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1.用4个如图1所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图2所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理.
(1)图2中大正方形的边长为
(2)大正方形面积可以表示为
(3)对比这两种表示方法，可得出
(1)图2中大正方形的边长为
a+b
，里面小正方形的边长为c
.(2)大正方形面积可以表示为
(a+b)²
，也可以表示为4×1/2 ab +c²
.(3)对比这两种表示方法，可得出
(a+b)²=4×1/2 ab +c²
，整理，得c²=a²+b²
.答案
1.(1)a+b c (2)(a+b)² 4×1/2 ab +c² (3)(a+b)²=4×1/2 ab +c² c²=a²+b²
解析
【分析】
解决这道拼图验证勾股定理的问题，核心思路是利用“同一图形的面积用两种不同方式计算，结果相等”建立等量关系。首先观察图形边长构成：①大正方形的每条边都由直角三角形的两条直角边a、b拼接而成，可直接得到大正方形边长；内部小正方形的边对应直角三角形的斜边，可得小正方形边长。②计算大正方形面积时，第一种直接用正方形面积公式，用边长平方表示；第二种将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间小正方形，分别计算面积后求和。③令两种面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理。
【解析】
(1) 观察图2可知，大正方形每条边都由长度为a和b的线段拼接而成，因此大正方形边长为$\boldsymbol{a+b}$；内部小正方形的每条边都是直角三角形的斜边，长度为c，因此小正方形边长为$\boldsymbol{c}$。
(2) 根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，大正方形面积可表示为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；另外，大正方形面积=4个直角三角形的面积和+中间小正方形的面积，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形面积为$c^2$，因此大正方形面积也可表示为$\boldsymbol{4×\frac{1}{2}ab + c^2}$。
(3) 由于两种表达式表示的是同一个大正方形的面积，因此二者相等，可得$\boldsymbol{(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2}$；对等式整理：左边展开得$a^2+2ab+b^2$，右边化简得$2ab+c^2$，等式两边同时减去$2ab$，最终得到$\boldsymbol{c^2=a^2+b^2}$。
【答案】
(1)$a+b$；$c$
(2)$(a+b)^2$；$4×\frac{1}{2}ab +c^2$
(3)$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab +c^2$；$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理的验证；正方形面积计算；面积法的应用
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，借助拼图将几何图形和代数运算结合，考查了数形结合思想的应用，能帮助学生理解勾股定理的推导逻辑，掌握利用面积相等建立等量关系的方法。
【难度系数】
0.8
解决这道拼图验证勾股定理的问题，核心思路是利用“同一图形的面积用两种不同方式计算，结果相等”建立等量关系。首先观察图形边长构成：①大正方形的每条边都由直角三角形的两条直角边a、b拼接而成，可直接得到大正方形边长；内部小正方形的边对应直角三角形的斜边，可得小正方形边长。②计算大正方形面积时，第一种直接用正方形面积公式，用边长平方表示；第二种将大正方形拆分为4个全等直角三角形和中间小正方形，分别计算面积后求和。③令两种面积表达式相等，化简后即可得到勾股定理。
【解析】
(1) 观察图2可知，大正方形每条边都由长度为a和b的线段拼接而成，因此大正方形边长为$\boldsymbol{a+b}$；内部小正方形的每条边都是直角三角形的斜边，长度为c，因此小正方形边长为$\boldsymbol{c}$。
(2) 根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}^2$，大正方形面积可表示为$\boldsymbol{(a+b)^2}$；另外，大正方形面积=4个直角三角形的面积和+中间小正方形的面积，单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，小正方形面积为$c^2$，因此大正方形面积也可表示为$\boldsymbol{4×\frac{1}{2}ab + c^2}$。
(3) 由于两种表达式表示的是同一个大正方形的面积，因此二者相等，可得$\boldsymbol{(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2}$；对等式整理：左边展开得$a^2+2ab+b^2$，右边化简得$2ab+c^2$，等式两边同时减去$2ab$，最终得到$\boldsymbol{c^2=a^2+b^2}$。
【答案】
(1)$a+b$；$c$
(2)$(a+b)^2$；$4×\frac{1}{2}ab +c^2$
(3)$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab +c^2$；$c^2=a^2+b^2$
【知识点】
勾股定理的验证；正方形面积计算；面积法的应用
【点评】
本题是勾股定理验证的经典题型，借助拼图将几何图形和代数运算结合，考查了数形结合思想的应用，能帮助学生理解勾股定理的推导逻辑，掌握利用面积相等建立等量关系的方法。
