登录
3.如图，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，则点O是$△ ABC$的(
A.三条高线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三角形三个内角的角平分线的交点
B
)。A.三条高线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三角形三个内角的角平分线的交点
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先抓住题干关键信息：$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，首先回忆三角形外接圆圆心（外心）的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。再结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可推导出外心的位置。最后辨析三角形各特殊交点的定义，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
三角形的外接圆圆心叫做三角形的外心，外心到$△ ABC$三个顶点A、B、C的距离相等，即$OA=OB=OC$。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点O在AB、BC、AC三条边的垂直平分线上，因此点O是$△ ABC$三条边的垂直平分线的交点。
其余选项辨析：A选项三条高线的交点是三角形的垂心；C选项三条中线的交点是三角形的重心；D选项三个内角角平分线的交点是三角形的内心（内切圆的圆心），均不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心，线段垂直平分线判定，三角形特殊交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的定义和性质，熟记外心、内心、重心、垂心对应的交点特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先抓住题干关键信息：$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，首先回忆三角形外接圆圆心（外心）的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等。再结合线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可推导出外心的位置。最后辨析三角形各特殊交点的定义，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
三角形的外接圆圆心叫做三角形的外心，外心到$△ ABC$三个顶点A、B、C的距离相等，即$OA=OB=OC$。
根据线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点O在AB、BC、AC三条边的垂直平分线上，因此点O是$△ ABC$三条边的垂直平分线的交点。
其余选项辨析：A选项三条高线的交点是三角形的垂心；C选项三条中线的交点是三角形的重心；D选项三个内角角平分线的交点是三角形的内心（内切圆的圆心），均不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外心，线段垂直平分线判定，三角形特殊交点
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊交点的定义和性质，熟记外心、内心、重心、垂心对应的交点特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.下面四个命题中是真命题的是(
A.经过三点一定可以作圆
B.面积相等的三角形的外接圆是等圆
C.任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
D
)。A.经过三点一定可以作圆
B.面积相等的三角形的外接圆是等圆
C.任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查与圆相关的命题真假判断，解题时需结合对应基础知识点逐个分析选项：首先回忆确定圆的条件、三角形外接圆的性质、圆的内接三角形定义、三角形外心的性质，逐一排查错误选项，最终选出真命题即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：只有经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，因此该命题是假命题；
选项B：三角形外接圆的半径由三角形的边长、内角决定，面积相等的三角形形状、边长不一定相同，外接圆半径不一定相等，而等圆要求半径相等，因此面积相等的三角形的外接圆不一定是等圆，该命题是假命题；
选项C：只要三角形的三个顶点都在圆上，就是该圆的内接三角形，因此任意一个圆有无数个内接三角形，该命题是假命题；
选项D：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题是真命题。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆相关基础定义、性质的掌握情况，准确区分易混淆的概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查与圆相关的命题真假判断，解题时需结合对应基础知识点逐个分析选项：首先回忆确定圆的条件、三角形外接圆的性质、圆的内接三角形定义、三角形外心的性质，逐一排查错误选项，最终选出真命题即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：只有经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法作圆，因此该命题是假命题；
选项B：三角形外接圆的半径由三角形的边长、内角决定，面积相等的三角形形状、边长不一定相同，外接圆半径不一定相等，而等圆要求半径相等，因此面积相等的三角形的外接圆不一定是等圆，该命题是假命题；
选项C：只要三角形的三个顶点都在圆上，就是该圆的内接三角形，因此任意一个圆有无数个内接三角形，该命题是假命题；
选项D：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题是真命题。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对圆相关基础定义、性质的掌握情况，准确区分易混淆的概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1.小亮不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示。若想从三块碎片中选取一块，配出与原来一样大小的圆形镜片，则应选择(
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
)。A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
1.A
解析
【分析】
要配出与原来大小相同的圆形镜片，核心是确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质：不在同一条直线上的三个点可以唯一确定一个圆，因此所选碎片需要保留原圆周的一段完整弧，才能通过弧上的三个点确定圆心和半径。观察三块碎片：①保留了原圆的一段完整圆弧，满足确定圆的条件；②和③没有足够长的原圆周弧，无法找到三个原圆周上的不共线点，不能确定原圆。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。我们可以在圆弧上任意取三个不共线的点，作过任意两点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，圆心到弧上点的距离就是半径，即可还原原圆。
