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15. (★★★)在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，x与y的几组对应值如下表.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求二次函数图象的顶点,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当$0≤x≤3$时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求二次函数图象的顶点,并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后,当$0≤x≤3$时,若图象对应的函数最大值与最小值的差为5,请直接写出n的值.
答案
解：
(1) 将点$(-2, -2)$和$(1, 1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a = b \\a + b = 3\end{cases}$
将$b=2a$代入$a+b=3$，得$3a=3$，解得$a=1$，则$b=2$。
∴二次函数的解析式为$\boldsymbol{y = x^2 + 2x - 2}$。
(2) 对解析式配方得：
$y = x^2 + 2x - 2 = (x+1)^2 - 3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$。
描点$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线连接，得到开口向上、对称轴为直线$x=-1$的抛物线，即为所求函数图象。
(3) $n$的值为$\boldsymbol{4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$。
(1) 将点$(-2, -2)$和$(1, 1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a = b \\a + b = 3\end{cases}$
将$b=2a$代入$a+b=3$，得$3a=3$，解得$a=1$，则$b=2$。
∴二次函数的解析式为$\boldsymbol{y = x^2 + 2x - 2}$。
(2) 对解析式配方得：
$y = x^2 + 2x - 2 = (x+1)^2 - 3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$。
描点$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线连接，得到开口向上、对称轴为直线$x=-1$的抛物线，即为所求函数图象。
(3) $n$的值为$\boldsymbol{4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{1+\sqrt{5}}$。
解析
【分析】
(1) 二次函数解析式中仅含a、b两个未知系数，只需选取两组表格中的x、y对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解方程组即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标；画函数图象时选取顶点、表格给出的对应点等关键点位，描点后用平滑曲线连接即可。
(3) 根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，确定其对称轴。再分三种情况讨论对称轴和区间$0≤x≤3$的位置关系：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别求出区间内的最大值和最小值，结合最值差为5列方程求解，舍去不符合对应范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将点$(-2, -2)$和$(1, 1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a = b \\a + b = 3\end{cases}$
将$b=2a$代入$a+b=3$，得$3a=3$，解得$a=1$，则$b=2$。
∴二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 2$。
(2) 对解析式配方得：
$y = x^2 + 2x - 2 = (x+1)^2 - 3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1, -3)$。
描点$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线连接，得到开口向上、对称轴为直线$x=-1$的抛物线，即为所求函数图象。
(3) 平移后函数解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n-1$，开口向上：
① 若$n-1≤0$即$n≤1$，区间内y随x增大而增大，最值差为$(4-n)^2 -3 - [(1-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合范围舍去；
② 若$0＜n-1＜3$即$1＜n＜4$，最小值为顶点的$-3$：若最大值在$x=3$处，得$(4-n)^2=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（符合范围）；若最大值在$x=0$处，得$(1-n)^2=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（符合范围）；
③ 若$n-1≥3$即$n≥4$，区间内y随x增大而减小，最值差为$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合范围舍去。
综上得到n的取值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = x^2 + 2x - 2}$
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$，图象见解析
(3) $\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象与性质；二次函数平移与最值
【点评】
本题综合考察二次函数相关知识点，前两问为基础常规考点，难度较低；第三问需要运用分类讨论思想，分析对称轴和给定区间的位置关系确定最值，对逻辑思维能力要求较高，容易出现漏解、计算错误的问题。
【难度系数】
0.4