【难度系数】
0.8
2.（教材P8习题T3变式）如图，一棵高为8 m的大树被台风刮断.若树在离地面3 m的点C处折断，则树顶端落在离树底部（
A.4 m处
B.5 m处
C.6 m处
D.7 m处
A
）A.4 m处
B.5 m处
C.6 m处
D.7 m处
答案
2.A
解析
【分析】
首先要将大树折断的实际问题转化为直角三角形求解问题：树与地面垂直，因此△ABC是直角三角形，∠A为直角。先确定各边对应长度：AC是树折断后剩余的高度，为3m；折断的部分为斜边BC，总树高8m，因此BC=8-3=5m。要求树顶端到树底部的距离就是求直角边AB的长度，用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意可知△ABC为直角三角形，∠A=90°，
AC=3m，折断部分长度$BC=8-3=5\mathrm{m}$，
根据勾股定理：$AC^2 + AB^2 = BC^2$，
代入数值得：$3^2 + AB^2 = 5^2$，
整理得$AB^2=25-9=16$，
因长度为正数，故$AB=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$，
即树顶端落在离树底部4m处，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确对应各边长度后代入勾股定理计算即可，易错点是容易误将总树高当作斜边长度。
【难度系数】
0.8
首先要将大树折断的实际问题转化为直角三角形求解问题：树与地面垂直，因此△ABC是直角三角形，∠A为直角。先确定各边对应长度：AC是树折断后剩余的高度，为3m；折断的部分为斜边BC，总树高8m，因此BC=8-3=5m。要求树顶端到树底部的距离就是求直角边AB的长度，用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意可知△ABC为直角三角形，∠A=90°，
AC=3m，折断部分长度$BC=8-3=5\mathrm{m}$，
根据勾股定理：$AC^2 + AB^2 = BC^2$，
代入数值得：$3^2 + AB^2 = 5^2$，
整理得$AB^2=25-9=16$，
因长度为正数，故$AB=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$，
即树顶端落在离树底部4m处，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；解直角三角形
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题核心是将实际场景转化为直角三角形几何模型，准确对应各边长度后代入勾股定理计算即可，易错点是容易误将总树高当作斜边长度。
【难度系数】
0.8
3. 一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图
如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:mm)，
可得出两圆孔中心A，B之间的距离为
如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:mm)，
可得出两圆孔中心A，B之间的距离为
100
mm.答案
3.100
解析
【分析】
首先观察图形可知，△ABC是直角三角形，且∠C=90°，要求两圆孔中心A、B的距离，就是求Rt△ABC的斜边AB的长度。我们可直接从图中获取两条直角边的长度：AC=60mm，BC=80mm，接下来利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
解：由图可知△ACB为直角三角形，∠C=90°，AC=60mm，BC=80mm。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AB^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
因为线段长度为正数，所以$AB=\sqrt{10000}=100\mathrm{mm}$
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是从示意图中提取直角三角形及对应边长的信息，再运用勾股定理求解，重点考查读图能力和勾股定理的简单应用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，△ABC是直角三角形，且∠C=90°，要求两圆孔中心A、B的距离，就是求Rt△ABC的斜边AB的长度。我们可直接从图中获取两条直角边的长度：AC=60mm，BC=80mm，接下来利用勾股定理计算斜边长度即可。
【解析】
解：由图可知△ACB为直角三角形，∠C=90°，AC=60mm，BC=80mm。
根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
代入数值计算：
$AB^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000$
因为线段长度为正数，所以$AB=\sqrt{10000}=100\mathrm{mm}$
【答案】
100
【知识点】
勾股定理；两点间距离计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是从示意图中提取直角三角形及对应边长的信息，再运用勾股定理求解，重点考查读图能力和勾股定理的简单应用能力。
【难度系数】
0.8
4.(教材P6随堂练习T1变式)如图,原计划从A地经C地到B地修建一条无隧道高速公路,后因技术攻关,可以打通由A地到B地的隧道修建高速公路,其中隧道部分总长为2 km.已知高速公路每千米造价为3 000万元,隧道高速公路每千米造价为5 000万元,AC⊥BC,AC=80 km,BC=60 km,则改建后可节省的工程费用是多少？
答案
解:在Rt△ABC中,AB²=BC²+AC²,
∴AB²=AC²+BC²=80²+60²=10 000.
