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10.如图①②,某餐桌桌面可由圆形折叠成正方形(图①中阴影表示可折叠部分),折叠前圆形桌面的直径为2 m,折叠成正方形后其边长为a m。已知一块正方形桌布的边长为2 m,根据所学知识,回答下列问题:
(1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时,面积减少了多少?
(2)若按图③所示,把桌布铺在折叠前的圆形桌面上,则桌布垂下部分的面积是多少?若按图④所示,把桌布铺在折叠后的正方形桌面上,则桌布垂下部分的面积是多少?
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
(1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时,面积减少了多少?
(2)若按图③所示,把桌布铺在折叠前的圆形桌面上,则桌布垂下部分的面积是多少?若按图④所示,把桌布铺在折叠后的正方形桌面上,则桌布垂下部分的面积是多少?
课后反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
10.解:(1)圆形桌面的面积为$π r^2=π×1^2=π \ \mathrm{m}^2$,
正方形桌面的面积为$a^2 \ \mathrm{m}^2$,
则面积减少了$(π-a^2)\mathrm{m}^2$。
(2)由(1)知圆形桌面的面积为$π \ \mathrm{m}^2$,
正方形桌布的面积为$2×2=4(\mathrm{m}^2)$,
正方形桌面的面积为$a^2 \ \mathrm{m}^2$,
铺在圆形桌面上时,桌布垂下的面积为$(4-π)\mathrm{m}^2$;
铺在正方形桌面上时,桌布垂下的面积为$(4-a^2)\mathrm{m}^2$。
正方形桌面的面积为$a^2 \ \mathrm{m}^2$,
则面积减少了$(π-a^2)\mathrm{m}^2$。
(2)由(1)知圆形桌面的面积为$π \ \mathrm{m}^2$,
正方形桌布的面积为$2×2=4(\mathrm{m}^2)$,
正方形桌面的面积为$a^2 \ \mathrm{m}^2$,
铺在圆形桌面上时,桌布垂下的面积为$(4-π)\mathrm{m}^2$;
铺在正方形桌面上时,桌布垂下的面积为$(4-a^2)\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题时先明确每个问题所求的是哪两个图形的面积差：
(1) 求折叠后面积减少量，只需用折叠前圆形桌面的面积减去折叠后正方形桌面的面积即可。首先根据圆形直径求出半径，利用圆面积公式算出圆面积，再结合已知的正方形边长表示出正方形面积，二者作差就是减少的面积。
(2) 求桌布垂下部分的面积，均用正方形桌布的面积减去对应桌面的面积即可。先算出边长为2m的正方形桌布的面积，再分别减去圆形桌面面积、折叠后正方形桌面面积，就能得到两种情况下垂下部分的面积。
【解析】
(1) 已知圆形桌面直径为2m，因此半径$r=2÷2=1\ \mathrm{m}$，
圆形桌面的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$，
折叠后正方形桌面的面积：$S_{\mathrm{正}}=a^2\ \mathrm{m}^2$，
面积减少量为：$S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{正}}=(π - a^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 正方形桌布的边长为2m，因此桌布面积：$S_{\mathrm{桌布}}=2×2=4\ \mathrm{m}^2$，
① 铺在圆形桌面上时，垂下部分面积 = 桌布面积 - 圆形桌面面积，即$4 - π\ \mathrm{m}^2$；
② 铺在折叠后的正方形桌面上时，垂下部分面积 = 桌布面积 - 折叠后正方形桌面面积，即$(4 - a^2)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 面积减少了$\boldsymbol{(π - a^2)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 铺在圆形桌面上时，桌布垂下部分面积为$\boldsymbol{(4 - π)\ \mathrm{m}^2}$；铺在折叠后的正方形桌面上时，桌布垂下部分面积为$\boldsymbol{(4 - a^2)\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
圆的面积计算；正方形面积计算；列代数式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理清不同情境下面积的等量关系，熟练掌握常见图形的面积公式即可顺利求解，解题时注意不要混淆各个图形对应的参数。
