中7叫作底数
，4叫作指数
。答案
7，7，4，底数，指数
解析
【分析】
这道题考查有理数乘方的基础概念，解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作$a^n$。我们只需将$7^4$和乘方的标准形式$a^n$对应，就能依次得出每个空的答案：首先确定相同的因数是7，n是4，再对应底数、指数的定义填空即可。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同的因数a相乘，记作$a^n$，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。
对应到$7^4$：
1. 表示4个7相乘；
2. 叫做7的4次幂；
3. 其中7叫作底数，4叫作指数。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
7，7，4，底数，指数
【知识点】
乘方的定义；幂的概念；底数与指数
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查乘方相关的基础定义，是乘方运算的入门知识点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数乘方的基础概念，解题时先回忆乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作$a^n$。我们只需将$7^4$和乘方的标准形式$a^n$对应，就能依次得出每个空的答案：首先确定相同的因数是7，n是4，再对应底数、指数的定义填空即可。
【解析】
根据乘方的定义：n个相同的因数a相乘，记作$a^n$，读作a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数。
对应到$7^4$：
1. 表示4个7相乘；
2. 叫做7的4次幂；
3. 其中7叫作底数，4叫作指数。
因此依次填入对应内容即可。
【答案】
7，7，4，底数，指数
【知识点】
乘方的定义；幂的概念；底数与指数
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查乘方相关的基础定义，是乘方运算的入门知识点，熟练掌握概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 把下列各式改写成乘方的形式。
(1)$4×4×4=$
(2)$(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=$
(3)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=$
(1)$4×4×4=$
$4^3$
；(2)$(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=$
$(-3)^4$
；(3)$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=$
$(\dfrac{2}{3})^5$
。答案
(1)$4^3$ (2)$(-3)^4$ (3)$(\dfrac{2}{3})^5$
解析
【分析】
本题考查乘方形式的改写，解题思路依托乘方的定义展开：首先明确乘方是求n个相同因数的积的运算，形式记作$a^n$，其中相同因数$a$是底数，相同因数的个数$n$是指数。改写时分三步：第一步找出每个式子中相同的因数作为底数；第二步数出相同因数的总个数作为指数；第三步注意如果底数是负数或者分数，要给底数加上括号后再标注指数，避免运算含义出错。
【解析】
根据乘方的定义逐一改写：
(1) 式中相同因数为4，共有3个4相乘，因此改写为$4^3$；
(2) 式中相同因数为$-3$，共有4个$-3$相乘，负数作为底数需加括号，因此改写为$(-3)^4$；
(3) 式中相同因数为$\frac{2}{3}$，共有5个$\frac{2}{3}$相乘，分数作为底数需加括号，因此改写为$(\dfrac{2}{3})^5$。
【答案】
(1)$4^3$ (2)$(-3)^4$ (3)$(\dfrac{2}{3})^5$
【知识点】
乘方的定义；乘方的书写规范
【点评】
本题是乘方的基础题型，主要考查对乘方概念的理解和应用，解题的易错点是忽略负数、分数作底数时需要加括号的要求，日常练习要注意规范书写。
【难度系数】
0.9
本题考查乘方形式的改写，解题思路依托乘方的定义展开：首先明确乘方是求n个相同因数的积的运算，形式记作$a^n$，其中相同因数$a$是底数，相同因数的个数$n$是指数。改写时分三步：第一步找出每个式子中相同的因数作为底数；第二步数出相同因数的总个数作为指数；第三步注意如果底数是负数或者分数，要给底数加上括号后再标注指数，避免运算含义出错。
【解析】
根据乘方的定义逐一改写：
(1) 式中相同因数为4，共有3个4相乘，因此改写为$4^3$；
(2) 式中相同因数为$-3$，共有4个$-3$相乘，负数作为底数需加括号，因此改写为$(-3)^4$；
(3) 式中相同因数为$\frac{2}{3}$，共有5个$\frac{2}{3}$相乘，分数作为底数需加括号，因此改写为$(\dfrac{2}{3})^5$。
【答案】
(1)$4^3$ (2)$(-3)^4$ (3)$(\dfrac{2}{3})^5$
【知识点】
乘方的定义；乘方的书写规范
【点评】
本题是乘方的基础题型，主要考查对乘方概念的理解和应用，解题的易错点是忽略负数、分数作底数时需要加括号的要求，日常练习要注意规范书写。
【难度系数】
0.9
4. 填表：
| | 底数 | 指数 | 乘方的意义 | 幂 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | $3$ | $2$ | $2$个$3$相乘 | $9$ |
| $5^3$ | | | | |
| $(-1)^7$ | |
| | |
| $(-2\ \frac{1}{3})^2$ | | | | |
| | 底数 | 指数 | 乘方的意义 | 幂 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | $3$ | $2$ | $2$个$3$相乘 | $9$ |
