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8. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即 $ y_1 = \frac{x}{x+1} $，$ y_2 = \frac{y_1}{y_1 +1} $，$ y_3 = \frac{y_2}{y_2 +1} $……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则 $ y_{2026} $ 的值为（
A.$ \frac{2}{4053} $
B.$ \frac{2}{4043} $
C.$ \frac{2}{4045} $
D.$ \frac{2}{4047} $
A
）A.$ \frac{2}{4053} $
B.$ \frac{2}{4043} $
C.$ \frac{2}{4045} $
D.$ \frac{2}{4047} $
答案
8.A
解析
【分析】
这是一道结合分式运算的规律探究题，解题时先按照给定的运算规则，代入初始值x=2计算前几项的运算结果，观察结果的分子、分母随运算次数变化的规律，推导得出第n次运算结果的通用表达式，最后将n=2026代入表达式即可求出答案。
【解析】
已知初始输入值x=2，按照运算规则计算：
第1次运算：$y_1=\frac{x}{x+1}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
第2次运算：$y_2=\frac{y_1}{y_1+1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$
第3次运算：$y_3=\frac{y_2}{y_2+1}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+1}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{2}{7}$
观察上述结果可发现规律：第n次运算的结果$y_n=\frac{2}{2n+1}$
将n=2026代入得：$y_{2026}=\frac{2}{2×2026+1}=\frac{2}{4053}$
【答案】
A
【知识点】
分式的运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律类常考题型，核心是通过计算前几项归纳总结通用规律，既考查了分式的基本运算能力，也考查了归纳推理的能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道结合分式运算的规律探究题，解题时先按照给定的运算规则，代入初始值x=2计算前几项的运算结果，观察结果的分子、分母随运算次数变化的规律，推导得出第n次运算结果的通用表达式，最后将n=2026代入表达式即可求出答案。
【解析】
已知初始输入值x=2，按照运算规则计算：
第1次运算：$y_1=\frac{x}{x+1}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
第2次运算：$y_2=\frac{y_1}{y_1+1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{5}$
第3次运算：$y_3=\frac{y_2}{y_2+1}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}+1}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{2}{7}$
观察上述结果可发现规律：第n次运算的结果$y_n=\frac{2}{2n+1}$
将n=2026代入得：$y_{2026}=\frac{2}{2×2026+1}=\frac{2}{4053}$
【答案】
A
【知识点】
分式的运算；数字规律探究
【点评】
本题属于规律类常考题型，核心是通过计算前几项归纳总结通用规律，既考查了分式的基本运算能力，也考查了归纳推理的能力，掌握从特殊到一般的探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9. 已知分式$\frac{x+n}{2x - m}$（$m,n$都是常数）满足表格中的信息，求$\frac{2}{5}ab$的值。
答案
9. $\frac{3}{250}$
解析
【分析】
要计算$\frac{2}{5}ab$的值，首先需要确定分式$\frac{x+n}{2x-m}$中常数m、n的值：①分式无意义的条件是分母为0，结合x=-4时分式无意义，可列方程求出m；②分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，结合x=4时分式值为0，可列方程求出n；得到确定的分式后，分别代入x=6、x=16求出a、b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求参数$m$的值
当$x=-4$时分式无意义，说明分母取值为0：
$\begin{aligned}2×(-4)-m&=0\\-8-m&=0\\m&=-8\end{aligned}$
2. 求参数$n$的值
当$x=4$时分式的值为0，说明分子为0且分母不为0：
首先分子满足$4+n=0$，解得$n=-4$
验证分母：$2×4 - (-8)=16≠0$，符合分式值为0的条件
因此该分式为$\frac{x-4}{2x+8}$
3. 计算$a$、$b$的值
当$x=6$时：$a=\frac{6-4}{2×6+8}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
当$x=16$时：$b=\frac{16-4}{2×16+8}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$
4. 计算$\frac{2}{5}ab$的值
$\begin{aligned}\frac{2}{5}ab&=\frac{2}{5}×\frac{1}{10}×\frac{3}{10}\\&=\frac{6}{500}\\&=\frac{3}{250}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{250}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握分式无意义、值为0的成立条件，先确定未知参数，再逐步计算所求代数式的值，解题过程中要注意验证分式值为0时分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
要计算$\frac{2}{5}ab$的值，首先需要确定分式$\frac{x+n}{2x-m}$中常数m、n的值：①分式无意义的条件是分母为0，结合x=-4时分式无意义，可列方程求出m；②分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，结合x=4时分式值为0，可列方程求出n；得到确定的分式后，分别代入x=6、x=16求出a、b的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
1. 求参数$m$的值
当$x=-4$时分式无意义，说明分母取值为0：
$\begin{aligned}2×(-4)-m&=0\\-8-m&=0\\m&=-8\end{aligned}$
2. 求参数$n$的值
当$x=4$时分式的值为0，说明分子为0且分母不为0：
首先分子满足$4+n=0$，解得$n=-4$
验证分母：$2×4 - (-8)=16≠0$，符合分式值为0的条件
因此该分式为$\frac{x-4}{2x+8}$
3. 计算$a$、$b$的值
当$x=6$时：$a=\frac{6-4}{2×6+8}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$
当$x=16$时：$b=\frac{16-4}{2×16+8}=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$
4. 计算$\frac{2}{5}ab$的值
$\begin{aligned}\frac{2}{5}ab&=\frac{2}{5}×\frac{1}{10}×\frac{3}{10}\\&=\frac{6}{500}\\&=\frac{3}{250}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{3}{250}$
【知识点】
分式有意义的条件；分式值为0的条件；代数式求值
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握分式无意义、值为0的成立条件，先确定未知参数，再逐步计算所求代数式的值，解题过程中要注意验证分式值为0时分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
10. 求证:不论 x 取何实数,分式$\frac{x^2 - 3x -4}{x^2 -4x +6}$一定有意义.