【难度系数】
0.8
解题时先明确每个问题所求的是哪两个图形的面积差：
(1) 求折叠后面积减少量，只需用折叠前圆形桌面的面积减去折叠后正方形桌面的面积即可。首先根据圆形直径求出半径，利用圆面积公式算出圆面积，再结合已知的正方形边长表示出正方形面积，二者作差就是减少的面积。
(2) 求桌布垂下部分的面积，均用正方形桌布的面积减去对应桌面的面积即可。先算出边长为2m的正方形桌布的面积，再分别减去圆形桌面面积、折叠后正方形桌面面积，就能得到两种情况下垂下部分的面积。
【解析】
(1) 已知圆形桌面直径为2m，因此半径$r=2÷2=1\ \mathrm{m}$，
圆形桌面的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{m}^2$，
折叠后正方形桌面的面积：$S_{\mathrm{正}}=a^2\ \mathrm{m}^2$，
面积减少量为：$S_{\mathrm{圆}}-S_{\mathrm{正}}=(π - a^2)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 正方形桌布的边长为2m，因此桌布面积：$S_{\mathrm{桌布}}=2×2=4\ \mathrm{m}^2$，
① 铺在圆形桌面上时，垂下部分面积 = 桌布面积 - 圆形桌面面积，即$4 - π\ \mathrm{m}^2$；
② 铺在折叠后的正方形桌面上时，垂下部分面积 = 桌布面积 - 折叠后正方形桌面面积，即$(4 - a^2)\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 面积减少了$\boldsymbol{(π - a^2)\ \mathrm{m}^2}$；
(2) 铺在圆形桌面上时，桌布垂下部分面积为$\boldsymbol{(4 - π)\ \mathrm{m}^2}$；铺在折叠后的正方形桌面上时，桌布垂下部分面积为$\boldsymbol{(4 - a^2)\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
圆的面积计算；正方形面积计算；列代数式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是理清不同情境下面积的等量关系，熟练掌握常见图形的面积公式即可顺利求解，解题时注意不要混淆各个图形对应的参数。
【难度系数】
0.8
课前预习
基础知识
代数式
的值
用
计算出的结果，叫作代数式的值。
困惑疑问：
基础知识
代数式
的值
用
数
代替代数式中的字母
，按照代数式中的运算关系计算出的结果，叫作代数式的值。
困惑疑问：
答案
数 字母
解析
【分析】
本题是基础概念识记类题目，考查代数式的值的定义。解题时只需回忆对应概念即可：代数式通常包含字母，要得到它的具体运算结果，需要用具体的数值替换式中的字母，再按照给定的运算关系计算，最终得到的结果就是代数式的值，由此可确定两个空缺处的内容。
【解析】
根据代数式的值的定义：用数代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果，叫作代数式的值。因此两个空缺处依次填写数、字母。
【答案】
数 字母
【知识点】
代数式的值的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查对基础概念的记忆，熟练掌握相关定义即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念识记类题目，考查代数式的值的定义。解题时只需回忆对应概念即可：代数式通常包含字母，要得到它的具体运算结果，需要用具体的数值替换式中的字母，再按照给定的运算关系计算，最终得到的结果就是代数式的值，由此可确定两个空缺处的内容。
【解析】
根据代数式的值的定义：用数代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算出的结果，叫作代数式的值。因此两个空缺处依次填写数、字母。
【答案】
数 字母
【知识点】
代数式的值的概念
【点评】
本题属于基础题，核心考查对基础概念的记忆，熟练掌握相关定义即可快速正确作答。
【难度系数】
0.9
思考 1.求代数式的值的一般步骤是什么？
答案
用数代替代数式中的字母，并按照代数式中的运算关系计算出结果。
解析
【分析】
这是一道考查代数式求值基本步骤的基础概念题。解题时可先回忆代数式的定义：代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等运算得到的式子，本身没有确定数值。要得到代数式的具体值，首先需要将式中的字母替换为给定的具体数值，替换时不能改变原式的运算顺序和运算关系，再按照有理数的运算规则计算出最终结果，由此就能梳理出求代数式值的一般步骤。
【解析】