| $5^3$ | | | | |
| $(-1)^7$ | |
| | || $(-2\ \frac{1}{3})^2$ | | | | |
答案
| | 底数 | 指数 | 乘方的意义 | 幂 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | 3 | 2 | 2个3相乘 | 9 |
| $5^3$ | 5 | 3 | 3个5相乘 | 125 |
| $(-1)^7$ | -1 | 7 | 7个-1相乘 | -1 |
| $(-2\dfrac{1}{3})^2$ | $-2\dfrac{1}{3}$ | 2 | 2个$-2\dfrac{1}{3}$相乘 | $\dfrac{49}{9}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | 3 | 2 | 2个3相乘 | 9 |
| $5^3$ | 5 | 3 | 3个5相乘 | 125 |
| $(-1)^7$ | -1 | 7 | 7个-1相乘 | -1 |
| $(-2\dfrac{1}{3})^2$ | $-2\dfrac{1}{3}$ | 2 | 2个$-2\dfrac{1}{3}$相乘 | $\dfrac{49}{9}$ |
解析
【分析】
要完成本题填表，首先要明确有理数乘方的基本概念：形如$a^n$的式子中，$a$是底数，$n$是指数，它的意义是$n$个$a$相乘，计算得到的结果就是幂。注意当底数是负数、带分数时，底数是括号内的整体；计算幂时，先根据“负数的奇次幂为负、偶次幂为正”确定符号，再计算绝对值即可。
【解析】
1. 对$5^3$：
底数为5，指数为3，乘方意义是3个5相乘，幂为$5×5×5=125$；
2. 对$(-1)^7$：
底数为-1，指数为7，乘方意义是7个-1相乘，7是奇数，负数的奇次幂为负，幂为$-1$；
3. 对$(-2\frac{1}{3})^2$：
底数为$-2\frac{1}{3}$，指数为2，乘方意义是2个$-2\frac{1}{3}$相乘，2是偶数，负数的偶次幂为正，先把带分数化为假分数$-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，幂为$(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})=\frac{49}{9}$。
【答案】
| | 底数 | 指数 | 乘方的意义 | 幂 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | 3 | 2 | 2个3相乘 | 9 |
| $5^3$ | 5 | 3 | 3个5相乘 | 125 |
| $(-1)^7$ | -1 | 7 | 7个-1相乘 | -1 |
| $(-2\dfrac{1}{3})^2$ | $-2\dfrac{1}{3}$ | 2 | 2个$-2\dfrac{1}{3}$相乘 | $\dfrac{49}{9}$ |
【知识点】
乘方的定义，有理数乘方运算，负数乘方符号法则
【点评】
本题是乘方的基础练习题，核心考查对乘方各部分名称和意义的理解，要特别注意底数为负数、带分数时需用括号把整体括起来，计算时先定符号再算数值，避免出错。
【难度系数】
0.85
要完成本题填表，首先要明确有理数乘方的基本概念：形如$a^n$的式子中，$a$是底数，$n$是指数，它的意义是$n$个$a$相乘，计算得到的结果就是幂。注意当底数是负数、带分数时，底数是括号内的整体；计算幂时，先根据“负数的奇次幂为负、偶次幂为正”确定符号，再计算绝对值即可。
【解析】
1. 对$5^3$：
底数为5，指数为3，乘方意义是3个5相乘，幂为$5×5×5=125$；
2. 对$(-1)^7$：
底数为-1，指数为7，乘方意义是7个-1相乘，7是奇数，负数的奇次幂为负，幂为$-1$；
3. 对$(-2\frac{1}{3})^2$：
底数为$-2\frac{1}{3}$，指数为2，乘方意义是2个$-2\frac{1}{3}$相乘，2是偶数，负数的偶次幂为正，先把带分数化为假分数$-2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$，幂为$(-\frac{7}{3})×(-\frac{7}{3})=\frac{49}{9}$。
【答案】
| | 底数 | 指数 | 乘方的意义 | 幂 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $3^2$ | 3 | 2 | 2个3相乘 | 9 |
| $5^3$ | 5 | 3 | 3个5相乘 | 125 |
| $(-1)^7$ | -1 | 7 | 7个-1相乘 | -1 |
| $(-2\dfrac{1}{3})^2$ | $-2\dfrac{1}{3}$ | 2 | 2个$-2\dfrac{1}{3}$相乘 | $\dfrac{49}{9}$ |
【知识点】
乘方的定义，有理数乘方运算，负数乘方符号法则
【点评】
本题是乘方的基础练习题，核心考查对乘方各部分名称和意义的理解，要特别注意底数为负数、带分数时需用括号把整体括起来，计算时先定符号再算数值，避免出错。
【难度系数】
0.85
5. 用“＞”“＜”或“=”填空。
(1)$(-\dfrac{1}{2})^4$
(2)$(-\dfrac{2}{3})^3$
(3)$(-1)^{99}$
(1)$(-\dfrac{1}{2})^4$
＞
$0$；(2)$(-\dfrac{2}{3})^3$
＜
$0$；(3)$(-1)^{99}$
=
$-1$。答案
(1)＞ (2)＜ (3)=
解析
【分析】
解题时先回忆有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。先判断或计算出左边乘方的结果，再和右侧的数比较大小即可。
【解析】
(1) $(-\dfrac{1}{2})^4$的指数4是偶数，负数的偶次幂为正数，即$(-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}$，正数都大于0，故填＞；
(2) $(-\dfrac{2}{3})^3$的指数3是奇数，负数的奇次幂为负数，即$(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$，负数都小于0，故填＜；
