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5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x - \frac{2 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 1 $ 的解是整数，且不是负数，则整数 $ a $ 的所有可能取值的和为(
A.$-6$
B.$-7$
C.$-14$
D.$-19$
$\boldsymbol{D}$
)A.$-6$
B.$-7$
C.$-14$
D.$-19$
答案
D 解析 $x - \frac{2 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 1$，
去分母（方程两边乘6），
得$6x-(2-ax)=2x-6$。
去括号，得$6x-2+ax=2x-6$。
移项、合并同类项，得$(4+a)x=-4$。
系数化为1，得$x=-\frac{4}{4+a}$。
因为$-\frac{4}{4+a}$是整数，且不是负数，
所以$4+a$取$-1$，$-2$，$-4$，
所以$a=-5$或$-6$或$-8$，
故整数$a$的所有可能取值的和为$-5+(-6)+(-8)=-19$。
去分母（方程两边乘6），
得$6x-(2-ax)=2x-6$。
去括号，得$6x-2+ax=2x-6$。
移项、合并同类项，得$(4+a)x=-4$。
系数化为1，得$x=-\frac{4}{4+a}$。
因为$-\frac{4}{4+a}$是整数，且不是负数，
所以$4+a$取$-1$，$-2$，$-4$，
所以$a=-5$或$-6$或$-8$，
故整数$a$的所有可能取值的和为$-5+(-6)+(-8)=-19$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先按照一元一次方程的常规求解步骤，把x用含参数a的代数式表示出来；再结合“解是整数且不是负数”的限制条件，确定分母$4+a$的所有可能取值；最后求出对应的整数$a$，计算所有符合条件的$a$的和即可。解题时需注意分母不能为0，同时要根据x非负的要求确定分母的符号，避免多取不符合要求的约数。
【解析】
解：求解一元一次方程$x - \frac{2 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 1$
1. 去分母：方程两边同时乘6，得$6x-(2-ax)=2x-6$
2. 去括号：得$6x-2+ax=2x-6$
3. 移项、合并同类项：将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得$(4+a)x=-4$
4. 系数化为1：当$4+a≠0$时，$x=-\frac{4}{4+a}$
根据题意，方程的解x是整数且不是负数，即$x≥0$且x为整数：
由于$-\frac{4}{4+a}≥0$，分子$-4＜0$，因此分母$4+a＜0$，且$4+a$是$-4$的负因数，即$4+a$的可能取值为$-1、-2、-4$：
当$4+a=-1$时，$a=-5$，此时$x=4$，符合要求；
当$4+a=-2$时，$a=-6$，此时$x=2$，符合要求；
当$4+a=-4$时，$a=-8$，此时$x=1$，符合要求。
将所有符合条件的$a$求和：$-5+(-6)+(-8)=-19$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，含参方程整数解，非负数判定
【点评】
本题综合考查了一元一次方程的求解和含参方程整数解的处理，解题核心是先正确求出含参数的方程的解，再结合解的限制条件筛选参数取值，易错点是忽略x非负的条件，误取正因数导致结果错误。
【难度系数】
0.3
要解决这道题，首先按照一元一次方程的常规求解步骤，把x用含参数a的代数式表示出来；再结合“解是整数且不是负数”的限制条件，确定分母$4+a$的所有可能取值；最后求出对应的整数$a$，计算所有符合条件的$a$的和即可。解题时需注意分母不能为0，同时要根据x非负的要求确定分母的符号，避免多取不符合要求的约数。
【解析】
解：求解一元一次方程$x - \frac{2 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 1$
1. 去分母：方程两边同时乘6，得$6x-(2-ax)=2x-6$
2. 去括号：得$6x-2+ax=2x-6$
3. 移项、合并同类项：将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得$(4+a)x=-4$
4. 系数化为1：当$4+a≠0$时，$x=-\frac{4}{4+a}$
根据题意，方程的解x是整数且不是负数，即$x≥0$且x为整数：
由于$-\frac{4}{4+a}≥0$，分子$-4＜0$，因此分母$4+a＜0$，且$4+a$是$-4$的负因数，即$4+a$的可能取值为$-1、-2、-4$：
当$4+a=-1$时，$a=-5$，此时$x=4$，符合要求；
当$4+a=-2$时，$a=-6$，此时$x=2$，符合要求；
当$4+a=-4$时，$a=-8$，此时$x=1$，符合要求。
将所有符合条件的$a$求和：$-5+(-6)+(-8)=-19$
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，含参方程整数解，非负数判定
