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一、如图，把一个圆分成16等份后，剪拼成一个近似的长方形。
1. 拼成的长方形的宽相当于圆的(
拼成的长方形与圆相比，(
2. 若拼成的长方形的宽是4 cm，则它的长是(
1. 拼成的长方形的宽相当于圆的(
半径
)，长相当于圆的(周长的一半
)。拼成的长方形与圆相比，(
面积
)相等，(周长
)不相等。2. 若拼成的长方形的宽是4 cm，则它的长是(
12.56
) cm，面积是(50.24
) cm²。答案
1. 半径 周长的一半 面积 周长
2. 12.56 50.24
2. 12.56 50.24
解析
【分析】
解题时先回忆圆转化为近似长方形的推导过程：1. 首先明确剪拼过程中各部分的对应关系：小扇形的半径对应长方形的宽，圆周长的一半对应长方形的长；剪拼前后只是形状改变，所占平面大小不变，所以面积相等，但长方形的周长比圆多了两条半径的长度，所以周长不同。2. 已知长方形的宽就是圆的半径，先根据半径求出圆周长的一半得到长方形的长，再根据长方形面积公式或者圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 把圆分成16等份剪拼成近似长方形时，小扇形的半径就是长方形的宽，所有小扇形的弧长总和等于圆的周长，长方形的两条长的和等于圆的周长，因此长相当于圆周长的一半。剪拼过程中没有增减图形部分，因此长方形和圆的面积相等；长方形的周长=圆的周长+2条半径的长度，所以周长不相等。
2. 已知长方形的宽是4cm，即圆的半径$r=4\mathrm{cm}$：
长方形的长=圆周长的一半$=π r=3.14×4=12.56(\mathrm{cm})$
长方形的面积$=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=12.56×4=50.24(\mathrm{cm}^2)$，也可直接用圆的面积公式计算：$S=π r^2=3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
1. 半径 周长的一半 面积 周长
2. 12.56 50.24
【知识点】
圆面积推导、圆周长计算、圆面积计算
【点评】
本题考查圆面积公式的推导过程，核心是掌握圆剪拼为近似长方形后各部分的对应关系，是圆面积相关计算的基础题型，理清对应量就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆圆转化为近似长方形的推导过程：1. 首先明确剪拼过程中各部分的对应关系：小扇形的半径对应长方形的宽，圆周长的一半对应长方形的长；剪拼前后只是形状改变，所占平面大小不变，所以面积相等，但长方形的周长比圆多了两条半径的长度，所以周长不同。2. 已知长方形的宽就是圆的半径，先根据半径求出圆周长的一半得到长方形的长，再根据长方形面积公式或者圆的面积公式计算面积即可。
【解析】
1. 把圆分成16等份剪拼成近似长方形时，小扇形的半径就是长方形的宽，所有小扇形的弧长总和等于圆的周长，长方形的两条长的和等于圆的周长，因此长相当于圆周长的一半。剪拼过程中没有增减图形部分，因此长方形和圆的面积相等；长方形的周长=圆的周长+2条半径的长度，所以周长不相等。
2. 已知长方形的宽是4cm，即圆的半径$r=4\mathrm{cm}$：
长方形的长=圆周长的一半$=π r=3.14×4=12.56(\mathrm{cm})$
长方形的面积$=\mathrm{长}×\mathrm{宽}=12.56×4=50.24(\mathrm{cm}^2)$，也可直接用圆的面积公式计算：$S=π r^2=3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
1. 半径 周长的一半 面积 周长
2. 12.56 50.24
【知识点】
圆面积推导、圆周长计算、圆面积计算
【点评】
本题考查圆面积公式的推导过程，核心是掌握圆剪拼为近似长方形后各部分的对应关系，是圆面积相关计算的基础题型，理清对应量就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
二、计算下面各圆的面积。
1.
2.
1.
2.