(3) $(-1)^{99}$的指数99是奇数，负数的奇次幂为负数，即$(-1)^{99}=-1$，和右侧的$-1$相等，故填=。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)=
【知识点】
乘方符号法则，有理数大小比较，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查有理数乘方符号规律的应用，熟练掌握负数奇偶次幂的符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆有理数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。先判断或计算出左边乘方的结果，再和右侧的数比较大小即可。
【解析】
(1) $(-\dfrac{1}{2})^4$的指数4是偶数，负数的偶次幂为正数，即$(-\dfrac{1}{2})^4=\dfrac{1}{16}$，正数都大于0，故填＞；
(2) $(-\dfrac{2}{3})^3$的指数3是奇数，负数的奇次幂为负数，即$(-\dfrac{2}{3})^3=-\dfrac{8}{27}$，负数都小于0，故填＜；
(3) $(-1)^{99}$的指数99是奇数，负数的奇次幂为负数，即$(-1)^{99}=-1$，和右侧的$-1$相等，故填=。
【答案】
(1)＞ (2)＜ (3)=
【知识点】
乘方符号法则，有理数大小比较，乘方运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查有理数乘方符号规律的应用，熟练掌握负数奇偶次幂的符号特点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 计算：
(1) $-\dfrac{6^2}{7}$；
(2) $2^3×(-3)^2$；
(3) $-1^4-[2×(-4)]^2$。
(1) $-\dfrac{6^2}{7}$；
(2) $2^3×(-3)^2$；
(3) $-1^4-[2×(-4)]^2$。
答案
(1)$-\dfrac{36}{7}$ (2)$72$ (3)$-65$
解析
【分析】
本题考查有理数的乘方及混合运算，解题时需牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；同时要注意区分乘方的底数，明确负号是否包含在底数内：若底数不带括号，负号不属于乘方部分，仅为结果的符号。
(1) 先计算分子部分的乘方$6^2$，再结合分数前的负号写出结果即可；
(2) 先分别计算两个乘方$2^3$和$(-3)^2$，再将所得结果相乘；
(3) 先计算乘方$-1^4$，再计算中括号内的乘法，接着计算中括号结果的乘方，最后计算减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$6^2=6×6=36$，负号在分数前不属于乘方底数，因此原式$=-\dfrac{36}{7}$；
(2) 先分别计算乘方：$2^3=2×2×2=8$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，再计算乘法：原式$=8×9=72$；
(3) 按运算顺序计算：
第一步计算乘方：$-1^4=-1$；
第二步计算中括号内的乘法：$2×(-4)=-8$；
第三步计算乘方：$(-8)^2=64$；
第四步计算减法：原式$=-1-64=-65$。
【答案】
(1)$-\dfrac{36}{7}$；(2)$72$；(3)$-65$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，乘方符号法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，易错点是混淆乘方的底数，把负号未加括号的乘方错误当作底数带负号计算，解题时只要严格遵循运算顺序，明确底数范围即可准确作答。
【难度系数】
0.75
本题考查有理数的乘方及混合运算，解题时需牢记运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的；同时要注意区分乘方的底数，明确负号是否包含在底数内：若底数不带括号，负号不属于乘方部分，仅为结果的符号。
(1) 先计算分子部分的乘方$6^2$，再结合分数前的负号写出结果即可；
(2) 先分别计算两个乘方$2^3$和$(-3)^2$，再将所得结果相乘；
(3) 先计算乘方$-1^4$，再计算中括号内的乘法，接着计算中括号结果的乘方，最后计算减法即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$6^2=6×6=36$，负号在分数前不属于乘方底数，因此原式$=-\dfrac{36}{7}$；
(2) 先分别计算乘方：$2^3=2×2×2=8$，$(-3)^2=(-3)×(-3)=9$，再计算乘法：原式$=8×9=72$；
(3) 按运算顺序计算：
第一步计算乘方：$-1^4=-1$；
第二步计算中括号内的乘法：$2×(-4)=-8$；
第三步计算乘方：$(-8)^2=64$；
第四步计算减法：原式$=-1-64=-65$。
【答案】
(1)$-\dfrac{36}{7}$；(2)$72$；(3)$-65$
【知识点】
有理数乘方运算，有理数混合运算，乘方符号法则
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，易错点是混淆乘方的底数，把负号未加括号的乘方错误当作底数带负号计算，解题时只要严格遵循运算顺序，明确底数范围即可准确作答。
【难度系数】
0.75
7.定义一种新运算：$a▲b=a^b$，如$-4▲2=(-4)^2=16$，则$\frac{1}{2}▲3$的值为（
A.$\frac{1}{8}$
B.$3$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{3}{2}$
C
）A.$\frac{1}{8}$
B.$3$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
C