【点评】
本题综合考查了一元一次方程的求解和含参方程整数解的处理，解题核心是先正确求出含参数的方程的解，再结合解的限制条件筛选参数取值，易错点是忽略x非负的条件，误取正因数导致结果错误。
【难度系数】
0.3
6. 若$x=-1$是关于$x$的一元一次方程$2x+2m=3$的解，则$m=$
$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
。答案
$\frac{5}{2}$ 解析 将$x=-1$代入关于$x$的一元一次方程$2x+2m=3$中，
得$-2+2m=3$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
得$-2+2m=3$，
解得$m=\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
本题考查一元一次方程解的应用，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此只需将x=-1代入原方程，即可将原方程转化为仅含未知数m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能求出m的值。
【解析】
将$x=-1$代入一元一次方程$2x+2m=3$中，得：
$2×(-1)+2m=3$
计算得：$-2+2m=3$
移项得：$2m=3+2$
合并同类项得：$2m=5$
系数化为1得：$m=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题关键是掌握将方程的解代入原方程，把含参数的方程转化为关于参数的一元一次方程求解的方法，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次方程解的应用，首先明确方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知x=-1是给定方程的解，因此只需将x=-1代入原方程，即可将原方程转化为仅含未知数m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤计算就能求出m的值。
【解析】
将$x=-1$代入一元一次方程$2x+2m=3$中，得：
$2×(-1)+2m=3$
计算得：$-2+2m=3$
移项得：$2m=3+2$
合并同类项得：$2m=5$
系数化为1得：$m=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用，解题关键是掌握将方程的解代入原方程，把含参数的方程转化为关于参数的一元一次方程求解的方法，计算量小，易掌握。
【难度系数】
0.8
7. 若关于$x$的一元一次方程$x + k = 3$和$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解互为相反数，则$k=$
$\boldsymbol{-1}$
.答案
$-1$ 解析 解方程$x+k=3$，得$x=3-k$，
因为关于$x$的方程$x+k=3$和$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解互为相反数，
所以$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解为$x=k-3$，
将$x=k-3$代入$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$中，
得$\frac{1}{2}(k-3)-k=\frac{k-3-k}{3}$，
解得$k=-1$。
因为关于$x$的方程$x+k=3$和$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解互为相反数，
所以$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解为$x=k-3$，
将$x=k-3$代入$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$中，
得$\frac{1}{2}(k-3)-k=\frac{k-3-k}{3}$，
解得$k=-1$。
解析
【分析】
解题时先求解第一个一元一次方程，用含k的代数式表示出它的解；再根据两个方程的解互为相反数的性质，推导出第二个方程的解；最后将第二个方程的解代入第二个方程中，得到仅含k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 求解方程$x + k = 3$，移项得：$x = 3 - k$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解为$x = -(3 - k) = k - 3$。
3. 将$x = k - 3$代入$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$中，可得：
$\frac{1}{2}(k - 3) - k = \frac{(k - 3) - k}{3}$
先化简等号右侧：$\frac{k - 3 - k}{3} = \frac{-3}{3} = -1$
再化简等号左侧：$\frac{k - 3}{2} - k = \frac{-k - 3}{2}$
