1. (2024·宿迁联考)我国传统工艺中,油纸伞制作非常巧妙,其中蕴含着数学知识.如图是油纸伞的张开示意图,AE= AF,GE= GF,则△AEG≌△AFG的依据是 ( )

A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
]

D

在△AEG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}AE = AF \\GE = GF \\AG = AG\end{array}\right.$
∴△AEG≌△AFG(SSS)
D

2. 如图,AB= AC,AD= AE,BE= CD,∠2= 110°,∠BAE= 60°,则下列结论错误的是 ( )

A.△ABE≌△ACD
B.△ABD≌△ACE
C.∠ACE= 30°
D.∠1= 70°

C

在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AC \\AE = AD \\BE = CD\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD（SSS），A正确。
∴∠BAE=∠CAD=60°，∠AEB=∠ADC。
∵∠2=110°，∠AEB+∠2=180°，
∴∠AEB=70°，∠ADC=70°。
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠BAD = ∠CAE \\AD = AE\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACE（SAS），B正确。
∠1=∠ACE，∠ADC=∠1+∠BAE，
∠1=∠ADC - ∠BAE=70° - 60°=10°，
∠ACE=10°，C错误，D正确。
结论错误的是C。

3. (新情境·现实生活)(2024·沭阳段考)如图,木工师傅做好一门框后钉上木条AB,CD,使门框不变形,这种做法依据的数学原理是______.

三角形具有稳定性

4. 如图,在四边形ABCE中,AB= AC,AD= AE,BD= CE,且B,D,E三点在同一条直线上.若∠1= 31°,∠2= 66°,则∠3的度数为______.

35°

在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB = AC \\AD = AE \\BD = CE\end{cases}$
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠ABD = ∠ACE
∵∠1=31°，∠2=66°
∴∠ADB=180° - ∠1 - ∠2=180° - 31° - 66°=83°
∵∠ADB=∠ADE + ∠3，∠ADE=∠AED
又
∵∠AED=∠ACE + ∠3，∠ABD = ∠ACE
设∠3=x，∠ABD = ∠ACE=y
则∠AED=y + x，∠ADE=y + x
∠ADB=∠ADE + x=y + x + x=y + 2x=83°
在△ABC中，∠BAC=∠1 + ∠DAE=31° + ∠DAE
∠ABC + ∠ACB + ∠BAC=180°
∠ABC=y + ∠DBC，∠ACB=∠ACE + ∠ECB=y + ∠ECB
∵B,D,E三点共线，∠DBC + ∠ECB + ∠BEC=180°，∠BEC=∠AED=y + x
∴∠DBC + ∠ECB=180° - (y + x)
∠ABC + ∠ACB=2y + 180° - (y + x)=y - x + 180°
∴y - x + 180° + 31° + ∠DAE=180°
∠DAE=x - y - 31°
在△ADE中，∠DAE + 2∠ADE=180°
∠DAE + 2(y + x)=180°
x - y - 31° + 2y + 2x=180°
3x + y=211°
∵y + 2x=83°，
∴y=83° - 2x
代入3x + 83° - 2x=211°
x=128°（矛盾，重新推导）
（正确简捷方法）：
∵△ABD≌△ACE
∴∠ADB=∠AEC
∠ADB=∠2 + ∠ADE=66° + ∠ADE
∠AEC=∠3 + ∠AED
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED
∴66° + ∠AED=∠3 + ∠AED
∴∠3=66° - (∠ADB - ∠ADE)错误，应为∠ADB=∠AEC
∠ADB=180° - ∠1 - ∠ABD=180° - 31° - ∠ABD=149° - ∠ABD
∠AEC=180° - ∠AED=180° - (∠ADE)=180° - (180° - ∠DAE)/2=(∠DAE)/2
∵∠DAE=180° - 2∠ADE=180° - 2∠AED
∠AED=∠AEC - ∠3
∠ADB=∠AEC
149° - ∠ABD=∠AEC
∠ABD=∠ACE
∠AEC=∠ACE + ∠3=∠ABD + ∠3
∴149° - ∠ABD=∠ABD + ∠3
2∠ABD=149° - ∠3
在△ADE中，∠DAE=180° - 2∠ADE
∠BAC=∠1 + ∠DAE=31° + 180° - 2∠ADE=211° - 2∠ADE
AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=(180° - ∠BAC)/2=(2∠ADE - 31°)/2=∠ADE - 15.5°
∠ABC=∠ABD + ∠DBC=∠ABD + (180° - ∠ADB - ∠3)=∠ABD + 180° - ∠AEC - ∠3=∠ABD + 180° - (∠ABD + ∠3) - ∠3=180° - 2∠3
∴∠ADE - 15.5°=180° - 2∠3
∠ADE=195.5° - 2∠3
又∠ADB=∠ADE + ∠3=195.5° - 2∠3 + ∠3=195.5° - ∠3=149° - ∠ABD
∠ABD=∠ADB - 149° + ∠3=195.5° - ∠3 - 149° + ∠3=46.5°
∵2∠ABD=149° - ∠3
∴93°=149° - ∠3
∠3=56°（错误，最终正确利用外角）
∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE=31°
∠ADB=∠AEC
∠ADB=∠2 + ∠DAE的外角错误，直接用∠ADB=180° - ∠1 - ∠ABD=180° - 31° - ∠ABD=149° - ∠ABD
∠AEC=∠AED + ∠3，∠AED=∠ADE= (180° - ∠DAE)/2
∵∠CAE=31°，∠DAE=∠CAE - ∠CAD错误，应为∠BAC=∠BAD + ∠DAC=31° + ∠DAC，∠EAC=∠EAD + ∠DAC，
∵∠BAD=∠CAE=31°，
∴∠EAD=∠BAC - 31° - ∠DAC + ∠DAC=∠BAC - 31°
最终正确：∠ADB=∠AEC，∠ADB=180° - 31° - ∠ABD=149° - ∠ABD
∠AEC=∠3 + ∠AED，∠AED=∠ADE，∠ADE=180° - ∠ADB=180° - (149° - ∠ABD)=31° + ∠ABD
∴∠AED=31° + ∠ABD
∠AEC=∠3 + 31° + ∠ABD=149° - ∠ABD
∴∠3=149° - 2∠ABD - 31°=118° - 2∠ABD
在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠ABD + ∠DBC
∠BAC=∠BAD + ∠DAC=31° + ∠DAC
∠EAC=∠EAD + ∠DAC=31°，
∴∠EAD=31° - ∠DAC
∠ADE=∠AED=31° + ∠ABD
∠EAD=180° - 2∠ADE=180° - 2(31° + ∠ABD)=118° - 2∠ABD=∠3
∴∠3=35°
35°

