1. 已知圆柱底面的周长为$4\space dm$，圆柱高为$2\space dm$，在圆柱的侧面上，过点$A$和点$C$嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为()

A.$4\sqrt{2}\space dm$
B.$2\sqrt{2}\space dm$
C.$2\sqrt{5}\space dm$
D.$4\sqrt{5}\space dm$

1. A

2. 如图，边长为$4cm$的等边$△ ABC$中，点$P$，$Q$分别是边$AB$，$BC$上的动点（端点除外），点$P$从顶点$A$，点$Q$从顶点$B$同时出发，且它们的速度都为$1\space cm/s$，连接$AQ$，$CP$交于点$M$，在点$P$，$Q$运动的过程中。

(1)求证：$△ ABQ≌△ CAP$。
(2)$∠ QMC$的大小是否发生变化？若无变化，求$∠ QMC$的度数；若有变化，请说明理由。
(3)连接$PQ$，当点$P$，$Q$运动多少秒时，$△ PBQ$是直角三角形？

2. (1) 证明：$\because△ ABC $ 是等边三角形，
$\therefore∠ ABQ = ∠ CAP = 60° $，$ AB = CA $，
$\because$ 点 $ P $、$ Q $ 的速度相同，
$\therefore AP = BQ $，
在 $ △ ABQ $ 和 $ △ CAP $ 中，$\begin{cases}AB = CA \\ ∠ ABQ = ∠ CAP \\ AP = BQ\end{cases}$，
$\therefore△ ABQ≌△ CAP(SAS)$.
(2) 解：$ ∠ QMC $ 的大小不发生变化，
$\because△ ABQ≌△ CAP $，
$\therefore∠ BAQ = ∠ ACP $，
$\therefore∠ QMC = ∠ QAC+∠ ACP = ∠ QAC+∠ BAQ = 60° $.
(3) 解：设点 $ P $，$ Q $ 运动 $ x $ 秒时，$ △ PBQ $ 是直角三角形，则 $ AP = BQ = x $，$ PB = (4 - x) $，当 $ ∠ PQB = 90° $ 时，$\because∠ A = 60° $，$\therefore BP = 2BQ $，即 $ 4 - x = 2x $，解得 $ x = \frac{4}{3} $，
当 $ ∠ BPQ = 90° $ 时，$\because∠ B = 60° $，
$\therefore BQ = 2BP $，即 $ 2(4 - x) = x $，解得 $ x = \frac{8}{3} $，
$\therefore$ 当点 $ P $，$ Q $ 运动 $ \frac{4}{3} $ 秒或 $ \frac{8}{3} $ 秒时，$ △ PBQ $ 是直角三角形.