求代数式的值的过程分为两步：①代入：将代数式中对应的字母替换为给定的数值，替换时不能改变原式的运算结构，原式省略的乘号要补充，若代入负数、分数做乘方运算时要添加括号；②计算：严格按照代数式中给定的运算关系计算结果，运算顺序遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的规则。综上可总结出求代数式值的一般步骤。
【答案】
用数代替代数式中的字母，并按照代数式中的运算关系计算出结果。
【知识点】
代数式求值步骤；代入运算；有理数运算
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对代数式求值基本流程的掌握，是后续学习化简求值、方程运算等内容的重要基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
这是一道考查代数式求值基本步骤的基础概念题。解题时可先回忆代数式的定义：代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方等运算得到的式子，本身没有确定数值。要得到代数式的具体值，首先需要将式中的字母替换为给定的具体数值，替换时不能改变原式的运算顺序和运算关系，再按照有理数的运算规则计算出最终结果，由此就能梳理出求代数式值的一般步骤。
【解析】
求代数式的值的过程分为两步：①代入：将代数式中对应的字母替换为给定的数值，替换时不能改变原式的运算结构，原式省略的乘号要补充，若代入负数、分数做乘方运算时要添加括号；②计算：严格按照代数式中给定的运算关系计算结果，运算顺序遵循先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内的规则。综上可总结出求代数式值的一般步骤。
【答案】
用数代替代数式中的字母，并按照代数式中的运算关系计算出结果。
【知识点】
代数式求值步骤；代入运算；有理数运算
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对代数式求值基本流程的掌握，是后续学习化简求值、方程运算等内容的重要基础，需要准确记忆、熟练应用。
【难度系数】
0.9
1. 当$x=-1$时，代数式$5-2x$的值是
7
。答案
7
解析
【分析】
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路非常清晰：首先明确给出的未知数x的取值为-1，接下来将x=-1代入到代数式5-2x中替换x的位置，最后按照有理数的运算规则计算结果即可，计算时要注意负数参与乘法运算时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：当x=-1时，将x=-1代入代数式$5-2x$中，可得：
$\begin{split}&5-2×(-1)\\=&5+2\\=&7\end{split}$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值；有理数四则运算
【点评】
本题是基础考查题，核心检验代数式求值的代入计算能力，解题的易错点是代入负数时忽略符号变化，只要细心计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
本题属于代数式求值的基础题型，解题思路非常清晰：首先明确给出的未知数x的取值为-1，接下来将x=-1代入到代数式5-2x中替换x的位置，最后按照有理数的运算规则计算结果即可，计算时要注意负数参与乘法运算时的符号变化，避免符号出错。
【解析】
解：当x=-1时，将x=-1代入代数式$5-2x$中，可得：
$\begin{split}&5-2×(-1)\\=&5+2\\=&7\end{split}$
【答案】
7
【知识点】
代数式求值；有理数四则运算
【点评】
本题是基础考查题，核心检验代数式求值的代入计算能力，解题的易错点是代入负数时忽略符号变化，只要细心计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.9
2. 当 $ x = -\dfrac{5}{2} $ 时，代数式 $ 2x + 3 $ 的值是
-2
。答案
-2
解析
【分析】
这道题考查代数式求值的基本方法，解题思路非常清晰：第一步先把题目给出的x的取值代入到代数式$2x+3$中，第二步按照有理数的运算规则计算出最终结果即可，代入时要注意x是负数，运算过程中不要弄错符号。
【解析】
解：将$x=-\dfrac{5}{2}$代入代数式$2x+3$，可得：
$\begin{split}2x+3&=2×(-\dfrac{5}{2})+3\\&=-5+3\\&=-2\end{split}$
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值、有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握代数式求值的“代入-计算”两步法，计算时注意负数乘法的符号规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题考查代数式求值的基本方法，解题思路非常清晰：第一步先把题目给出的x的取值代入到代数式$2x+3$中，第二步按照有理数的运算规则计算出最终结果即可，代入时要注意x是负数，运算过程中不要弄错符号。
