登录
变式：如图，通过画边长为 $ 1 $ 的正方形，就能准确地把 $\sqrt{2}$ 表示在数轴上点 $ A_1 $ 处. 记点 $ A_1 $ 右侧最近的整数点为 $ B_1 $，以点 $ B_1 $ 为圆心，$ A_1B_1 $ 为半径画半圆，交数轴于点 $ A_2 $，记点 $ A_2 $ 右侧最近的整数点为 $ B_2 $，以点 $ B_2 $ 为圆心，$ A_2B_2 $ 为半径画半圆，交数轴于点 $ A_3 $，则点 $ A_3 $ 表示的数为(
A.$ 2-\sqrt{2} $
B.$ 2+\sqrt{2} $
C.$ 3+\sqrt{2} $
D.$ 5-\sqrt{2} $
B
).A.$ 2-\sqrt{2} $
B.$ 2+\sqrt{2} $
C.$ 3+\sqrt{2} $
D.$ 5-\sqrt{2} $
答案
B
解析
【解析】
1. 根据题意，点$A_1$表示的数为$\sqrt{2}$，由于$\sqrt{2}\approx1.414$，其右侧最近的整数点$B_1$表示的数为2，因此$A_1B_1=2-\sqrt{2}$。
2. 以点$B_1$为圆心，$A_1B_1$为半径画半圆，交数轴于点$A_2$，则点$A_2$表示的数为$2+(2-\sqrt{2})=4-\sqrt{2}$。
3. 因为$4-\sqrt{2}\approx2.586$，所以点$A_2$右侧最近的整数点$B_2$表示的数为3，可得$A_2B_2=3-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
4. 以点$B_2$为圆心，$A_2B_2$为半径画半圆，交数轴于点$A_3$，则点$A_3$表示的数为$3+(\sqrt{2}-1)=2+\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
实数与数轴，勾股定理，圆的性质
【点评】
本题结合实数与数轴的对应关系，利用勾股定理和圆的半径性质，通过逐步计算线段长度确定数轴上点表示的数，考查了逻辑推理与运算能力，需准确分析每个点的位置与线段长度关系。
1. 根据题意，点$A_1$表示的数为$\sqrt{2}$，由于$\sqrt{2}\approx1.414$，其右侧最近的整数点$B_1$表示的数为2，因此$A_1B_1=2-\sqrt{2}$。
2. 以点$B_1$为圆心，$A_1B_1$为半径画半圆，交数轴于点$A_2$，则点$A_2$表示的数为$2+(2-\sqrt{2})=4-\sqrt{2}$。
3. 因为$4-\sqrt{2}\approx2.586$，所以点$A_2$右侧最近的整数点$B_2$表示的数为3，可得$A_2B_2=3-(4-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$。
4. 以点$B_2$为圆心，$A_2B_2$为半径画半圆，交数轴于点$A_3$，则点$A_3$表示的数为$3+(\sqrt{2}-1)=2+\sqrt{2}$。
【答案】
B
【知识点】
实数与数轴，勾股定理，圆的性质
【点评】
本题结合实数与数轴的对应关系，利用勾股定理和圆的半径性质，通过逐步计算线段长度确定数轴上点表示的数，考查了逻辑推理与运算能力，需准确分析每个点的位置与线段长度关系。
例 3 已知 $ 5m+3 $ 的立方根为 $ -3 $，$ 2m+4n $ 的算术平方根为 $ 4 $.
(1) $ m= $，$ n= $.
(2) 求 $ -3m+n $ 的平方根.
(3) 求 $ (2m+3n)^2+135 $ 的立方根.
分析：(1) 根据立方根的定义求出 $ m $ 的值，根据算术平方根的定义求出 $ n $ 的值.
(2) 把 (1) 中 $ m,n $ 的值代入 $ -3m+n $，再根据平方根的定义计算.
(3) 把 (1) 中 $ m,n $ 的值代入 $ (2m+3n)^2+135 $，再根据立方根的定义计算.
解：(1) $\because \sqrt[3]{5m+3}=-3$，$\therefore 5m+3=-27$. $\therefore m=-6$.
又 $\because \sqrt{2m+4n}=4$，$\therefore 2m+4n=16$. $\therefore 2× (-6)+4n=16$. $\therefore n=7$.
(2) 由 (1)，得 $ -3m+n=-3× (-6)+7=25 $. $\therefore \pm \sqrt{-3m+n}=\pm \sqrt{25}=\pm 5$.
(3) 由 (1)，得 $ (2m+3n)^2+135=[2× (-6)+3× 7]^2+135=216 $.
$\therefore \sqrt[3]{(2m+3n)^2+135}=\sqrt[3]{216}=6$.
(1) $ m= $，$ n= $.
(2) 求 $ -3m+n $ 的平方根.
(3) 求 $ (2m+3n)^2+135 $ 的立方根.
分析：(1) 根据立方根的定义求出 $ m $ 的值，根据算术平方根的定义求出 $ n $ 的值.
(2) 把 (1) 中 $ m,n $ 的值代入 $ -3m+n $，再根据平方根的定义计算.
(3) 把 (1) 中 $ m,n $ 的值代入 $ (2m+3n)^2+135 $，再根据立方根的定义计算.
