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1. 写出方差公式 。
答案
设一组数据$x_1,x_2, · · · ,x_n$的平均数为$\overline{x}$，
则方差$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2+(x_2 - \overline x)^2 + · · · +(x_n - \overline{x})^2]$（或$S^{2} =\frac{1}{n}[x_1^{2}+x_2^{2}+· · · +x_n^{2}-n\overline{x}^{2}]$）。
则方差$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - \overline{x})^2+(x_2 - \overline x)^2 + · · · +(x_n - \overline{x})^2]$（或$S^{2} =\frac{1}{n}[x_1^{2}+x_2^{2}+· · · +x_n^{2}-n\overline{x}^{2}]$）。
2. 方差的大小与数据的波动性大小有何关系？
答案
在统计学中，方差用于衡量数据的离散程度或者波动性大小。
方差（记为 $s^2$,对于样本）的计算公式为：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x))^2}$，
其中，$n$ 是数据的数量，$x_i$ 是每一个数据点，$\bar{x}$ 是数据的平均值。
方差 $s^2$ 与数据的波动性大小有直接关系：
如果方差 $s^2$ 较大，说明数据点 $x_i$ 相对于平均值 $\bar{x}$ 的离散程度较大，即数据的波动性较大。
如果方差 $s^2$ 较小，说明数据点 $x_i$ 相对于平均值 $\bar{x}$ 的离散程度较小，即数据的波动性较小。
综上，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，数据的波动性越小。
方差（记为 $s^2$,对于样本）的计算公式为：
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x))^2}$，
其中，$n$ 是数据的数量，$x_i$ 是每一个数据点，$\bar{x}$ 是数据的平均值。
方差 $s^2$ 与数据的波动性大小有直接关系：
如果方差 $s^2$ 较大，说明数据点 $x_i$ 相对于平均值 $\bar{x}$ 的离散程度较大，即数据的波动性较大。
如果方差 $s^2$ 较小，说明数据点 $x_i$ 相对于平均值 $\bar{x}$ 的离散程度较小，即数据的波动性较小。
综上，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，数据的波动性越小。
3. 用 估计 是统计的基本思想，正像用 的平均数估计 的平均数一样，考查总体方差时，如果所要考查的总体包含很多个体，或者考查本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差。
答案
样本的方差 总体的方差 样本 总体
4. 某快餐公司的鸡腿很受消费者欢迎，现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家鸡腿。检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取 15 个，记录它们的质量(单位：g)如表所示。根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？
甲：74，74，75，74，76，73，76，73，76，75，78，77，74，72，73。
乙：75，73，79，72，76，71，73，72，78，74，77，78，80，71，75。
甲：74，74，75，74，76，73，76，73，76，75，78，77，74，72，73。
乙：75，73，79，72，76，71，73，72，78，74，77，78，80，71，75。
答案
1. 计算甲加工厂鸡腿质量的平均数：
甲数据：74,74,75,74,76,73,76,73,76,75,78,77,74,72,73.
总和=72+73×3+74×4+75×2+76×3+77+78=1120.
平均数$\bar{x}_甲=\frac{1120}{15}\approx74.67$g.
2. 计算甲加工厂鸡腿质量的方差：
平方和=72²+73²×3+74²×4+75²×2+76²×3+77²+78²=83666.
$s^2_甲=\frac{1}{15}(83666 - 15×(\frac{1120}{15})^2)\approx2.62$.
3. 计算乙加工厂鸡腿质量的平均数：
乙数据：75,73,79,72,76,71,73,72,78,74,77,78,80,71,75.
总和=71×2+72×2+73×2+74+75×2+76+77+78×2+79+80=1124.
平均数$\bar{x}_乙=\frac{1124}{15}\approx74.93$g.
4. 计算乙加工厂鸡腿质量的方差：
平方和=71²×2+72²×2+73²×2+74²+75²×2+76²+77²+78²×2+79²+80²=84348.
$s^2_乙=\frac{1}{15}(84348 - 15×(\frac{1124}{15})^2)\approx8.20$.
5. 比较方差：$s^2_甲\approx2.62 ＜ s^2_乙\approx8.20$.
结论：快餐公司应选购甲加工厂的鸡腿.
甲数据：74,74,75,74,76,73,76,73,76,75,78,77,74,72,73.
总和=72+73×3+74×4+75×2+76×3+77+78=1120.
平均数$\bar{x}_甲=\frac{1120}{15}\approx74.67$g.
2. 计算甲加工厂鸡腿质量的方差：
平方和=72²+73²×3+74²×4+75²×2+76²×3+77²+78²=83666.
$s^2_甲=\frac{1}{15}(83666 - 15×(\frac{1120}{15})^2)\approx2.62$.
3. 计算乙加工厂鸡腿质量的平均数：
乙数据：75,73,79,72,76,71,73,72,78,74,77,78,80,71,75.
总和=71×2+72×2+73×2+74+75×2+76+77+78×2+79+80=1124.
平均数$\bar{x}_乙=\frac{1124}{15}\approx74.93$g.
4. 计算乙加工厂鸡腿质量的方差：
平方和=71²×2+72²×2+73²×2+74²+75²×2+76²+77²+78²×2+79²+80²=84348.
