例 1 把数 $ 0,\sqrt{8},-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},-\sqrt{27},-2,\sqrt{3},\dfrac{π}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1.212\ 121,\dfrac{21}{5},\sqrt{3}-1,0.101\ 001\ 000\ 1··· $（每两个 $ 1 $ 之间依次多一个 $ 0 $）填在相应的大括号内.
有理数集合：$\{···\}$
无理数集合：$\{···\}$
分析：根据不同的标准，实数有不同的分类方法. 实数的分类是根据数的本质而不是形式，带根号的数不一定都是无理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数.
解：有理数集合：$\{0,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},-2,1.212\ 121,\dfrac{21}{5},···\}$.
无理数集合：$\{\sqrt{8},-\sqrt{27},\sqrt{3},\dfrac{π}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}-1,0.101\ 001\ 000\ 1··· $（每两个 $ 1 $ 之间依次多一个 $ 0 $）$ ,···\}$.

有理数集合：$\{0,-\sqrt[3]{\dfrac{8}{27}},\sqrt{4},-2,1.212\ 121,\dfrac{21}{5},···\}$
无理数集合：$\{\sqrt{8},-\sqrt{27},\sqrt{3},\dfrac{π}{4},\dfrac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}-1,0.101\ 001\ 000\ 1···$（每两个$1$之间依次多一个$0$）$,···\}$

变式：例 $ 1 $ 中，正实数有个，负实数有个.

9 3

【解析】
依据正实数、负实数的定义，识别并计数可得正实数有9个，负实数有3个。
【答案】
9；3
【知识点】
实数的分类
【点评】
本题考查正、负实数的判定与计数，需明确正、负实数的概念，准确区分后统计数量。

例 2 比较下列各组数的大小.
(1) $\sqrt{40}$ 与 $ 6 $. (2) $\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ 与 $\dfrac{1}{2}$.
分析：两个非负数的算术平方根比较大小，被开方数大的，其算术平方根大（如 $\sqrt{48}＞\sqrt{47}$）. 非负数的算术平方根与有理数比较大小，一般先判断非负数的算术平方根的整数部分，确定其在哪两个整数之间.
解：(1) $\because \sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$，$\therefore 6＜\sqrt{40}＜7$. $\therefore \sqrt{40}＞6$.
(2) $\because \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，$\therefore \sqrt{3}＜2$. $\therefore \sqrt{3}-1＜1$. $\therefore \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}＜\dfrac{1}{2}$.

(1)
$\because \sqrt{36} = 6$，$\sqrt{40}＞\sqrt{36}$，
$\therefore\sqrt{40} ＞ 6$。
(2)
$\because 1＜3＜4$，$\therefore\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即 $1 ＜ \sqrt{3} ＜ 2$，
$\therefore \sqrt{3} - 1 ＜ 1$，
$\therefore \frac{\sqrt{3} - 1}{2} ＜ \frac{1}{2}$。