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中考趋势·综合与实践 七年级某学习小组围绕“设计学校田径运动会比赛场地”开展主题学习活动.
素材:
图①是学校操场实物图,图②是操场部分跑道示意图,操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道(弯道是半圆形)组成,第一跑道(最内道)的总长度为400 m. 400 m标准跑道一般设置8条跑道,300 m跑道设置6条跑道,直道长均为84.5 m,每道宽1.22 m. 在一个标准的400 m跑道内,100 m,200 m,400 m,800 m等比赛跑道的起点不同,终点相同.(注:π取3,跑道分界线的宽度忽略不计)
任务:
(1)某校操场有400 m跑道.
①求第一跑道弯道的半径.
②小明、小勇参加学校运动会200 m比赛,小明在第一跑道,小勇在第二跑道,小明的速度是5.4 m/s,小勇的速度是4.8 m/s,他们同时跑向同一终点,小明几秒能追上小勇?
(2)小丽、小红参加学校运动会200 m比赛,若小丽在第三跑道,小红在最外圈跑道,并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸10.98 m,求操场最外圈跑道的周长.
素材:
图①是学校操场实物图,图②是操场部分跑道示意图,操场跑道由两个平行的直道和两个半径相等的弯道(弯道是半圆形)组成,第一跑道(最内道)的总长度为400 m. 400 m标准跑道一般设置8条跑道,300 m跑道设置6条跑道,直道长均为84.5 m,每道宽1.22 m. 在一个标准的400 m跑道内,100 m,200 m,400 m,800 m等比赛跑道的起点不同,终点相同.(注:π取3,跑道分界线的宽度忽略不计)
任务:
(1)某校操场有400 m跑道.
①求第一跑道弯道的半径.
②小明、小勇参加学校运动会200 m比赛,小明在第一跑道,小勇在第二跑道,小明的速度是5.4 m/s,小勇的速度是4.8 m/s,他们同时跑向同一终点,小明几秒能追上小勇?
(2)小丽、小红参加学校运动会200 m比赛,若小丽在第三跑道,小红在最外圈跑道,并且最外圈跑道的起跑点比第三跑道的起跑点前伸10.98 m,求操场最外圈跑道的周长.
答案
(1)①设第一跑道弯道半径为R m，
第一跑道全长400 m由“两段直道+两个半圆形弯道”组成，直道总长为2×84.5=169(m)，弯道总长为(2×3R)m，
则169+2×3R=400，解得R=38.5。
②小明在第一跑道，小勇在第二跑道，均跑200 m，小明的速度是5.4 m/s，小勇的速度是4.8 m/s，
两条相邻跑道半径相差1.22 m，则第二跑道比第一跑道多出的长度为3×1.22=3.66(m)，
为保证二人比赛距离同为200 m，第二跑道的起点要比第一跑道“向前”3.66 m，这相当于小勇一开始比小明“领先”3.66 m，
小明比小勇每秒快5.4-4.8=0.6(m/s)，3.66÷0.6=6.1(s)。
答：小明6.1 s能追上小勇。
(2)第三跑道弯道半径为38.5+2×1.22=40.94(m)，
则第三跑道的弯道长为2×3×40.94÷2=122.82(m)。
由题可知最外圈跑道弯道比第三圈跑道弯道长10.98 m，
所以最外圈跑道的周长为2×(122.82+10.98)+2×84.5=436.6(m)。
第一跑道全长400 m由“两段直道+两个半圆形弯道”组成，直道总长为2×84.5=169(m)，弯道总长为(2×3R)m，
则169+2×3R=400，解得R=38.5。
②小明在第一跑道，小勇在第二跑道，均跑200 m，小明的速度是5.4 m/s，小勇的速度是4.8 m/s，
两条相邻跑道半径相差1.22 m，则第二跑道比第一跑道多出的长度为3×1.22=3.66(m)，
为保证二人比赛距离同为200 m，第二跑道的起点要比第一跑道“向前”3.66 m，这相当于小勇一开始比小明“领先”3.66 m，
小明比小勇每秒快5.4-4.8=0.6(m/s)，3.66÷0.6=6.1(s)。
答：小明6.1 s能追上小勇。
(2)第三跑道弯道半径为38.5+2×1.22=40.94(m)，
则第三跑道的弯道长为2×3×40.94÷2=122.82(m)。
由题可知最外圈跑道弯道比第三圈跑道弯道长10.98 m，
所以最外圈跑道的周长为2×(122.82+10.98)+2×84.5=436.6(m)。
解析
【分析】
对于(1)①，已知第一跑道总长度为400m，跑道由2段直道和2个半圆形弯道（可拼成1个整圆）组成，先计算两段直道的总长度，用跑道总长度减去直道总长度得到弯道（整圆）的周长，再结合圆周长公式（本题π取3）列方程，即可求出第一跑道弯道半径。
对于(1)②，200m比赛需跑1段直道+1个半圆形弯道，相邻跑道直道长度相同，弯道半径相差1.22m，因此第二跑道的200m起点比第一跑道靠前π×1.22m，即小勇初始领先小明3.66m，这是追及问题的路程差，算出两人的速度差后，根据“追及时间=路程差÷速度差”即可求解。