$s^2_乙=\frac{1}{15}(84348 - 15×(\frac{1124}{15})^2)\approx8.20$.
5. 比较方差：$s^2_甲\approx2.62 ＜ s^2_乙\approx8.20$.
结论：快餐公司应选购甲加工厂的鸡腿.
合作学习
下面我们利用方差来分析“自主学习”第 4 题中甲、乙两家鸡腿质量的波动情况。
检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂的鸡腿中各随机抽取 15 个，分别组成一个样本，样本数据的平均数分别为
$\overline{x}_{甲} =$ ，
$\overline{x}_{乙} =$ 。
两组样本数据的方差分别为
$s^{2}_{甲} =$ ，
$s^{2}_{乙} =$ 。
显然 $s^{2}_{甲}$ $s^{2}_{乙}$(填“＞”或“＜”)，由此可知 加工厂的鸡腿较好。
下面我们利用方差来分析“自主学习”第 4 题中甲、乙两家鸡腿质量的波动情况。
检查人员从甲、乙两家农副产品加工厂的鸡腿中各随机抽取 15 个，分别组成一个样本，样本数据的平均数分别为
$\overline{x}_{甲} =$ ，
$\overline{x}_{乙} =$ 。
两组样本数据的方差分别为
$s^{2}_{甲} =$ ，
$s^{2}_{乙} =$ 。
显然 $s^{2}_{甲}$ $s^{2}_{乙}$(填“＞”或“＜”)，由此可知 加工厂的鸡腿较好。
答案
$\overline{x}_{甲} = \boldsymbol{75}$，$\overline{x}_{乙} = \boldsymbol{75}$；
$s^{2}_{甲} = \boldsymbol{1.6}$，$s^{2}_{乙} = \boldsymbol{0.8}$；
显然 $s^{2}_{甲}$ $\boldsymbol{＞}$ $s^{2}_{乙}$，由此可知 $\boldsymbol{乙}$ 加工厂的鸡腿较好。
$s^{2}_{甲} = \boldsymbol{1.6}$，$s^{2}_{乙} = \boldsymbol{0.8}$；
显然 $s^{2}_{甲}$ $\boldsymbol{＞}$ $s^{2}_{乙}$，由此可知 $\boldsymbol{乙}$ 加工厂的鸡腿较好。
某农民几年前承包了甲、乙两片荒山，分别栽种了 100 棵蜜橘，成活率为 98%，现已结果，经济效益初步显现。为了分析经营情况，他从甲山上随意采摘了 3 棵树上的蜜橘，称得质量分别为 25 千克，18 千克，20 千克；从乙山上采摘了 4 棵树上的蜜橘，称得质量分别是 21 千克，24 千克，19 千克，20 千克。两山上的蜜橘组成样本，问：
（1）样本容量是多少？
（2）样本平均数是多少？请估算甲、乙两山蜜橘的总产量。
（3）哪个山上的蜜橘长势较整齐？
（1）样本容量是多少？
（2）样本平均数是多少？请估算甲、乙两山蜜橘的总产量。
（3）哪个山上的蜜橘长势较整齐？
答案
（1）样本容量是甲山采摘树的数量与乙山采摘树的数量之和，即$3 + 4 = 7$。
（2）
样本平均数为：
$\bar{x}=\frac{25 + 18+20 + 21+24+19+20}{7}=\frac{147}{7} = 21$（千克），
甲山$100×98\% = 98$棵树，乙山$100×98\% = 98$棵树，
总产量约为$(98 + 98)×21=2058×21 = 4116$（千克）。
（3）
甲山方差$S_{甲}^{2}=\frac{1}{3}[(25 - 21)^{2}+(18 - 21)^{2}+(20 - 21)^{2}]$
$=\frac{1}{3}(16 + 9+1)=\frac{26}{3}\approx8.67$；
乙山方差$S_{乙}^{2}=\frac{1}{4}[(21 - 21)^{2}+(24 - 21)^{2}+(19 - 21)^{2}+(20 - 21)^{2}]$
$=\frac{1}{4}(0 + 9+4 + 1)=\frac{14}{4}= 3.5$；
因为$\frac{26}{3}＞3.5$，即$S_{甲}^{2}＞S_{乙}^{2}$，
所以乙山上的蜜橘长势较整齐。
（2）
样本平均数为：
$\bar{x}=\frac{25 + 18+20 + 21+24+19+20}{7}=\frac{147}{7} = 21$（千克），
甲山$100×98\% = 98$棵树，乙山$100×98\% = 98$棵树，
总产量约为$(98 + 98)×21=2058×21 = 4116$（千克）。
（3）
甲山方差$S_{甲}^{2}=\frac{1}{3}[(25 - 21)^{2}+(18 - 21)^{2}+(20 - 21)^{2}]$
$=\frac{1}{3}(16 + 9+1)=\frac{26}{3}\approx8.67$；
乙山方差$S_{乙}^{2}=\frac{1}{4}[(21 - 21)^{2}+(24 - 21)^{2}+(19 - 21)^{2}+(20 - 21)^{2}]$
$=\frac{1}{4}(0 + 9+4 + 1)=\frac{14}{4}= 3.5$；
因为$\frac{26}{3}＞3.5$，即$S_{甲}^{2}＞S_{乙}^{2}$，
所以乙山上的蜜橘长势较整齐。
