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1. 下列$y$关于$x$的函数中，属于二次函数的是（
A.$y=x$
B.$y=2x-3$
C.$y=x^2 - x$
D.$y=\dfrac{1}{x}$
C
）A.$y=x$
B.$y=2x-3$
C.$y=x^2 - x$
D.$y=\dfrac{1}{x}$
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数的识别，解题思路如下：首先回忆二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来依次分析每个选项的函数类型，排除不符合二次函数定义的选项，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=x$自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=2x-3$自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
C选项：$y=x^2 - x$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=1≠0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数定义；
D选项：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，属于反比例函数，不符合二次函数定义。
综上，属于二次函数的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记不同类型函数的定义特征，掌握二次函数的三个判定要点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的识别，解题思路如下：首先回忆二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项的系数不为0。接下来依次分析每个选项的函数类型，排除不符合二次函数定义的选项，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=x$自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=2x-3$自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
C选项：$y=x^2 - x$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=1≠0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，符合二次函数定义；
D选项：$y=\dfrac{1}{x}$是分式，属于反比例函数，不符合二次函数定义。
综上，属于二次函数的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的定义
2.一次函数的定义
3.反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记不同类型函数的定义特征，掌握二次函数的三个判定要点即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.已知二次函数$y=-2x^2+3x-4$，则二次项系数是（
A.2
B.-2
C.-3
D.-4
B
）A.2
B.-2
C.-3
D.-4
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数的定义：二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$），其中$a$就是二次项系数，对应$x^2$项前面的系数，注意要保留系数本身的正负符号，只需将题干给出的函数式和标准形式一一对应即可得到结果。
【解析】
二次函数的一般形式为$ y=ax^2+bx+c $（$a,b,c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数。
将题目给出的函数$y=-2x^2+3x-4$与一般形式对照，可得$a=-2$，即该二次函数的二次项系数为-2。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的一般形式；二次项系数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次函数结构的认知，解题时要注意系数包含前面的正负号，避免漏看负号导致错选。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数的定义：二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$），其中$a$就是二次项系数，对应$x^2$项前面的系数，注意要保留系数本身的正负符号，只需将题干给出的函数式和标准形式一一对应即可得到结果。
【解析】
二次函数的一般形式为$ y=ax^2+bx+c $（$a,b,c$为常数，$a≠0$），其中$a$为二次项系数。
将题目给出的函数$y=-2x^2+3x-4$与一般形式对照，可得$a=-2$，即该二次函数的二次项系数为-2。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的一般形式；二次项系数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对二次函数结构的认知，解题时要注意系数包含前面的正负号，避免漏看负号导致错选。
【难度系数】
0.9
3.已知二次函数$y=-x^2+20x$，当$x=5$时，$y$的值是
75
。答案
3. 75
解析
【分析】
本题要求二次函数在自变量x=5时的函数值，解题核心思路是代入求值：将x=5直接代入给定的二次函数解析式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后加减）计算即可得到y的值，计算时需注意$-x^2$表示x平方的相反数，不要误算为$(-x)^2$。
【解析】
将$x=5$代入二次函数$y=-x^2+20x$中，得：