【解析】
解：将$x=-\dfrac{5}{2}$代入代数式$2x+3$，可得：
$\begin{split}2x+3&=2×(-\dfrac{5}{2})+3\\&=-5+3\\&=-2\end{split}$
【答案】
$-2$
【知识点】
代数式求值、有理数运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握代数式求值的“代入-计算”两步法，计算时注意负数乘法的符号规则即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
3.当$x=-4$时，代数式$x^2 - 2x$的值是
24
。答案
24
解析
【分析】
本题是代数式求值类基础题，解题思路为：首先将题目给出的x=-4代入代数式$x^2 - 2x$中，代入时要注意负数参与乘方、乘法运算时需要添加括号，避免符号出错；再按照有理数运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，逐步算出结果即可。
【解析】
当$x=-4$时，
$\begin{aligned}原式&=(-4)^2 - 2×(-4)\\&=16 - (-8)\\&=16 + 8\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的操作规范，解题的关键是注意负数代入运算时的符号处理，避免因符号疏忽出现计算错误。
【难度系数】
0.9
本题是代数式求值类基础题，解题思路为：首先将题目给出的x=-4代入代数式$x^2 - 2x$中，代入时要注意负数参与乘方、乘法运算时需要添加括号，避免符号出错；再按照有理数运算顺序，先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法，逐步算出结果即可。
【解析】
当$x=-4$时，
$\begin{aligned}原式&=(-4)^2 - 2×(-4)\\&=16 - (-8)\\&=16 + 8\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式代入求值的操作规范，解题的关键是注意负数代入运算时的符号处理，避免因符号疏忽出现计算错误。
【难度系数】
0.9
思考 2.求代数式的值的方法有哪些？
答案
直接代入求值、化简再求值、化简并整体代入求值等。
解析
【分析】
思考代数式求值的方法时，可结合题目给出的已知条件和所求代数式的形式判断：首先观察所求代数式是否为最简形式，其次看已知条件是给出了所有字母的具体取值，还是仅给出了某个含字母的式子的整体取值，根据不同情况对应选择合适的求值方法即可。
【解析】
常用的代数式求值方法有三类：
1. 直接代入求值：当所求代数式本身是最简形式，且题目明确给出代数式中所有字母的具体数值时，直接将数值替换对应字母，按照运算顺序计算出结果即可。
2. 化简再求值：若所求代数式不是最简形式（含有括号、未合并的同类项等），先通过去括号、合并同类项等操作将代数式化为最简形式，再代入字母的具体数值计算，可减少计算量，降低出错概率。
3. 化简并整体代入求值：当题目未给出单个字母的具体取值，仅给出某个含字母的整体式子的取值时，先把所求代数式化简为含有该整体式子的形式，再将整体的取值代入计算，无需单独求解每个字母的取值。
【答案】
直接代入求值、化简再求值、化简并整体代入求值等。
【知识点】
代数式求值、整式化简、整体代入
【点评】
本题考查代数式求值常用方法的归纳，熟练掌握不同方法的适用场景，可有效提升代数式求值的效率与准确率，是代数式相关运算的基础内容。
【难度系数】
0.8
思考代数式求值的方法时，可结合题目给出的已知条件和所求代数式的形式判断：首先观察所求代数式是否为最简形式，其次看已知条件是给出了所有字母的具体取值，还是仅给出了某个含字母的式子的整体取值，根据不同情况对应选择合适的求值方法即可。
【解析】
常用的代数式求值方法有三类：
1. 直接代入求值：当所求代数式本身是最简形式，且题目明确给出代数式中所有字母的具体数值时，直接将数值替换对应字母，按照运算顺序计算出结果即可。
2. 化简再求值：若所求代数式不是最简形式（含有括号、未合并的同类项等），先通过去括号、合并同类项等操作将代数式化为最简形式，再代入字母的具体数值计算，可减少计算量，降低出错概率。
3. 化简并整体代入求值：当题目未给出单个字母的具体取值，仅给出某个含字母的整体式子的取值时，先把所求代数式化简为含有该整体式子的形式，再将整体的取值代入计算，无需单独求解每个字母的取值。
【答案】
直接代入求值、化简再求值、化简并整体代入求值等。
【知识点】
代数式求值、整式化简、整体代入
【点评】
本题考查代数式求值常用方法的归纳，熟练掌握不同方法的适用场景，可有效提升代数式求值的效率与准确率，是代数式相关运算的基础内容。
【难度系数】
0.8
