10. 如图,直线$AB$,$CD$被直线$EF$,$MN$所截。
(1)若$AB// CD$,$EF// MN$,$∠ 1=115°$,试求$∠ 3$和$∠ 4$的度数;
(2)本题隐含着一个规律,请根据(1)的结果填空:如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行,那么这两个角;
(3)利用(2)的结论解答:如果两个角的两边分别平行,其中一个角是另一个角的2倍,求这两个角的度数。

10.解:(1)$∠3=115^{\circ },$
$∠4=65^{\circ };$
(2)相等或互补;
(3)两个角的度数分别为$120^{\circ }$和$60^{\circ }$。

【分析】
(1) 求∠3和∠4的度数时，先借助平行线的性质：两直线平行，同位角相等。由$AB// CD$可得$∠1=∠2$，再结合$EF// MN$可得$∠2=∠3$，从而推出$∠3=∠1$；再根据邻补角的和为$180°$，计算出∠4的度数。
(2) 观察(1)中∠1与∠3相等、∠1与∠4互补的关系，总结出两个角两边分别平行时的规律。
(3) 设较小角为$x$，另一个角为$2x$，根据(2)的结论，分两角相等或互补两种情况讨论，排除不符合实际的情况后，列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”，得$∠1=∠2=115°$。
又因为$EF// MN$，同理得$∠2=∠3=115°$。
因为$∠3$与$∠4$是邻补角，所以$∠3+∠4=180°$，则$∠4=180°-∠3=180°-115°=65°$。
(2) 由(1)中$∠1=∠3$，$∠1+∠4=180°$，可得出规律：如果一个角的两边分别和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。
(3) 设其中一个角的度数为$x$，则另一个角的度数为$2x$。
根据(2)的结论分情况讨论：
① 若两角相等，则$x=2x$，解得$x=0°$，不符合角度的实际意义，舍去；
② 若两角互补，则$x+2x=180°$，解得$x=60°$，则$2x=120°$。
因此这两个角的度数分别为$60°$和$120°$。
【答案】
(1)$∠3=115^{\circ },∠4=65^{\circ };$
(2)相等或互补;
(3)两个角的度数分别为$60^{\circ }$和$120^{\circ }$。
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、邻补角的定义以及方程思想的应用，需要先通过平行线性质推导角度关系，总结规律后再利用规律解决角度计算问题，注重逻辑推理与知识的综合运用。
【难度系数】
0.6

11. 科学实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等。
如图①,一束平行光线$AB$与$DE$射向一个水平镜面后被反射,此时有$∠ ABP=∠ CBE$,$∠ DEB=∠ FEQ$。
如图②,一束光线$m$射到平面镜$AP$上,被平面镜$AP$反射到平面镜$AQ$上,又被$AQ$镜反射,若平面镜$AQ$反射出的光线$n$平行于光线$m$。

(1)当$∠ 1=40°$时,求$∠ 2$的度数;
(2)求$∠ 3$的度数。
自我反思
存在的问题:

改进的措施:

11.解:(1)如图,因为$∠1=40^{\circ }$,则$∠4=∠1=40^{\circ },$
所以$∠6=180^{\circ }-40^{\circ }-40^{\circ }=100^{\circ }$。
因为$m// n,$
所以$∠2+∠6=180^{\circ },$
所以$∠2=80^{\circ };$
(2)如图,过点A作$AB// m,$
则$AB// n$。
因为$m// n,$
所以$∠2+∠6=180^{\circ }$。
依题意,得$∠4=∠1,∠5=$
$∠7,$
所以$∠1+∠4+∠5+∠7=$
$360^{\circ }-180^{\circ }=180^{\circ },$

第11题图
参考答案
所以$∠1+∠7=90^{\circ }$。
因为$AB// m,AB// n,$
所以$∠1=∠PAB,∠7=∠BAQ,$
所以$∠PAQ=∠PAB+∠QAB=90^{\circ }$。

【分析】
(1) 对于第一问，首先根据平面镜反射规律（入射角等于反射角）得到$∠4=∠1$，先计算出$∠6$的度数，再利用平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，结合$∠2$与$∠6$的互补关系，即可求出$∠2$的度数。
(2) 对于第二问，通过过点A作辅助线$AB// m$（结合$m// n$可得$AB// n$），利用反射规律得到角的等量关系，再根据平角、周角的性质推导出$∠1$与$∠7$的和，最后借助平行线的性质将角转化，从而求出$∠3$的度数。
【解析】
(1) 如图，已知$∠1=40°$，根据平面镜反射规律，入射角等于反射角，可得$∠4=∠1=40°$。
根据平角的定义，$∠6=180°-∠1-∠4=180°-40°-40°=100°$。
因为$m// n$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以$∠2+∠6=180°$，
则$∠2=180°-∠6=180°-100°=80°$。
(2) 如图，过点A作$AB// m$，
因为$m// n$，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”，所以$AB// n$。
由$m// n$，得$∠2+∠6=180°$。
根据平面镜反射规律，$∠4=∠1$，$∠5=∠7$，
所以$∠1+∠4+∠5+∠7=360°-(∠2+∠6)=360°-180°=180°$，
即$2∠1+2∠7=180°$，化简得$∠1+∠7=90°$。
因为$AB// m$，$AB// n$，根据“两直线平行，内错角相等”，
所以$∠1=∠PAB$，$∠7=∠BAQ$，
因此$∠3=∠PAB+∠BAQ=∠1+∠7=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠2=80°}$；
(2) $\boldsymbol{∠3=90°}$。

【知识点】
平行线的性质，平面镜反射规律，角度计算
【点评】
本题结合平面镜反射规律与平行线的性质，考查几何角度的推理与计算能力。解题关键是熟练运用反射规律得到角的等量关系，借助平行线性质或辅助线转化角的关系，理清角之间的和差、互补等数量关系，从而完成计算。
【难度系数】
0.6