∴AB=100 km. (80+60)×3 000-(100-2)×3 000-2×5 000=116 000(万元).答:改建后可节省的工程费用是116 000万元.
∴AB²=AC²+BC²=80²+60²=10 000.
∴AB=100 km. (80+60)×3 000-(100-2)×3 000-2×5 000=116 000(万元).答:改建后可节省的工程费用是116 000万元.
解析
【分析】
要计算改建后节省的工程费用，需先求出原计划总造价和改建后总造价，二者差值即为节省费用，解题思路如下：①首先△ABC是直角三角形，∠C为直角，可利用勾股定理求出AB的长度；②原路线为A-C-B，总长为AC+BC，按每千米3000万元计算原总造价；③改建后路线为A-B，其中2km隧道按每千米5000万元计算，剩余(AB-2)km普通路段按每千米3000万元计算，求和得改建后总造价；④用原总造价减去改建后总造价，得到节省的费用。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入AC=80km，BC=60km，得：
$AB^2=80^2+60^2=6400+3600=10000$，
∴$AB=\sqrt{10000}=100\mathrm{km}$。
原计划总造价：$(80+60)×3000=420000$（万元）
改建后总造价：$(100-2)×3000 + 2×5000=294000+10000=304000$（万元）
节省的工程费用：$420000-304000=116000$（万元）
【答案】
改建后可节省的工程费用是116000万元。
【知识点】
勾股定理的应用；有理数混合运算
【点评】
本题结合实际工程场景考查勾股定理的应用，解题关键是先利用勾股定理求出AB的长度，计算造价时注意区分普通路段和隧道的不同单价，避免因混淆单价出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要计算改建后节省的工程费用，需先求出原计划总造价和改建后总造价，二者差值即为节省费用，解题思路如下：①首先△ABC是直角三角形，∠C为直角，可利用勾股定理求出AB的长度；②原路线为A-C-B，总长为AC+BC，按每千米3000万元计算原总造价；③改建后路线为A-B，其中2km隧道按每千米5000万元计算，剩余(AB-2)km普通路段按每千米3000万元计算，求和得改建后总造价；④用原总造价减去改建后总造价，得到节省的费用。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2$，
代入AC=80km，BC=60km，得：
$AB^2=80^2+60^2=6400+3600=10000$，
∴$AB=\sqrt{10000}=100\mathrm{km}$。
原计划总造价：$(80+60)×3000=420000$（万元）
改建后总造价：$(100-2)×3000 + 2×5000=294000+10000=304000$（万元）
节省的工程费用：$420000-304000=116000$（万元）
【答案】
改建后可节省的工程费用是116000万元。
【知识点】
勾股定理的应用；有理数混合运算
【点评】
本题结合实际工程场景考查勾股定理的应用，解题关键是先利用勾股定理求出AB的长度，计算造价时注意区分普通路段和隧道的不同单价，避免因混淆单价出现计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米,梯子顶端到地面的距离AC为2.4米.若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米,则小巷的宽为 (
A.2.5米
B.2.6米
C.2.7米
D.2.8米
C
)A.2.5米
B.2.6米
C.2.7米
D.2.8米
答案
5.C
解析
【分析】
解题时首先抓住“梯子长度始终不变”这一隐含核心条件，分三步思考：第一步先在左侧的直角△ACB中，利用勾股定理计算出梯子的长度；第二步在右侧的直角△A'BD中，已知梯子长度和顶端高度，再次利用勾股定理计算出BD的长度；最后将BC与BD相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$，
∴$AB=2.5$米，即梯子的长度为2.5米。
∵梯子底端位置不动，
∴$A'B=AB=2.5$米。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，A'D=1.5米，
由勾股定理得：$BD^2=A'B^2-A'D^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4$，