得到新方程：$\frac{-k - 3}{2} = -1$
两边同时乘2得：$-k - 3 = -2$
移项、系数化为1得：$k = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求参数的典型题型，解题核心是利用两个方程解的数量关系，将求参数的问题转化为解新的一元一次方程的问题，计算过程中要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
解题时先求解第一个一元一次方程，用含k的代数式表示出它的解；再根据两个方程的解互为相反数的性质，推导出第二个方程的解；最后将第二个方程的解代入第二个方程中，得到仅含k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 求解方程$x + k = 3$，移项得：$x = 3 - k$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$的解为$x = -(3 - k) = k - 3$。
3. 将$x = k - 3$代入$\frac{1}{2}x - k = \frac{x - k}{3}$中，可得：
$\frac{1}{2}(k - 3) - k = \frac{(k - 3) - k}{3}$
先化简等号右侧：$\frac{k - 3 - k}{3} = \frac{-3}{3} = -1$
再化简等号左侧：$\frac{k - 3}{2} - k = \frac{-k - 3}{2}$
得到新方程：$\frac{-k - 3}{2} = -1$
两边同时乘2得：$-k - 3 = -2$
移项、系数化为1得：$k = -1$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
一元一次方程的解；相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程求参数的典型题型，解题核心是利用两个方程解的数量关系，将求参数的问题转化为解新的一元一次方程的问题，计算过程中要注意符号处理，避免出错。
【难度系数】
0.7
甲、乙、丙、丁四名同学共有45元钱，若甲的钱增加2元，乙的钱减少2元，丙的钱变成原来的2倍，丁的钱变为原来的$\frac{1}{2}$，则这四名同学的钱数相同，甲、乙、丙、丁各有多少钱？
解 设四名同学相同的钱数为$x$元，则甲有$(x-2)$元，乙有$(x+2)$元，丙有$\frac{x}{2}$元，丁有$2x$元。
根据题意，得$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$。
解得$x=10$，
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
解 设四名同学相同的钱数为$x$元，则甲有$(x-2)$元，乙有$(x+2)$元，丙有$\frac{x}{2}$元，丁有$2x$元。
根据题意，得$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$。
解得$x=10$，
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
答案
解：设四名同学变化后相同的钱数为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意，得
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得
$\frac{9}{2}x=45$
系数化为1，得
$x=10$
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意，得
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得
$\frac{9}{2}x=45$
系数化为1，得
$x=10$
所以$x-2=8$，$x+2=12$，$\frac{x}{2}=5$，$2x=20$。
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
解析
【分析】
本题属于一元一次方程实际应用题，若直接分别设四人原有钱数为未知数，需要多个未知数，计算较复杂。我们可以抓住“四人钱数变化后数值相同”这一条件，间接设变化后相同的钱数为x，再根据每个人钱数的变化规则反向推导四人原有钱数的表达式：甲增加2元得x，故甲原有(x-2)元；乙减少2元得x，故乙原有(x+2)元；丙的钱乘2得x，故丙原有$\frac{x}{2}$元；丁的钱乘$\frac{1}{2}$得x，故丁原有2x元。再利用“四人原有总钱数为45元”的等量关系列方程，求解得到x后再代入计算四人原有钱数即可。
【解析】
解：设四名同学变化后相同的钱数为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意，得
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得
$\frac{9}{2}x=45$
系数化为1，得
$x=10$
所以甲原有钱数：$x-2=10-2=8$
乙原有钱数：$x+2=10+2=12$
丙原有钱数：$\frac{x}{2}=\frac{10}{2}=5$
丁原有钱数：$2x=2×10=20$