答案
1. 3.14×2.5²=19.625(cm²)
2. 3.14×(4÷2)²=12.56(cm²)
2. 3.14×(4÷2)²=12.56(cm²)
解析
【分析】
计算圆的面积首先要牢记圆的面积公式：$S=π r^2$，其中$r$是圆的半径，解题的核心是先确定圆的半径长度。如果题目直接给出半径，可直接代入公式计算；如果给出的是直径，需要先根据“半径=直径÷2”算出半径，再代入面积公式计算即可。第1小题已知圆的半径为2.5cm，直接代入公式求解；第2小题已知圆的直径为4cm，先求半径再代入公式计算。
【解析】
1. 已知圆的半径$r=2.5\mathrm{cm}$，代入圆的面积公式：
$S=3.14×2.5^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{cm}^2)$
2. 已知圆的直径$d=4\mathrm{cm}$，先计算半径：$r=d÷2=4÷2=2\mathrm{cm}$，再代入面积公式：
$S=3.14×2^2=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
1. $19.625\mathrm{cm}^2$
2. $12.56\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积公式
2. 直径与半径的关系
【点评】
本题属于圆面积计算的基础题型，重点考查对圆面积公式的运用能力，解题时要注意区分题目给出的条件是半径还是直径，避免出现直接将直径代入公式计算的错误。
【难度系数】
0.85
计算圆的面积首先要牢记圆的面积公式：$S=π r^2$，其中$r$是圆的半径，解题的核心是先确定圆的半径长度。如果题目直接给出半径，可直接代入公式计算；如果给出的是直径，需要先根据“半径=直径÷2”算出半径，再代入面积公式计算即可。第1小题已知圆的半径为2.5cm，直接代入公式求解；第2小题已知圆的直径为4cm，先求半径再代入公式计算。
【解析】
1. 已知圆的半径$r=2.5\mathrm{cm}$，代入圆的面积公式：
$S=3.14×2.5^2=3.14×6.25=19.625(\mathrm{cm}^2)$
2. 已知圆的直径$d=4\mathrm{cm}$，先计算半径：$r=d÷2=4÷2=2\mathrm{cm}$，再代入面积公式：
$S=3.14×2^2=3.14×4=12.56(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
1. $19.625\mathrm{cm}^2$
2. $12.56\mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 圆的面积公式
2. 直径与半径的关系
【点评】
本题属于圆面积计算的基础题型，重点考查对圆面积公式的运用能力，解题时要注意区分题目给出的条件是半径还是直径，避免出现直接将直径代入公式计算的错误。
【难度系数】
0.85
三、图中圆的面积与长方形的面积相等，长方形的长是9.42 cm。涂色部分的面积是多少平方厘米？
答案
9.42÷3.14=3(cm)
3²×3.14÷4=7.065(cm²)
9.42×3-7.065=21.195(cm²)
3²×3.14÷4=7.065(cm²)
9.42×3-7.065=21.195(cm²)
解析
【分析】
首先观察图形可得：长方形的宽与圆的半径相等。已知圆的面积和长方形的面积相等，结合两者的面积公式，圆的面积=πr²，长方形的面积=长×宽，可推导出πr和长方形长的关系，先求出圆的半径。再观察涂色部分，它的面积等于长方形面积减去四分之一圆的面积，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：
因为圆的面积=长方形的面积，且长方形的宽等于圆的半径r，所以：
$π r^2=9.42× r$，两边同时除以r（r≠0）可得$π r=9.42$
$r=9.42÷3.14=3$（cm）
2. 求四分之一圆的面积：
$3^2×3.14÷4=9×3.14÷4=7.065$（cm²）
3. 求涂色部分的面积：
长方形面积为$9.42×3=28.26$（cm²）
涂色部分面积=长方形面积-四分之一圆的面积
$28.26-7.065=21.195$（cm²）
【答案】
21.195平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、长方形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题重点考察面积公式的灵活应用，解题关键是找准长方形宽与圆半径的等量关系，结合两者面积相等的条件求出半径，再拆分组合图形求解即可。
【难度系数】
0.6
首先观察图形可得：长方形的宽与圆的半径相等。已知圆的面积和长方形的面积相等，结合两者的面积公式，圆的面积=πr²，长方形的面积=长×宽，可推导出πr和长方形长的关系，先求出圆的半径。再观察涂色部分，它的面积等于长方形面积减去四分之一圆的面积，代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 求圆的半径：