(1) 二次函数解析式中仅含a、b两个未知系数，只需选取两组表格中的x、y对应值代入解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，求解方程组即可得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接读出顶点坐标；画函数图象时选取顶点、表格给出的对应点等关键点位，描点后用平滑曲线连接即可。
(3) 根据“左加右减”的平移规律写出平移后的函数解析式，确定其对称轴。再分三种情况讨论对称轴和区间$0≤x≤3$的位置关系：对称轴在区间左侧、区间内、区间右侧，分别求出区间内的最大值和最小值，结合最值差为5列方程求解，舍去不符合对应范围的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将点$(-2, -2)$和$(1, 1)$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a = b \\a + b = 3\end{cases}$
将$b=2a$代入$a+b=3$，得$3a=3$，解得$a=1$，则$b=2$。
∴二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 2$。
(2) 对解析式配方得：
$y = x^2 + 2x - 2 = (x+1)^2 - 3$，
∴二次函数图象的顶点坐标为$(-1, -3)$。
描点$(-2,-2)$、$(-1,-3)$、$(0,-2)$、$(1,1)$，用平滑曲线连接，得到开口向上、对称轴为直线$x=-1$的抛物线，即为所求函数图象。
(3) 平移后函数解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为直线$x=n-1$，开口向上：
① 若$n-1≤0$即$n≤1$，区间内y随x增大而增大，最值差为$(4-n)^2 -3 - [(1-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{5}{3}$，不符合范围舍去；
② 若$0＜n-1＜3$即$1＜n＜4$，最小值为顶点的$-3$：若最大值在$x=3$处，得$(4-n)^2=5$，解得$n=4-\sqrt{5}$（符合范围）；若最大值在$x=0$处，得$(1-n)^2=5$，解得$n=1+\sqrt{5}$（符合范围）；
③ 若$n-1≥3$即$n≥4$，区间内y随x增大而减小，最值差为$(1-n)^2-3-[(4-n)^2-3]=5$，解得$n=\frac{10}{3}$，不符合范围舍去。
综上得到n的取值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y = x^2 + 2x - 2}$
(2) 顶点坐标为$\boldsymbol{(-1, -3)}$，图象见解析
(3) $\boldsymbol{n=4-\sqrt{5}}$或$\boldsymbol{n=1+\sqrt{5}}$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数图象与性质；二次函数平移与最值
【点评】
本题综合考察二次函数相关知识点，前两问为基础常规考点，难度较低；第三问需要运用分类讨论思想，分析对称轴和给定区间的位置关系确定最值，对逻辑思维能力要求较高，容易出现漏解、计算错误的问题。
【难度系数】
0.4
16. (★★★)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足一次函数关系$y=-0.4x+2.8$；若选择吊球,羽毛球的飞行高度y与水平距离x近似满足二次函数关系$y=a(x-1)^2+3.2$.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上.若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足一次函数关系$y=-0.4x+2.8$；若选择吊球,羽毛球的飞行高度y与水平距离x近似满足二次函数关系$y=a(x-1)^2+3.2$.
(1)求点P的坐标和a的值.
(2)小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
答案
解：
(1) ∵ 点P在y轴上，
∴ 点P的横坐标为0，
将x=0代入$y=-0.4x+2.8$，得$y=2.8$，
∴ 点P的坐标为$(0, 2.8)$。
将$P(0, 2.8)$代入$y=a(x-1)^2+3.2$，得：
$2.8 = a·(0-1)^2 + 3.2$，
解得$a=-0.4$。
(2) ∵ $OA=3\ \mathrm{m}$，$CA=2\ \mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+CA=5\ \mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5, 0)$。
① 计算扣球落地点到C点的距离：
令$y=0$，代入$y=-0.4x+2.8$，得：
$0=-0.4x+2.8$，
解得$x=7$，
扣球落地点坐标为$(7, 0)$，落地点到C点的距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
② 计算吊球落地点到C点的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，
令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2+3.2$，
整理得$(x-1)^2=8$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（不符合实际，舍去），
吊球落地点到C点的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}\approx1.17\ \mathrm{m}$。
∵ $4-2\sqrt{2}＜2$，
∴ 吊球的落地点到C点的距离更近，应选择吊球的击球方式。
(1) ∵ 点P在y轴上，
∴ 点P的横坐标为0，
将x=0代入$y=-0.4x+2.8$，得$y=2.8$，
∴ 点P的坐标为$(0, 2.8)$。
将$P(0, 2.8)$代入$y=a(x-1)^2+3.2$，得：
$2.8 = a·(0-1)^2 + 3.2$，
解得$a=-0.4$。
(2) ∵ $OA=3\ \mathrm{m}$，$CA=2\ \mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+CA=5\ \mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5, 0)$。
① 计算扣球落地点到C点的距离：
令$y=0$，代入$y=-0.4x+2.8$，得：
$0=-0.4x+2.8$，
解得$x=7$，
扣球落地点坐标为$(7, 0)$，落地点到C点的距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