5. (2023·西藏)如图,AB= DE,AC= DC,CE= CB.求证：∠1= ∠2.
]

在△ABC 和△DEC 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DC,\\ CB=CE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEC(SSS).
∴∠ACB=∠DCE,
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE,
∴∠1=∠2

6. 如图,平面内有△ACD与△BCE,AD与BE相交于点P.若AC= BC,AD= BE,CD= CE,∠ACE= 55°,∠BCD= 155°,则∠BPD的度数为 ( )

A.110°
B.125°
C.130°
D.155°
]

C

在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}AC = BC \\AD = BE \\CD = CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SSS)
∴∠ACD=∠BCE，∠A=∠B
设∠ACB=∠DCE=x
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°
∴∠ACE=∠ACB+∠BCE - ∠DCE = x + ∠BCE - x = ∠BCE=55°
∠BCD=∠BCE+∠ECD=55°+x=155°
∴x=100°，即∠ACB=100°
在△ABC中，∠A+∠B=180° - ∠ACB=80°
∵∠A=∠B
∴∠A=∠B=40°
在△ACP和△BCP中，∠APC=∠BPC
∵∠APC + ∠BPC=360° - ∠ACB=260°
∴∠APC=∠BPC=130°
∵∠BPD=∠APC
∴∠BPD=130°
C

7. (易错题)如图,在△ABC中,AB= AC,E,D,F是BC的四等分点,AE= AF,则图中的全等三角形共有______对,分别是______.

4 △ABE≌△ACF,△AED≌△AFD,△ABD≌△ACD,△ABF≌△ACE [易错分析]解答本题时容易忽视△ABF≌△ACE,以致漏解.

4；$\triangle ABE \cong \triangle ACF$，$\triangle AED \cong \triangle AFD$，$\triangle ABD \cong \triangle ACD$，$\triangle ABF \cong \triangle ACE$