1. 下表是满足二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的五组数据，$ x_1 $ 是方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的一个解，则下列选项中正确的是()


A.$ 1.6 ＜ x_1 ＜ 1.8 $
B.$ 1.8 ＜ x_1 ＜ 2.0 $
C.$ 2.0 ＜ x_1 ＜ 2.2 $
D.$ 2.2 ＜ x_1 ＜ 2.4 $

1.C

解：由表格数据可知，当$x=2.0$时，$y=-0.20$；当$x=2.2$时，$y=0.22$。因为二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像是连续的曲线，且$y$的值由负变为正，所以方程$ax^2 + bx + c = 0$的一个解$x_1$满足$2.0 ＜ x_1 ＜ 2.2$。
C

2. (2024·甘孜州)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ＞ 0) $ 的图像如图所示，给出下列结论：① $ c ＜ 0 $；② $ -\frac{b}{2a} ＞ 0 $；③当 $ -1 ＜ x ＜ 3 $ 时，$ y ＜ 0 $。其中所有正确结论的序号是()


A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

2.D

解：①抛物线与$y$轴交于负半轴，$\therefore c ＜ 0$，正确；
②抛物线开口向上，$a ＞ 0$，对称轴在$y$轴右侧，$\therefore -\frac{b}{2a} ＞ 0$，正确；
③抛物线与$x$轴交于$(-1,0)$，$(3,0)$，且开口向上，$\therefore$当$-1 ＜ x ＜ 3$时，$y ＜ 0$，正确。
综上，正确结论的序号是①②③。
D

3. (2024·湖北)已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $($ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a ≠ 0 $)的顶点坐标为 $ (-1, -2) $，与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴上方，下列结论正确的是()

A.$ a ＜ 0 $
B.$ c ＜ 0 $
C.$ a - b + c = -2 $
D.$ b^2 - 4ac = 0 $

3.C

∵抛物线顶点坐标为$(-1,-2)$，
∴抛物线解析式可写为$y=a(x+1)^2 - 2$。
∵抛物线与$y$轴交点在$x$轴上方，
当$x=0$时，$y=a(0 + 1)^2 - 2 = a - 2 ＞ 0$，
∴$a ＞ 2$，则$a ＞ 0$，A错误。
$c = a - 2$，$a ＞ 2$，则$c ＞ 0$，B错误。
当$x = -1$时，$y = -2$，即$a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = -2$，C正确。
抛物线顶点在$x$轴下方且开口向上，与$x$轴有两个交点，
∴$b^2 - 4ac ＞ 0$，D错误。
结论正确的是C。

4. (2024·泰安)如图所示是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线 $ x = 1 $，图像与 $ y $ 轴交点的纵坐标是 2. 则下列结论：① $ 2a + b = 0 $；②方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 一定有一个根在 $ -2 $ 和 $ -1 $ 之间；③方程 $ ax^2 + bx + c - \frac{3}{2} = 0 $ 一定有两个不相等的实数根；④ $ b - a ＜ 2 $。其中，正确结论的个数有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

4.B

解：①
∵对称轴为直线$x=1$，$\therefore -\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a$，$\therefore 2a + b=0$，①正确；
②
∵抛物线过点$(3,0)$，对称轴为$x=1$，$\therefore$抛物线与$x$轴另一交点为$(-1,0)$，方程$ax^2 + bx + c=0$的根为$x=-1$和$x=3$，②错误；
③
∵抛物线开口向下，顶点纵坐标大于$2$，$\therefore$抛物线$y=ax^2 + bx + c$与直线$y=\frac{3}{2}$有两个交点，方程$ax^2 + bx + c - \frac{3}{2}=0$有两个不相等实根，③正确；
④
∵$c=2$，$a＜0$，$b=-2a$，$\therefore b - a=-3a$，当$a＜-\frac{2}{3}$时，$-3a＞2$，④错误。
正确结论为①③，共2个。
答案：B

5. 已知一次函数 $ y_1 = kx + m(k ≠ 0) $ 和二次函数 $ y_2 = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的自变量和对应函数值如下表所示：

当 $ y_2 ＞ y_1 $ 时，自变量 $ x $ 的取值范围是()

A.$ x ＜ -1 $
B.$ x ＞ 4 $
C.$ -1 ＜ x ＜ 4 $
D.$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 4 $

5.D

求一次函数$y_1 = kx + m$的解析式
将$x=-1,y_1=0$和$x=0,y_1=1$代入$y_1 = kx + m$，得：
$\begin{cases}-k + m = 0 \\m = 1\end{cases}$
解得$k=1,m=1$，所以$y_1=x + 1$。
求二次函数$y_2 = ax^2 + bx + c$的解析式
将$x=-1,y_2=0$，$x=3,y_2=0$，$x=4,y_2=5$代入$y_2 = ax^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}a - b + c = 0 \\9a + 3b + c = 0 \\16a + 4b + c = 5\end{cases}$
解得$a=1,b=-2,c=-3$，所以$y_2=x^2 - 2x - 3$。
解不等式$y_2 ＞ y_1$
$x^2 - 2x - 3 ＞ x + 1$
$x^2 - 3x - 4 ＞ 0$
$(x - 4)(x + 1) ＞ 0$
解得$x ＜ -1$或$x ＞ 4$。
D