对于(2)，200m比赛的起跑前伸量就是外道比内道多的半圈弯道长度，因此最外圈整圈弯道比第三跑道整圈弯道长2×10.98m，先算出第三跑道的弯道长度，再加上弯道长度差和两段直道的总长度，即可得到最外圈跑道的周长。
【解析】
(1)①设第一跑道弯道的半径为R m。
两段直道的总长度为：$2×84.5=169(\mathrm{m})$
两个半圆形弯道合为一个整圆，周长为$2π R=2×3R=6R(\mathrm{m})$
由第一跑道总长度为400m，列方程：
$169 + 6R = 400$
解得$R=38.5$。
②相邻跑道的弯道半径相差1.22m，跑200m时第二跑道比第一跑道多跑的弯道长度为：$π×1.22=3×1.22=3.66(\mathrm{m})$，即小勇的起跑点比小明靠前3.66m，两人的路程差为3.66m。
两人的速度差为：$5.4 - 4.8 = 0.6(\mathrm{m/s})$
追及时间为：$3.66 ÷ 0.6 = 6.1(\mathrm{s})$。
答：小明6.1 s能追上小勇。
(2)第三跑道的弯道半径为：$38.5 + 2×1.22 = 40.94(\mathrm{m})$
第三跑道半圈弯道的长度为：$2×3×40.94÷2=122.82(\mathrm{m})$
由题可知最外圈半圈弯道比第三跑道半圈弯道长10.98 m，因此最外圈整圈弯道长度为$2×(122.82+10.98)=267.6(\mathrm{m})$
最外圈跑道的周长=最外圈弯道总长度+两段直道总长度，即：
$267.6 + 2×84.5 = 436.6(\mathrm{m})$
【答案】
(1)①$\boxed{38.5\ \mathrm{m}}$；②$\boxed{6.1\ \mathrm{s}}$；(2)$\boxed{436.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算，追及问题，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题以田径运动会跑道设计为背景，将几何周长计算与行程问题结合，贴近生活实际，既考查基础公式的掌握程度，也考查提取有效信息、将实际问题转化为数学问题的能力，解题的核心是明确跑道结构和起跑前伸量的含义。
【难度系数】
0.7
对于(1)①，已知第一跑道总长度为400m，跑道由2段直道和2个半圆形弯道（可拼成1个整圆）组成，先计算两段直道的总长度，用跑道总长度减去直道总长度得到弯道（整圆）的周长，再结合圆周长公式（本题π取3）列方程，即可求出第一跑道弯道半径。
对于(1)②，200m比赛需跑1段直道+1个半圆形弯道，相邻跑道直道长度相同，弯道半径相差1.22m，因此第二跑道的200m起点比第一跑道靠前π×1.22m，即小勇初始领先小明3.66m，这是追及问题的路程差，算出两人的速度差后，根据“追及时间=路程差÷速度差”即可求解。
对于(2)，200m比赛的起跑前伸量就是外道比内道多的半圈弯道长度，因此最外圈整圈弯道比第三跑道整圈弯道长2×10.98m，先算出第三跑道的弯道长度，再加上弯道长度差和两段直道的总长度，即可得到最外圈跑道的周长。
【解析】
(1)①设第一跑道弯道的半径为R m。
两段直道的总长度为：$2×84.5=169(\mathrm{m})$
两个半圆形弯道合为一个整圆，周长为$2π R=2×3R=6R(\mathrm{m})$
由第一跑道总长度为400m，列方程：
$169 + 6R = 400$
解得$R=38.5$。
②相邻跑道的弯道半径相差1.22m，跑200m时第二跑道比第一跑道多跑的弯道长度为：$π×1.22=3×1.22=3.66(\mathrm{m})$，即小勇的起跑点比小明靠前3.66m，两人的路程差为3.66m。
两人的速度差为：$5.4 - 4.8 = 0.6(\mathrm{m/s})$
追及时间为：$3.66 ÷ 0.6 = 6.1(\mathrm{s})$。
答：小明6.1 s能追上小勇。
(2)第三跑道的弯道半径为：$38.5 + 2×1.22 = 40.94(\mathrm{m})$
第三跑道半圈弯道的长度为：$2×3×40.94÷2=122.82(\mathrm{m})$
由题可知最外圈半圈弯道比第三跑道半圈弯道长10.98 m，因此最外圈整圈弯道长度为$2×(122.82+10.98)=267.6(\mathrm{m})$
最外圈跑道的周长=最外圈弯道总长度+两段直道总长度，即：
$267.6 + 2×84.5 = 436.6(\mathrm{m})$
【答案】
(1)①$\boxed{38.5\ \mathrm{m}}$；②$\boxed{6.1\ \mathrm{s}}$；(2)$\boxed{436.6\ \mathrm{m}}$
【知识点】
圆的周长计算，追及问题，一元一次方程的实际应用
【点评】
本题以田径运动会跑道设计为背景，将几何周长计算与行程问题结合，贴近生活实际，既考查基础公式的掌握程度，也考查提取有效信息、将实际问题转化为数学问题的能力，解题的核心是明确跑道结构和起跑前伸量的含义。
【难度系数】
0.7