$\begin{aligned}y&=-5^2 + 20×5\\&=-25 + 100\\&=75\end{aligned}$
【答案】
75
【知识点】
二次函数求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，考查函数值的求解方法，计算时需注意负号的运算位置，避免因符号理解错误失分。
【难度系数】
0.9
本题要求二次函数在自变量x=5时的函数值，解题核心思路是代入求值：将x=5直接代入给定的二次函数解析式，按照有理数混合运算的顺序（先乘方，再乘法，最后加减）计算即可得到y的值，计算时需注意$-x^2$表示x平方的相反数，不要误算为$(-x)^2$。
【解析】
将$x=5$代入二次函数$y=-x^2+20x$中，得：
$\begin{aligned}y&=-5^2 + 20×5\\&=-25 + 100\\&=75\end{aligned}$
【答案】
75
【知识点】
二次函数求值；有理数混合运算
【点评】
本题是基础题型，考查函数值的求解方法，计算时需注意负号的运算位置，避免因符号理解错误失分。
【难度系数】
0.9
4. 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展。扩展的波纹所在的圆的面积S与其半径r之间的函数关系式是
$S=π r^2$
。答案
4. $S=π r^2$
解析
【分析】
要确定圆的面积S与半径r的函数关系式，首先回忆圆的面积计算公式，明确公式中各量的对应关系：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方，其中圆周率π是固定常量，半径r是自变量，面积S是因变量，将对应字母代入公式即可得到所求的函数关系式。
【解析】
已知圆的面积计算公式为：面积=圆周率×半径的平方，题目中面积用S表示，半径用r表示，圆周率用π表示，将对应字母代入公式，可得函数关系式为$S=π r^2$，其中半径r的取值范围为$r＞0$，符合函数的定义。
【答案】
$S=π r^2$
【知识点】
圆的面积公式；函数关系式列写
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见几何图形面积公式的掌握，以及根据对应关系列写函数表达式的能力，熟练掌握基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要确定圆的面积S与半径r的函数关系式，首先回忆圆的面积计算公式，明确公式中各量的对应关系：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方，其中圆周率π是固定常量，半径r是自变量，面积S是因变量，将对应字母代入公式即可得到所求的函数关系式。
【解析】
已知圆的面积计算公式为：面积=圆周率×半径的平方，题目中面积用S表示，半径用r表示，圆周率用π表示，将对应字母代入公式，可得函数关系式为$S=π r^2$，其中半径r的取值范围为$r＞0$，符合函数的定义。
【答案】
$S=π r^2$
【知识点】
圆的面积公式；函数关系式列写
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对常见几何图形面积公式的掌握，以及根据对应关系列写函数表达式的能力，熟练掌握基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
5.已知二次函数$y=ax^2+bx$。当$x=1$时，函数值是4；当$x=-2$时，函数值是-12。求这个二次函数的表达式。
答案
5. $y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{14}{3}x$
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，已知函数的基本形式为$y=ax^2+bx$，仅含有两个未知系数a、b，且给出了两组x与y的对应值，因此采用待定系数法求解：首先将两组x、y的取值分别代入函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求出a、b的值，最后将a、b代回原式即可得到二次函数的表达式。
【解析】
将$x=1$，$y=4$代入$y=ax^2+bx$，得：
$a×1^2 + b×1 = 4$，即$a + b = 4$ ①
将$x=-2$，$y=-12$代入$y=ax^2+bx$，得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) = -12$，即$4a - 2b = -12$ ②
联立①②得二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 4 \\4a - 2b = -12\end{cases}$
将①两边同乘2，得$2a + 2b = 8$ ③
②+③得：$6a = -4$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$
把$a=-\dfrac{2}{3}$代入①，得$-\dfrac{2}{3} + b = 4$，解得$b=\dfrac{14}{3}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$、$b=\dfrac{14}{3}$代入$y=ax^2+bx$，即可得到函数表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{14}{3}x$
【知识点】
待定系数法，解二元一次方程组，二次函数表达式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察待定系数法求函数解析式的应用，解题过程中需要注意代入计算的准确性，熟练掌握二元一次方程组的解法是得分的关键，这类题型是学习二次函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数的表达式，已知函数的基本形式为$y=ax^2+bx$，仅含有两个未知系数a、b，且给出了两组x与y的对应值，因此采用待定系数法求解：首先将两组x、y的取值分别代入函数表达式，得到关于a、b的二元一次方程组，再解方程组求出a、b的值，最后将a、b代回原式即可得到二次函数的表达式。
【解析】
将$x=1$，$y=4$代入$y=ax^2+bx$，得：
$a×1^2 + b×1 = 4$，即$a + b = 4$ ①
将$x=-2$，$y=-12$代入$y=ax^2+bx$，得：