对三块碎片逐一分析：
1. 碎片①包含原圆形镜子的一段完整圆周弧，能够找到三个位于原圆周上的不共线的点，可以确定原圆的圆心和半径，符合要求；
2. 碎片②、③均未保留足够长度的原圆周弧，无法找到三个在原圆周上的不共线点，不能确定原圆的大小，不符合要求。
因此应选择碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关性质的应用，解题的关键是理解只有保留足够长的原圆弧的碎片才能还原原圆，体现了数学知识在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
要配出与原来大小相同的圆形镜片，核心是确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质：不在同一条直线上的三个点可以唯一确定一个圆，因此所选碎片需要保留原圆周的一段完整弧，才能通过弧上的三个点确定圆心和半径。观察三块碎片：①保留了原圆的一段完整圆弧，满足确定圆的条件；②和③没有足够长的原圆周弧，无法找到三个原圆周上的不共线点，不能确定原圆。
【解析】
根据圆的确定定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。我们可以在圆弧上任意取三个不共线的点，作过任意两点的弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，圆心到弧上点的距离就是半径，即可还原原圆。
对三块碎片逐一分析：
1. 碎片①包含原圆形镜子的一段完整圆周弧，能够找到三个位于原圆周上的不共线的点，可以确定原圆的圆心和半径，符合要求；
2. 碎片②、③均未保留足够长度的原圆周弧，无法找到三个在原圆周上的不共线点，不能确定原圆的大小，不符合要求。
因此应选择碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关性质的应用，解题的关键是理解只有保留足够长的原圆弧的碎片才能还原原圆，体现了数学知识在实际生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
2.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形的三个顶点距离相等的点的是（
C
）。答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心结论：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点。接下来我们需要结合尺规作图的特征判断各选项：线段垂直平分线的尺规作图特征是，以待作垂直平分线的边的两个端点为圆心画弧，弧的交点在边的两侧；而角平分线的作图是以角的顶点为圆心画弧，其交点是内心，仅到三边距离相等，不符合要求。逐一筛选选项即可找到正确答案。
【解析】
1. 性质回顾：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。
2. 逐一分析选项：
选项A、B的作图痕迹是以三角形内角顶点为圆心画弧，属于角平分线的作图特征，角平分线交点是内心，仅到三角形三边距离相等，不符合题意；
选项D的作图痕迹不完整，无法得到两条垂直平分线的有效交点，不符合题意；
选项C的作图痕迹分别对应三角形左侧边、底边的垂直平分线的画弧痕迹，两条垂直平分线的交点就是到三角形三个顶点距离相等的点，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质、线段垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查三角形外心的相关性质，解题关键是区分角平分线、垂直平分线的作图特征，牢记外心、内心的性质差异，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确核心结论：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，即三角形三边垂直平分线的交点。接下来我们需要结合尺规作图的特征判断各选项：线段垂直平分线的尺规作图特征是，以待作垂直平分线的边的两个端点为圆心画弧，弧的交点在边的两侧；而角平分线的作图是以角的顶点为圆心画弧，其交点是内心，仅到三边距离相等，不符合要求。逐一筛选选项即可找到正确答案。
【解析】
1. 性质回顾：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点（外心）。
2. 逐一分析选项：
选项A、B的作图痕迹是以三角形内角顶点为圆心画弧，属于角平分线的作图特征，角平分线交点是内心，仅到三角形三边距离相等，不符合题意；
选项D的作图痕迹不完整，无法得到两条垂直平分线的有效交点，不符合题意；
选项C的作图痕迹分别对应三角形左侧边、底边的垂直平分线的画弧痕迹，两条垂直平分线的交点就是到三角形三个顶点距离相等的点，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的性质、线段垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图痕迹考查三角形外心的相关性质，解题关键是区分角平分线、垂直平分线的作图特征，牢记外心、内心的性质差异，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3. 下列条件中，不能确定一个圆的是（
A.圆心与半径
B.直径
C.平面上的三个已知点
D.三角形的三个顶点
C
）。A.圆心与半径
B.直径
C.平面上的三个已知点
D.三角形的三个顶点
答案
3.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确确定一个圆的核心要素是圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），只要能从选项条件中推导出唯一的圆心和半径，就能确定一个圆，据此逐个分析选项即可。首先回忆相关结论：不共线的三个点可以唯一确定一个圆，共线的三个点无法确定圆，三角形的三个顶点一定不共线。
【解析】
确定一个圆需要同时确定圆心和半径，逐一分析选项：
A. 直接给出圆心和半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 直径的中点为圆心，直径长度的一半为半径，给定直径即可确定唯一的圆心和半径，能确定一个圆，不符合题意；
C. 只有当平面上的三个已知点不共线时，才能确定一个圆；若三个点共线，不存在同时过这三个点的圆，因此平面上的三个已知点不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不共线，可唯一确定三角形的外接圆，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件，三点共线性质，三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易忽略三个点共线的特殊情况，牢记“只有不共线的三个点才能唯一确定一个圆”的结论即可快速判断。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确确定一个圆的核心要素是圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），只要能从选项条件中推导出唯一的圆心和半径，就能确定一个圆，据此逐个分析选项即可。首先回忆相关结论：不共线的三个点可以唯一确定一个圆，共线的三个点无法确定圆，三角形的三个顶点一定不共线。