解：(1) $\because \sqrt[3]{5m+3}=-3$，$\therefore 5m+3=-27$. $\therefore m=-6$.
又 $\because \sqrt{2m+4n}=4$，$\therefore 2m+4n=16$. $\therefore 2× (-6)+4n=16$. $\therefore n=7$.
(2) 由 (1)，得 $ -3m+n=-3× (-6)+7=25 $. $\therefore \pm \sqrt{-3m+n}=\pm \sqrt{25}=\pm 5$.
(3) 由 (1)，得 $ (2m+3n)^2+135=[2× (-6)+3× 7]^2+135=216 $.
$\therefore \sqrt[3]{(2m+3n)^2+135}=\sqrt[3]{216}=6$.
答案
(1)
$\because \sqrt[3]{5m + 3}=-3$，根据立方根的定义，$5m + 3=(-3)^{3}=-27$，
$5m=-27 - 3=-30$，解得$m = - 6$。
$\because\sqrt{2m + 4n}=4$，根据算术平方根的定义，$2m + 4n=4^{2}=16$，
把$m = - 6$代入$2m + 4n=16$得：$2×(-6)+4n=16$，
$-12 + 4n=16$，$4n=16 + 12=28$，解得$n = 7$。
(2)
把$m=-6$，$n = 7$代入$-3m + n$得：$-3×(-6)+7=18 + 7=25$。
根据平方根的定义，$\pm\sqrt{-3m + n}=\pm\sqrt{25}=\pm5$。
(3)
把$m=-6$，$n = 7$代入$(2m + 3n)^{2}+135$得：
$[2×(-6)+3×7]^{2}+135=( - 12 + 21)^{2}+135=9^{2}+135=81+135=216$。
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{(2m + 3n)^{2}+135}=\sqrt[3]{216}=6$。
综上，答案依次为：(1)$m=-6$；$n = 7$；(2)$\pm5$；(3)$6$。
$\because \sqrt[3]{5m + 3}=-3$，根据立方根的定义，$5m + 3=(-3)^{3}=-27$，
$5m=-27 - 3=-30$，解得$m = - 6$。
$\because\sqrt{2m + 4n}=4$，根据算术平方根的定义，$2m + 4n=4^{2}=16$，
把$m = - 6$代入$2m + 4n=16$得：$2×(-6)+4n=16$，
$-12 + 4n=16$，$4n=16 + 12=28$，解得$n = 7$。
(2)
把$m=-6$，$n = 7$代入$-3m + n$得：$-3×(-6)+7=18 + 7=25$。
根据平方根的定义，$\pm\sqrt{-3m + n}=\pm\sqrt{25}=\pm5$。
(3)
把$m=-6$，$n = 7$代入$(2m + 3n)^{2}+135$得：
$[2×(-6)+3×7]^{2}+135=( - 12 + 21)^{2}+135=9^{2}+135=81+135=216$。
根据立方根的定义，$\sqrt[3]{(2m + 3n)^{2}+135}=\sqrt[3]{216}=6$。
综上，答案依次为：(1)$m=-6$；$n = 7$；(2)$\pm5$；(3)$6$。
变式：已知 $ 2a+1 $ 的算术平方根是 $ 3 $，$ 3a-b-1 $ 的立方根是 $ 2 $，$ c $ 是 $\sqrt{40}$ 的整数部分，则 $ a-b+c $ 的平方根是
$\pm \sqrt{7}$
.答案
$\pm \sqrt{7}$
解析
【解析】
1. 根据算术平方根的定义，可得 $2a + 1 = 3^2 = 9$，解得 $a = 4$；
2. 根据立方根的定义，可得 $3a - b - 1 = 2^3 = 8$，将 $a = 4$ 代入，得 $3×4 - b - 1 = 8$，解得 $b = 3$；
3. 因为 $\sqrt{36} ＜ \sqrt{40} ＜ \sqrt{49}$，即 $6 ＜ \sqrt{40} ＜ 7$，所以 $\sqrt{40}$ 的整数部分 $c = 6$；
4. 计算 $a - b + c = 4 - 3 + 6 = 7$，则 $a - b + c$ 的平方根是 $\pm\sqrt{7}$。
【答案】
$\pm \sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的估算
【点评】
本题主要考查算术平方根、立方根的定义及无理数的估算，熟练掌握相关定义与估算方法是解题关键。
1. 根据算术平方根的定义，可得 $2a + 1 = 3^2 = 9$，解得 $a = 4$；
2. 根据立方根的定义，可得 $3a - b - 1 = 2^3 = 8$，将 $a = 4$ 代入，得 $3×4 - b - 1 = 8$，解得 $b = 3$；
3. 因为 $\sqrt{36} ＜ \sqrt{40} ＜ \sqrt{49}$，即 $6 ＜ \sqrt{40} ＜ 7$，所以 $\sqrt{40}$ 的整数部分 $c = 6$；
4. 计算 $a - b + c = 4 - 3 + 6 = 7$，则 $a - b + c$ 的平方根是 $\pm\sqrt{7}$。
【答案】
$\pm \sqrt{7}$
【知识点】
算术平方根的定义、立方根的定义、无理数的估算
【点评】
本题主要考查算术平方根、立方根的定义及无理数的估算，熟练掌握相关定义与估算方法是解题关键。