$a×(-2)^2 + b×(-2) = -12$，即$4a - 2b = -12$ ②
联立①②得二元一次方程组：
$\begin{cases}a + b = 4 \\4a - 2b = -12\end{cases}$
将①两边同乘2，得$2a + 2b = 8$ ③
②+③得：$6a = -4$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$
把$a=-\dfrac{2}{3}$代入①，得$-\dfrac{2}{3} + b = 4$，解得$b=\dfrac{14}{3}$
将$a=-\dfrac{2}{3}$、$b=\dfrac{14}{3}$代入$y=ax^2+bx$，即可得到函数表达式。
【答案】
$y=-\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{14}{3}x$
【知识点】
待定系数法，解二元一次方程组，二次函数表达式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考察待定系数法求函数解析式的应用，解题过程中需要注意代入计算的准确性，熟练掌握二元一次方程组的解法是得分的关键，这类题型是学习二次函数相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.8
6.若$y=(m-2)x^{m^2 -2} + x - 3$是二次函数，则$m$的值为（
A.$-2$或$2$
B.$4$
C.$2$
D.$-2$
D
）A.$-2$或$2$
B.$4$
C.$2$
D.$-2$
答案
6. D
解析
【分析】要确定m的值，需紧扣二次函数的定义解题：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0，两个条件缺一不可。我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的要求排除不符合的解，最终得到正确的m值。
【解析】根据二次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
整理得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综合两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；解一元二次方程；不等式的应用
【点评】本题属于二次函数定义的基础易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件而错选A，牢记二次函数判定的两个必要条件是做对这类题的核心。
【难度系数】0.6
【解析】根据二次函数的定义，可列出如下条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
整理得$m^2=4$，解得$m=2$或$m=-2$。
2. 二次项系数不为0，即：
$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综合两个条件，排除$m=2$，因此$m=-2$。
【答案】D
【知识点】二次函数的定义；解一元二次方程；不等式的应用
【点评】本题属于二次函数定义的基础易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件而错选A，牢记二次函数判定的两个必要条件是做对这类题的核心。
【难度系数】0.6
7.某工厂1月的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，设3月的产值为y万元，则y与x之间的函数关系式为（
A.$y=200(1+2x)$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200+200x$
D.$y=200+400x$
B
）A.$y=200(1+2x)$
B.$y=200(1+x)^2$
C.$y=200+200x$
D.$y=200+400x$
答案
7. B
解析
【分析】
这道题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确平均增长率的计算逻辑：若初始值为a，每期增长率为x，则下一期的数值=初始值×(1+x)。本题中1月产值为初始值，要得到3月的产值，需要先推导2月的产值，再以2月产值为基础计算3月产值，最终得到y和x的函数关系式。
【解析】
解：已知1月产值为200万元，平均每月增长率为x。
1. 计算2月产值：2月产值在1月基础上增长x，因此2月产值为$200(1+x)$万元；
2. 计算3月产值：3月产值在2月基础上增长x，因此3月产值$y=200(1+x) × (1+x)=200(1+x)^2$。
综上，y与x的函数关系式为$y=200(1+x)^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解“每月平均增长率”的含义，明确每月产值是在上一个月的基础上增长，不要混淆为两个月累计增长2x，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
这道题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：首先明确平均增长率的计算逻辑：若初始值为a，每期增长率为x，则下一期的数值=初始值×(1+x)。本题中1月产值为初始值，要得到3月的产值，需要先推导2月的产值，再以2月产值为基础计算3月产值，最终得到y和x的函数关系式。
【解析】
解：已知1月产值为200万元，平均每月增长率为x。
1. 计算2月产值：2月产值在1月基础上增长x，因此2月产值为$200(1+x)$万元；
2. 计算3月产值：3月产值在2月基础上增长x，因此3月产值$y=200(1+x) × (1+x)=200(1+x)^2$。
综上，y与x的函数关系式为$y=200(1+x)^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题；二次函数的实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解“每月平均增长率”的含义，明确每月产值是在上一个月的基础上增长，不要混淆为两个月累计增长2x，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