【解析】
确定一个圆需要同时确定圆心和半径，逐一分析选项：
A. 直接给出圆心和半径，可唯一确定一个圆，不符合题意；
B. 直径的中点为圆心，直径长度的一半为半径，给定直径即可确定唯一的圆心和半径，能确定一个圆，不符合题意；
C. 只有当平面上的三个已知点不共线时，才能确定一个圆；若三个点共线，不存在同时过这三个点的圆，因此平面上的三个已知点不能确定一个圆，符合题意；
D. 三角形的三个顶点一定不共线，可唯一确定三角形的外接圆，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件，三点共线性质，三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对确定圆的条件的理解，易错点是容易忽略三个点共线的特殊情况，牢记“只有不共线的三个点才能唯一确定一个圆”的结论即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.如图,锐角三角形ABC中,O为AB中点。甲、乙二人想在AC上找一点P,使得△ABP的外心为点O,其作法分别如下。对于甲、乙二人的作法,下列判断正确的是(
A.两人都正确
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
A
)。A.两人都正确
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
答案
4.A
解析
【分析】
首先明确三角形外心的核心性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，且直角三角形的外心恰好是斜边的中点。要使△ABP的外心为AB的中点O，只需满足OA=OB=OP即可。接下来分别验证两人的作法：①甲作BP⊥AC，可得∠APB=90°，△ABP为直角三角形，斜边AB的中点O自然满足OA=OB=OP，符合要求；②乙以O为圆心、OA为半径画弧得点P，直接保证了OP=OA=OB，也满足外心的条件。
【解析】
解：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，直角三角形的外心为斜边的中点。
验证甲的作法：
由作图可知BP⊥AC，因此∠APB=90°，△ABP是直角三角形。
已知O是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OA=OB=OP，因此O是△ABP的外心，甲的作法正确。
验证乙的作法：
由作图可知OP=OA=OB，即O到△ABP的三个顶点A、B、P的距离相等，因此O是△ABP的外心，乙的作法正确。
综上两人的作法都正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，直角三角形的性质，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形外心的判定，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的性质，以及直角三角形外心的特殊位置，难度不大，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形外心的核心性质：外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，且直角三角形的外心恰好是斜边的中点。要使△ABP的外心为AB的中点O，只需满足OA=OB=OP即可。接下来分别验证两人的作法：①甲作BP⊥AC，可得∠APB=90°，△ABP为直角三角形，斜边AB的中点O自然满足OA=OB=OP，符合要求；②乙以O为圆心、OA为半径画弧得点P，直接保证了OP=OA=OB，也满足外心的条件。
【解析】
解：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，直角三角形的外心为斜边的中点。
验证甲的作法：
由作图可知BP⊥AC，因此∠APB=90°，△ABP是直角三角形。
已知O是AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得OA=OB=OP，因此O是△ABP的外心，甲的作法正确。
验证乙的作法：
由作图可知OP=OA=OB，即O到△ABP的三个顶点A、B、P的距离相等，因此O是△ABP的外心，乙的作法正确。
综上两人的作法都正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，直角三角形的性质，尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形外心的判定，解题关键是牢记外心到三角形三个顶点距离相等的性质，以及直角三角形外心的特殊位置，难度不大，侧重对基础概念的理解应用。
【难度系数】
0.7
5.若直角三角形两边长为分别为6,8,则此三角形的外接圆的半径是
4或5
。答案
5.4或5
解析
【分析】
首先回忆直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半。题目仅给出直角三角形的两边长为6和8，未明确说明这两条边是直角边还是其中一条为斜边，因此需要分两种情况讨论求解，避免漏解。第一种情况：长为8的边是斜边，直接计算半径；第二种情况：6和8均为直角边，先用勾股定理求出斜边，再计算半径。
【解析】
直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}×\mathrm{斜边长}$，分两种情况讨论：
1. 当长为8的边是斜边时：
外接圆半径$R=\frac{8}{2}=4$
2. 当长为6和8的边均为直角边时：
根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
此时外接圆半径$R=\frac{10}{2}=5$
综上，此三角形的外接圆半径是4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质 2. 勾股定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题目的不确定性，默认6和8均为直角边，仅得到半径为5这一个结果，解题时遇到未明确边的类型的几何题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先回忆直角三角形外接圆的性质：直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径为斜边长的一半。题目仅给出直角三角形的两边长为6和8，未明确说明这两条边是直角边还是其中一条为斜边，因此需要分两种情况讨论求解，避免漏解。第一种情况：长为8的边是斜边，直接计算半径；第二种情况：6和8均为直角边，先用勾股定理求出斜边，再计算半径。
【解析】
直角三角形的外接圆圆心为斜边的中点，因此外接圆半径$R=\frac{1}{2}×\mathrm{斜边长}$，分两种情况讨论：
1. 当长为8的边是斜边时：
外接圆半径$R=\frac{8}{2}=4$
2. 当长为6和8的边均为直角边时：
根据勾股定理，斜边长$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$
此时外接圆半径$R=\frac{10}{2}=5$
综上，此三角形的外接圆半径是4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
1. 直角三角形外接圆性质 2. 勾股定理 3. 分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略题目的不确定性，默认6和8均为直角边，仅得到半径为5这一个结果，解题时遇到未明确边的类型的几何题，要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