答案
10. $\because \quad x^2-4x+6=(x-2)^2+2＞0$,
$\therefore \quad$ 不论$x$取何实数,分式的分母都不会为0,所以此分式一定有意义.
$\therefore \quad$ 不论$x$取何实数,分式的分母都不会为0,所以此分式一定有意义.
解析
【分析】
要证明分式不论x取何值都有意义，首先要明确分式有意义的核心条件是分母不为0，因此本题的解题思路是转化为证明分母$x^2-4x+6$对任意实数x都不等于0。我们可以用配方法将二次三项式变形为完全平方式加常数的形式，再结合完全平方的非负性判断分母的取值范围，就能推导出结论。
【解析】
要使分式有意义，则分母不能为0，因此只需证明对任意实数x，$x^2-4x+6 ≠ 0$：
对分母进行配方变形：
$x^2-4x+6 = x^2-4x+4 + 2 = (x-2)^2 + 2$
∵ 对任意实数x，完全平方式的取值具有非负性，即$(x-2)^2 ≥ 0$
∴ $(x-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
即不论x取何实数，分母$x^2-4x+6$的值恒大于0，不会等于0，因此该分式一定有意义。
【答案】
不论x取何实数，分式$\frac{x^2 - 3x -4}{x^2 -4x +6}$一定有意义。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 配方法
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查分式有意义条件的应用，解题的突破口是通过配方法将二次分母转化为“完全平方式+正数”的结构，结合非负性即可快速判断分母的取值范围，掌握基础方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要证明分式不论x取何值都有意义，首先要明确分式有意义的核心条件是分母不为0，因此本题的解题思路是转化为证明分母$x^2-4x+6$对任意实数x都不等于0。我们可以用配方法将二次三项式变形为完全平方式加常数的形式，再结合完全平方的非负性判断分母的取值范围，就能推导出结论。
【解析】
要使分式有意义，则分母不能为0，因此只需证明对任意实数x，$x^2-4x+6 ≠ 0$：
对分母进行配方变形：
$x^2-4x+6 = x^2-4x+4 + 2 = (x-2)^2 + 2$
∵ 对任意实数x，完全平方式的取值具有非负性，即$(x-2)^2 ≥ 0$
∴ $(x-2)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
即不论x取何实数，分母$x^2-4x+6$的值恒大于0，不会等于0，因此该分式一定有意义。
【答案】
不论x取何实数，分式$\frac{x^2 - 3x -4}{x^2 -4x +6}$一定有意义。
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 配方法
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题是分式相关的基础题型，重点考查分式有意义条件的应用，解题的突破口是通过配方法将二次分母转化为“完全平方式+正数”的结构，结合非负性即可快速判断分母的取值范围，掌握基础方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
11.【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题:当$x$取何值时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值大于0?
解:依题意,得$\frac{1-x}{2x-1}＞0$,则有
①$\begin{cases}1-x＞0, \\2x-1＞0\end{cases}$或②$\begin{cases}1-x＜0, \\2x-1＜0\end{cases}$
解不等式组①,得$\frac{1}{2}＜x＜1$.
解不等式组②,得此不等式组无解.
故$\frac{1}{2}＜x＜1$.
所以当$\frac{1}{2}＜x＜1$时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值大于0.
仿照上面的方法解答问题:
(1)当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值小于0?
(2)当$x$取何值时,分式$\frac{x-3}{x^3-2x^2+x}$的值小于0?
例题:当$x$取何值时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值大于0?
解:依题意,得$\frac{1-x}{2x-1}＞0$,则有
①$\begin{cases}1-x＞0, \\2x-1＞0\end{cases}$或②$\begin{cases}1-x＜0, \\2x-1＜0\end{cases}$
解不等式组①,得$\frac{1}{2}＜x＜1$.
解不等式组②,得此不等式组无解.
故$\frac{1}{2}＜x＜1$.
所以当$\frac{1}{2}＜x＜1$时,分式$\frac{1-x}{2x-1}$的值大于0.
仿照上面的方法解答问题:
(1)当$x$取何值时,分式$\frac{3x+2}{x-2}$的值小于0?
(2)当$x$取何值时,分式$\frac{x-3}{x^3-2x^2+x}$的值小于0?