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【答案】
甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 间接设未知数
3. 解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是合理选择未知数，通过间接设变化后相等的中间量为未知数，大幅简化了列方程的难度。解题时要注意准确根据变化规则反推原始量的表达式，避免混淆加减、乘除的对应关系，能有效锻炼学生简化问题、寻找等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于一元一次方程实际应用题，若直接分别设四人原有钱数为未知数，需要多个未知数，计算较复杂。我们可以抓住“四人钱数变化后数值相同”这一条件，间接设变化后相同的钱数为x，再根据每个人钱数的变化规则反向推导四人原有钱数的表达式：甲增加2元得x，故甲原有(x-2)元；乙减少2元得x，故乙原有(x+2)元；丙的钱乘2得x，故丙原有$\frac{x}{2}$元；丁的钱乘$\frac{1}{2}$得x，故丁原有2x元。再利用“四人原有总钱数为45元”的等量关系列方程，求解得到x后再代入计算四人原有钱数即可。
【解析】
解：设四名同学变化后相同的钱数为$x$元，
则甲原有$(x-2)$元，乙原有$(x+2)$元，丙原有$\frac{x}{2}$元，丁原有$2x$元。
根据题意，得
$(x-2)+(x+2)+\frac{x}{2}+2x=45$
合并同类项，得
$\frac{9}{2}x=45$
系数化为1，得
$x=10$
所以甲原有钱数：$x-2=10-2=8$
乙原有钱数：$x+2=10+2=12$
丙原有钱数：$\frac{x}{2}=\frac{10}{2}=5$
丁原有钱数：$2x=2×10=20$
答：甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【答案】
甲有8元，乙有12元，丙有5元，丁有20元。
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 间接设未知数
3. 解一元一次方程
【点评】
本题解题核心是合理选择未知数，通过间接设变化后相等的中间量为未知数，大幅简化了列方程的难度。解题时要注意准确根据变化规则反推原始量的表达式，避免混淆加减、乘除的对应关系，能有效锻炼学生简化问题、寻找等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
8. 某班同学去划船，如果减少1条船，那么每条船正好坐9名同学；如果增加1条船，那么每条船正好坐6名同学. 这个班有多少名同学？
答案
解 设有$x$条船，则根据题意，该班同学的人数，可表示为$9(x-1)$和$6(x+1)$，从而得$9(x-1)=6(x+1)$，解得$x=5$。所以$9(x-1)=36$。
答：这个班有36名同学。
答：这个班有36名同学。
解析
【分析】
这道题是一元一次方程实际应用类题型，解题核心是找到始终不变的量：班级学生总人数。我们可以先设原有船的数量为未知数$x$，根据两种调整船数量的坐船方案，分别用含$x$的式子表示出班级总人数，由于总人数相等，即可列出一元一次方程，先求出原有船的数量，再代入计算就能得到班级总人数。
【解析】
解：设原有$x$条船。
根据总人数不变的等量关系，可列方程：
$9(x-1)=6(x+1)$
去括号得：$9x - 9 = 6x + 6$
移项得：$9x - 6x = 6 + 9$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
将$x=5$代入$9(x-1)$计算总人数：$9×(5-1)=36$（名）
答：这个班有36名同学。
【答案】
36名
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题是典型的用方程解决实际问题的基础题型，解题关键是挖掘出“总人数不变”这一隐含等量关系，既可以设船的数量为间接未知数列方程求解，也可以直接设总人数为未知数列式，练习这类题型可以提升从实际场景中提取数学关系的能力。
【难度系数】
0.7
这道题是一元一次方程实际应用类题型，解题核心是找到始终不变的量：班级学生总人数。我们可以先设原有船的数量为未知数$x$，根据两种调整船数量的坐船方案，分别用含$x$的式子表示出班级总人数，由于总人数相等，即可列出一元一次方程，先求出原有船的数量，再代入计算就能得到班级总人数。
【解析】
解：设原有$x$条船。
根据总人数不变的等量关系，可列方程：
$9(x-1)=6(x+1)$
去括号得：$9x - 9 = 6x + 6$
移项得：$9x - 6x = 6 + 9$
合并同类项得：$3x = 15$
系数化为1得：$x = 5$
将$x=5$代入$9(x-1)$计算总人数：$9×(5-1)=36$（名）
答：这个班有36名同学。
【答案】
36名
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系构建
【点评】
本题是典型的用方程解决实际问题的基础题型，解题关键是挖掘出“总人数不变”这一隐含等量关系，既可以设船的数量为间接未知数列方程求解，也可以直接设总人数为未知数列式，练习这类题型可以提升从实际场景中提取数学关系的能力。
【难度系数】
0.7