因为圆的面积=长方形的面积，且长方形的宽等于圆的半径r，所以：
$π r^2=9.42× r$，两边同时除以r（r≠0）可得$π r=9.42$
$r=9.42÷3.14=3$（cm）
2. 求四分之一圆的面积：
$3^2×3.14÷4=9×3.14÷4=7.065$（cm²）
3. 求涂色部分的面积：
长方形面积为$9.42×3=28.26$（cm²）
涂色部分面积=长方形面积-四分之一圆的面积
$28.26-7.065=21.195$（cm²）
【答案】
21.195平方厘米
【知识点】
圆的面积计算、长方形面积计算、组合图形面积计算
【点评】
本题重点考察面积公式的灵活应用，解题关键是找准长方形宽与圆半径的等量关系，结合两者面积相等的条件求出半径，再拆分组合图形求解即可。
【难度系数】
0.6
四、【思维拓展】我们在学习新知识时，常会把新知转化成旧知来解决问题。学习圆的面积时，可以把圆转化成长方形或平行四边形，进而推导出圆的面积公式。如图，把半径为$ r $、周长为$ C $的圆平均分成16份，剪拼成近似的梯形或三角形。请你选择其中一种剪拼方式，推导出圆的面积公式。
答案
梯形上底：$\frac{3}{16}×2πr$
下底：$\frac{5}{16}×2πr$ 高：$2r$
$S_{梯}=(\frac{3}{16}×2πr+\frac{5}{16}×2πr)×2r÷2$
$=πr×r=πr^2=S_{圆}$
下底：$\frac{5}{16}×2πr$ 高：$2r$
$S_{梯}=(\frac{3}{16}×2πr+\frac{5}{16}×2πr)×2r÷2$
$=πr×r=πr^2=S_{圆}$
解析
【分析】
我们可以选择将圆剪拼成近似梯形的方式推导圆的面积，核心思路是利用转化思想：剪拼前后图形的面积不变，因此圆的面积等于拼成的近似梯形的面积。解题时首先回忆梯形面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2；接下来找近似梯形各部分和圆的对应关系：圆被平均分成16份，每份的弧长是圆周长的$\frac{1}{16}$，观察图形可知梯形上底对应3份小扇形的弧长之和，下底对应5份小扇形的弧长之和，梯形的高对应圆的2个半径长度；最后把对应量代入梯形面积公式化简，即可得到圆的面积公式。
【解析】
选择剪拼成近似梯形的方式推导：
已知圆的半径为$r$，周长$C=2πr$，圆被平均分成16份，每份弧长为$\frac{1}{16}×2πr$。
观察剪拼的近似梯形可得：
上底是3份小扇形的弧长之和，即上底=$\frac{3}{16}×2πr$
下底是5份小扇形的弧长之和，即下底=$\frac{5}{16}×2πr$
梯形的高等于2个半径的长度，即高=$2r$
剪拼前后面积不变，因此圆的面积等于梯形面积：
$S_{圆}=S_{梯}=(\frac{3}{16}×2πr+\frac{5}{16}×2πr)×2r÷2$
$=(\frac{8}{16}×2πr)×2r÷2$
$=πr×2r÷2$
$=πr×r$
$=πr^2$
【答案】
圆的面积公式为$\boldsymbol{S=πr^2}$
【知识点】
圆的面积推导、梯形面积计算、转化思想
【点评】
本题通过将未知的圆面积转化为已知的梯形面积推导公式，核心是理解剪拼前后面积不变的特点，找准转化前后图形各部分的对应关系，能有效锻炼知识迁移和逻辑推导能力，加深对圆面积公式来源的理解。
【难度系数】
0.6
我们可以选择将圆剪拼成近似梯形的方式推导圆的面积，核心思路是利用转化思想：剪拼前后图形的面积不变，因此圆的面积等于拼成的近似梯形的面积。解题时首先回忆梯形面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2；接下来找近似梯形各部分和圆的对应关系：圆被平均分成16份，每份的弧长是圆周长的$\frac{1}{16}$，观察图形可知梯形上底对应3份小扇形的弧长之和，下底对应5份小扇形的弧长之和，梯形的高对应圆的2个半径长度；最后把对应量代入梯形面积公式化简，即可得到圆的面积公式。
【解析】
选择剪拼成近似梯形的方式推导：
已知圆的半径为$r$，周长$C=2πr$，圆被平均分成16份，每份弧长为$\frac{1}{16}×2πr$。
观察剪拼的近似梯形可得：
上底是3份小扇形的弧长之和，即上底=$\frac{3}{16}×2πr$
下底是5份小扇形的弧长之和，即下底=$\frac{5}{16}×2πr$
梯形的高等于2个半径的长度，即高=$2r$
剪拼前后面积不变，因此圆的面积等于梯形面积：
$S_{圆}=S_{梯}=(\frac{3}{16}×2πr+\frac{5}{16}×2πr)×2r÷2$
$=(\frac{8}{16}×2πr)×2r÷2$
$=πr×2r÷2$
$=πr×r$
$=πr^2$
【答案】
圆的面积公式为$\boldsymbol{S=πr^2}$
【知识点】
圆的面积推导、梯形面积计算、转化思想
【点评】
本题通过将未知的圆面积转化为已知的梯形面积推导公式，核心是理解剪拼前后面积不变的特点，找准转化前后图形各部分的对应关系，能有效锻炼知识迁移和逻辑推导能力，加深对圆面积公式来源的理解。
【难度系数】
0.6