∴$BD=2$米。
∴小巷的宽度$CD=BC+BD=0.7+2=2.7$米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题边长计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的关键是找准不变量（梯子的长度），两次运用勾股定理即可求出对应边长，计算时要注意平方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“梯子长度始终不变”这一隐含核心条件，分三步思考：第一步先在左侧的直角△ACB中，利用勾股定理计算出梯子的长度；第二步在右侧的直角△A'BD中，已知梯子长度和顶端高度，再次利用勾股定理计算出BD的长度；最后将BC与BD相加即可得到小巷的宽度。
【解析】
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，
由勾股定理得：$AB^2=AC^2+BC^2=2.4^2+0.7^2=5.76+0.49=6.25$，
∴$AB=2.5$米，即梯子的长度为2.5米。
∵梯子底端位置不动，
∴$A'B=AB=2.5$米。
在Rt△A'BD中，∠A'DB=90°，A'D=1.5米，
由勾股定理得：$BD^2=A'B^2-A'D^2=2.5^2-1.5^2=6.25-2.25=4$，
∴$BD=2$米。
∴小巷的宽度$CD=BC+BD=0.7+2=2.7$米。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；实际问题边长计算
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用，解题的关键是找准不变量（梯子的长度），两次运用勾股定理即可求出对应边长，计算时要注意平方运算的准确性。
【难度系数】
0.7
6.(2024·眉山)图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（
A.24
B.36
C.40
D.44
D
）A.24
B.36
C.40
D.44
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，结合图1的结构：①大正方形的边长是直角三角形的斜边c，由大正方形面积可得c²的数值，结合勾股定理即可得到a²+b²的值；②小正方形的边长为两条直角边的差，由小正方形面积可得(b-a)²的数值，展开后代入a²+b²的值就能算出2ab的大小。再观察图2的大正方形，其边长为两条直角边的和a+b，面积为(a+b)²，展开后代入已得的a²+b²和2ab的数值，即可求出结果。
【解析】
设全等直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c。
1. 由图1得，大正方形的边长为c，已知其面积为24，因此$c^2=24$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；
2. 图1中小正方形的面积为4，小正方形的边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=4$，将等式展开得：$a^2+b^2-2ab=4$；
3. 将$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$2ab=20$；
4. 观察图2，大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为$(a+b)^2$，展开得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=24$、$2ab=20$，可得面积为$24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以古代数学弦图为背景，考查几何图形性质与代数变形的结合应用，解题核心是找准正方形边长和直角三角形边长的对应关系，结合公式变形求解。
【难度系数】
0.6
解题时先设直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，结合图1的结构：①大正方形的边长是直角三角形的斜边c，由大正方形面积可得c²的数值，结合勾股定理即可得到a²+b²的值；②小正方形的边长为两条直角边的差，由小正方形面积可得(b-a)²的数值，展开后代入a²+b²的值就能算出2ab的大小。再观察图2的大正方形，其边长为两条直角边的和a+b，面积为(a+b)²，展开后代入已得的a²+b²和2ab的数值，即可求出结果。
