6. $∠ 1$ 的两边与 $∠ 2$ 的两边互相平行，且 $∠ 2$ 是 $∠ 1$ 的余角的 $3$ 倍，求 $∠ 1$ 的度数。

6. $45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$

【解析】
已知∠1的两边与∠2的两边互相平行，根据平行线的性质，可得∠1=∠2或∠1+∠2=180°。
由∠2是∠1的余角的3倍，结合余角定义，∠1的余角为90°-∠1，因此∠2=3(90°-∠1)。
分两种情况讨论：
1. 当∠1=∠2时：
∠1=3(90°-∠1)
∠1=270°-3∠1
4∠1=270°
∠1=67.5°
2. 当∠1+∠2=180°时：
∠1+3(90°-∠1)=180°
∠1+270°-3∠1=180°
-2∠1=-90°
∠1=45°
综上，∠1的度数为45°或67.5°。
【答案】
$45^{\circ}$或$67.5^{\circ}$
【知识点】
平行线的性质，余角的定义，分类讨论思想
【点评】
本题需根据两边平行的两角关系分类讨论，结合余角定义列方程求解，解题时要注意不遗漏两种位置关系，培养严谨的分类思维。

7. 如图，点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $CD$ 上，$AF// ED$，$∠ A=∠ D$，求证 $∠ B=∠ C$。

7. $\because AF// ED$，$\therefore ∠ D=∠ AFC$
又$\because ∠ A=∠ D$，$\therefore ∠ AFC=∠ A$
$\therefore AB// CD$，$\therefore ∠ B=∠ C$

8. 已知点 $A$，$C$，$B$ 不在同一条直线上，$AD// BE$。

(1) 如图①，求证 $∠ B+∠ C-∠ A = 180^{\circ}$。
(2) 如图②，$AQ$，$BQ$ 分别为 $∠ DAC$，$∠ EBC$ 的平分线所在直线，探究 $∠ C$ 与 $∠ AQB$ 的数量关系。
(3) 如图③，在(2)的前提下，且有 $AC// QB$，直线 $AQ$，$BC$ 交于点 $P$，$QP⊥ PB$，直接写出 $∠ DAC:∠ ACB:∠ CBE=$ 。(注：三角形的内角和为 $180^{\circ}$)

8. (1)在图①中，过点$C$作$CF// AD$
　　　　
$\because AD// BE$，$\therefore CF// AD// BE$
$\therefore ∠ ACF=∠ A$，$∠ BCF=180^{\circ}-∠ B$
$\therefore ∠ B+∠ ACB-∠ A=∠ B+(∠ ACF+∠ BCF)-∠ A=∠ B+(∠ A+180^{\circ}-∠ B)-∠ A=180^{\circ}$
(2)在图②中，过点$Q$作$QM// AD$，则$QM// BE$
$\because QM// AD$，$QM// BE$，
$\therefore ∠ AQM=∠ NAD$，$∠ BQM=∠ EBQ$
$\because AN$平分$∠ CAD$，$BQ$平分$∠ CBE$，
$\therefore ∠ NAD=\frac{1}{2}∠ CAD$，$∠ EBQ=\frac{1}{2}∠ CBE$
$\therefore ∠ AQB=∠ BQM-∠ AQM=\frac{1}{2}(∠ CBE-∠ CAD)$
$\because ∠ C=180^{\circ}-(∠ CBE-∠ CAD)=180^{\circ}-2∠ AQB$，
$\therefore 2∠ AQB+∠ C=180^{\circ}$
(3)$\because AC// QB$，
$\therefore ∠ AQB=∠ CAP=\frac{1}{2}∠ CAD$，$∠ ACP=∠ PBQ=\frac{1}{2}∠ CBE$
$\therefore ∠ ACB=180^{\circ}-∠ ACP=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠ CBE$
$\because 2∠ AQB+∠ ACB=180^{\circ}$，$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CBE$
又$\because QP⊥ PB$，$\therefore ∠ APC=90^{\circ}$
$\therefore ∠ CAP+∠ ACP=90^{\circ}$，即$∠ CAD+∠ CBE=180^{\circ}$
$\therefore ∠ CAD=60^{\circ}$，$∠ CBE=120^{\circ}$
$\therefore ∠ ACB=180^{\circ}-\frac{1}{2}∠ CBE=120^{\circ}$
$\therefore ∠ DAC:∠ ACB:∠ CBE=60^{\circ}:120^{\circ}:120^{\circ}=1:2:2$