② 计算吊球落地点到C点的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，
令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2+3.2$，
整理得$(x-1)^2=8$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（不符合实际，舍去），
吊球落地点到C点的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}\approx1.17\ \mathrm{m}$。
∵ $4-2\sqrt{2}＜2$，
∴ 吊球的落地点到C点的距离更近，应选择吊球的击球方式。
解析
【分析】
(1) 点P在y轴上，横坐标为0，将x=0代入一次函数$y=-0.4x+2.8$即可求出点P的纵坐标，得到P点坐标；再将P点坐标代入二次函数$y=a(x-1)^2+3.2$，解一元一次方程即可求出a的值。
(2) 先根据OA、CA的长度求出C点坐标：OA=3m，CA=2m，因此OC=OA+CA=5m，即C(5,0)。要比较两种击球方式落地点到C点的距离，需分别令两个函数的y=0，求出对应x的值（二次函数的负根不符合实际运动情况，需舍去），再分别计算落地点与C点的距离，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ 点P在y轴上，
∴ 点P的横坐标为0，
将$x=0$代入$y=-0.4x+2.8$，得$y=2.8$，
∴ 点P的坐标为$(0, 2.8)$。
将$P(0, 2.8)$代入$y=a(x-1)^2+3.2$，得：
$2.8 = a·(0-1)^2 + 3.2$，
解得$a=-0.4$。
(2)
∵ $OA=3\ \mathrm{m}$，$CA=2\ \mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+CA=5\ \mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5, 0)$。
① 计算扣球落地点到C点的距离：
令$y=0$，代入$y=-0.4x+2.8$，得：
$0=-0.4x+2.8$，
解得$x=7$，
扣球落地点坐标为$(7, 0)$，落地点到C点的距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
② 计算吊球落地点到C点的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，
令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2+3.2$，
整理得$(x-1)^2=8$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（不符合实际，舍去），
吊球落地点到C点的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}\approx1.17\ \mathrm{m}$。
∵ $4-2\sqrt{2}＜2$，
∴ 吊球的落地点到C点的距离更近，应选择吊球的击球方式。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2.8)}$，$\boldsymbol{a=-0.4}$；(2) 应选择吊球的击球方式。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，函数与方程的关系
【点评】
本题结合体育运动的实际情境考查函数的应用，解题时需结合实际意义对计算结果进行取舍，核心是理解落地点对应函数值y=0，既考查了函数的基础知识，也考查了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 点P在y轴上，横坐标为0，将x=0代入一次函数$y=-0.4x+2.8$即可求出点P的纵坐标，得到P点坐标；再将P点坐标代入二次函数$y=a(x-1)^2+3.2$，解一元一次方程即可求出a的值。
(2) 先根据OA、CA的长度求出C点坐标：OA=3m，CA=2m，因此OC=OA+CA=5m，即C(5,0)。要比较两种击球方式落地点到C点的距离，需分别令两个函数的y=0，求出对应x的值（二次函数的负根不符合实际运动情况，需舍去），再分别计算落地点与C点的距离，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)
∵ 点P在y轴上，
∴ 点P的横坐标为0，
将$x=0$代入$y=-0.4x+2.8$，得$y=2.8$，
∴ 点P的坐标为$(0, 2.8)$。
将$P(0, 2.8)$代入$y=a(x-1)^2+3.2$，得：
$2.8 = a·(0-1)^2 + 3.2$，
解得$a=-0.4$。
(2)
∵ $OA=3\ \mathrm{m}$，$CA=2\ \mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+CA=5\ \mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5, 0)$。
① 计算扣球落地点到C点的距离：
令$y=0$，代入$y=-0.4x+2.8$，得：
$0=-0.4x+2.8$，
解得$x=7$，
扣球落地点坐标为$(7, 0)$，落地点到C点的距离为$7-5=2\ \mathrm{m}$。
② 计算吊球落地点到C点的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，
令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2+3.2$，
整理得$(x-1)^2=8$，
解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（不符合实际，舍去），
吊球落地点到C点的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}\approx1.17\ \mathrm{m}$。
∵ $4-2\sqrt{2}＜2$，
∴ 吊球的落地点到C点的距离更近，应选择吊球的击球方式。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2.8)}$，$\boldsymbol{a=-0.4}$；(2) 应选择吊球的击球方式。
【知识点】
一次函数的应用，二次函数的应用，函数与方程的关系
【点评】
本题结合体育运动的实际情境考查函数的应用，解题时需结合实际意义对计算结果进行取舍，核心是理解落地点对应函数值y=0，既考查了函数的基础知识，也考查了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