【解析】
设全等直角三角形的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c。
1. 由图1得，大正方形的边长为c，已知其面积为24，因此$c^2=24$，根据勾股定理可得$a^2+b^2=c^2=24$；
2. 图1中小正方形的面积为4，小正方形的边长为$b-a$，因此$(b-a)^2=4$，将等式展开得：$a^2+b^2-2ab=4$；
3. 将$a^2+b^2=24$代入上式，得$24-2ab=4$，解得$2ab=20$；
4. 观察图2，大正方形的边长为$a+b$，因此其面积为$(a+b)^2$，展开得：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$a^2+b^2=24$、$2ab=20$，可得面积为$24+20=44$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题以古代数学弦图为背景，考查几何图形性质与代数变形的结合应用，解题核心是找准正方形边长和直角三角形边长的对应关系，结合公式变形求解。
【难度系数】
0.6
7.(教材P9习题T7变式)如图,某隧道的截面是一个半径为5.2 m的半圆形,以中间线为界分成两条车道,试问一辆高4.1 m、宽3 m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道吗?(中间线宽忽略不计)
答案
解:过圆上一点A作地面的垂线,垂足为B(不与点O重合).当BO=3 m时,AB²=AO²-OB²=5.2²-3²=18.04,
∵4.1²=16.81＜18.04,
∴一辆高4.1 m、宽3 m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道.
∵4.1²=16.81＜18.04,
∴一辆高4.1 m、宽3 m的卡车在一条车道内行驶能通过该隧道.
解析
【分析】
要判断卡车能否在单车道内通过隧道，需验证卡车最外侧位置对应的隧道高度是否大于卡车高度。卡车宽度为3m，说明卡车沿车道行驶时，其侧面距离半圆形截面的圆心的水平距离为3m，我们可以构造以半圆半径为斜边、水平距离为一条直角边的直角三角形，借助勾股定理算出该位置的隧道高度，再和卡车高度4.1m对比，若高度高于4.1m即可通过。
【解析】
设半圆形隧道截面的圆心为O，取半圆上一点A，过A作AB垂直于半圆的直径（地面），垂足为B，令OB=3m（对应卡车侧面的水平位置），此时OA为半圆半径，OA=5.2m。
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$AB^2=AO^2-OB^2=5.2^2-3^2=27.04-9=18.04$
卡车高度为4.1m，计算得$4.1^2=16.81$
∵$16.81＜18.04$，即该位置隧道高度大于卡车高度
∴卡车能在一条车道内行驶通过该隧道。
【答案】
能通过
【知识点】
勾股定理的实际应用；圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是把实际通行问题转化为直角三角形的计算问题，通过建模将抽象的实际问题转化为熟悉的几何运算，考查了数学建模和运算能力。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否在单车道内通过隧道，需验证卡车最外侧位置对应的隧道高度是否大于卡车高度。卡车宽度为3m，说明卡车沿车道行驶时，其侧面距离半圆形截面的圆心的水平距离为3m，我们可以构造以半圆半径为斜边、水平距离为一条直角边的直角三角形，借助勾股定理算出该位置的隧道高度，再和卡车高度4.1m对比，若高度高于4.1m即可通过。
【解析】
设半圆形隧道截面的圆心为O，取半圆上一点A，过A作AB垂直于半圆的直径（地面），垂足为B，令OB=3m（对应卡车侧面的水平位置），此时OA为半圆半径，OA=5.2m。
在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$AB^2=AO^2-OB^2=5.2^2-3^2=27.04-9=18.04$
卡车高度为4.1m，计算得$4.1^2=16.81$
∵$16.81＜18.04$，即该位置隧道高度大于卡车高度
∴卡车能在一条车道内行驶通过该隧道。
【答案】
能通过
【知识点】
勾股定理的实际应用；圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是把实际通行问题转化为直角三角形的计算问题，通过建模将抽象的实际问题转化为熟悉的几何运算，考查了数学建模和运算能力。
【难度系数】
0.7