答案
11. (1)$-\frac{2}{3}＜x＜2$
(2)$0＜x＜3$且$x≠1$
(2)$0＜x＜3$且$x≠1$
解析
【分析】
要解决分式值小于0的问题，核心依据是“两数相除，异号得负”，因此需将分式不等式转化为分子分母异号的两种不等式组求解，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0，避免漏解或增解。
(1) 第一问直接根据分子分母异号分两种情况列不等式组，分别求解后取有效解集即可；
(2) 第二问先对分母因式分解，利用平方的非负性简化符号判断，再结合分母不为0的限制条件求解。
【解析】
(1) 依题意，得$\frac{3x+2}{x-2}＜0$，根据“异号两数相除得负”，则有：
①$\begin{cases}3x+2＞0 \\ x-2＜0 \end{cases}$ 或 ②$\begin{cases}3x+2＜0 \\ x-2＞0 \end{cases}$
解不等式组①：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，故不等式组①的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组②：$x＜-\frac{2}{3}$和$x＞2$没有公共解，故不等式组②无解。
综上，$-\frac{2}{3}＜x＜2$。
(2) 先对分母因式分解：$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$，
依题意得$\frac{x-3}{x(x-1)^2}＜0$，
首先分式有意义，则分母不为0，即$x(x-1)^2≠0$，解得$x≠0$且$x≠1$；
因为$(x-1)^2≥0$，且$x≠1$，所以$(x-1)^2＞0$，不改变分式的符号，因此只需满足$\frac{x-3}{x}＜0$，
根据异号得负分两种情况：
①$\begin{cases}x-3＞0 \\ x＜0 \end{cases}$ 或 ②$\begin{cases}x-3＜0 \\ x＞0 \end{cases}$
解不等式组①：$x＞3$和$x＜0$无公共解，无解；
解不等式组②：解$x-3＜0$得$x＜3$，解$x＞0$得$x＞0$，故解集为$0＜x＜3$，
结合分母不为0的条件$x≠1$，最终解集为$0＜x＜3$且$x≠1$。
【答案】
(1)$-\frac{2}{3}＜x＜2$
(2)$0＜x＜3$且$x≠1$
【知识点】
分式的符号法则、一元一次不等式组的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题为材料阅读类题型，需要结合例题给出的方法类比迁移解题，解题过程中要运用分类讨论思想判断分子分母的符号，尤其要注意分式分母不能为0的隐含条件，避免漏写限制范围。
【难度系数】
0.65
要解决分式值小于0的问题，核心依据是“两数相除，异号得负”，因此需将分式不等式转化为分子分母异号的两种不等式组求解，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0，避免漏解或增解。
(1) 第一问直接根据分子分母异号分两种情况列不等式组，分别求解后取有效解集即可；
(2) 第二问先对分母因式分解，利用平方的非负性简化符号判断，再结合分母不为0的限制条件求解。
【解析】
(1) 依题意，得$\frac{3x+2}{x-2}＜0$，根据“异号两数相除得负”，则有：
①$\begin{cases}3x+2＞0 \\ x-2＜0 \end{cases}$ 或 ②$\begin{cases}3x+2＜0 \\ x-2＞0 \end{cases}$
解不等式组①：解$3x+2＞0$得$x＞-\frac{2}{3}$，解$x-2＜0$得$x＜2$，故不等式组①的解集为$-\frac{2}{3}＜x＜2$；
解不等式组②：$x＜-\frac{2}{3}$和$x＞2$没有公共解，故不等式组②无解。
综上，$-\frac{2}{3}＜x＜2$。
(2) 先对分母因式分解：$x^3-2x^2+x=x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2$，
依题意得$\frac{x-3}{x(x-1)^2}＜0$，
首先分式有意义，则分母不为0，即$x(x-1)^2≠0$，解得$x≠0$且$x≠1$；
因为$(x-1)^2≥0$，且$x≠1$，所以$(x-1)^2＞0$，不改变分式的符号，因此只需满足$\frac{x-3}{x}＜0$，
根据异号得负分两种情况：
①$\begin{cases}x-3＞0 \\ x＜0 \end{cases}$ 或 ②$\begin{cases}x-3＜0 \\ x＞0 \end{cases}$
解不等式组①：$x＞3$和$x＜0$无公共解，无解；
解不等式组②：解$x-3＜0$得$x＜3$，解$x＞0$得$x＞0$，故解集为$0＜x＜3$，
结合分母不为0的条件$x≠1$，最终解集为$0＜x＜3$且$x≠1$。
【答案】
(1)$-\frac{2}{3}＜x＜2$
(2)$0＜x＜3$且$x≠1$
【知识点】
分式的符号法则、一元一次不等式组的解法、分式有意义的条件
【点评】
本题为材料阅读类题型，需要结合例题给出的方法类比迁移解题，解题过程中要运用分类讨论思想判断分子分母的符号，尤其要注意分式分母不能为0的隐含条件，避免漏写限制范围。
【难度系数】
0.65
