知识梳理
1. 定理：的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“”.
2. 之前学过的四种方法同样适用于证明两个直角三角形全等.

1. 斜边和一条直角边分别相等 HL
2. SAS,ASA,AAS,SSS

例题 数学兴趣小组在完成一道数学题:如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AD=BC.求证:BD=AC.

(例题图)
小丽说:“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等,从而得到BD=AC.”
小贾说:“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等,从而得到BD=AC.”
小雨说:“我可以根据三角形的面积相等来证明BD=AC.”
你认为他们的办法可行吗?并试着证明.
答案:都可行.
小丽:∵ AC⊥BC,BD⊥AD,
∴ ∠D=∠C=90°.
在△AOD和△BOC中,
$\{\begin{array}{l}∠D=∠C, \\∠AOD=∠BOC, \\AD=BC,\end{array} $
∴ △AOD≌△BOC(AAS).
∴ AO=BO,DO=CO.
∴ AO+CO=BO+DO,即BD=AC.
小贾:如图,连结AB.
∵ AC⊥BC,BD⊥AD,
∴ ∠D=∠C=90°.
在Rt△ABD和Rt△BAC中,
$\{\begin{array}{l}AD=BC, \\AB=BA,\end{array} $
∴ Rt△ABD≌Rt△BAC(HL).
∴ BD=AC.

小雨:如图,连结AB,由证法1知△AOD≌△BOC,
∴ $S_{△ AOD}=S_{△ BOC}$.
∴ $S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$,
即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$.
又∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD,S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC$,
∴ $\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC$.
∵ AD=BC,
∴ BD=AC.
【解析】小丽的证法,可以先得到∠D=∠C=90°,再用AAS证明△AOD≌△BOC,最后根据全等三角形的性质可得BD=AC;小贾的证法,连结AB构造直角三角形,然后根据HL证明Rt△ABD≌Rt△BAC即可;小雨的证法,连结AB构造Rt△ABD与Rt△BAC,根据△AOD≌△BOC,可得$S_{△ AOD}=S_{△ BOC}$,再结合三角形面积计算方法证明即可.
方法点拨 要会根据题目所给条件灵活运用各种证明三角形全等的方法来证明线段相等或角相等.看到直角想到直角三角形,进而可以直接利用现有直角三角形或构造直角三角形来达到解题目的.通过此题小雨的证法可以积累利用面积相等来证明线段相等的巧妙经验.

解：三人的办法都可行，证明如下：
证法1（小丽的AAS证法）
∵ $AC⊥ BC$，$BD⊥ AD$，
∴ $∠ D=∠ C=90°$。
在$△ AOD$和$△ BOC$中，
$\begin{cases}∠ D=∠ C, \\∠ AOD=∠ BOC, \\AD=BC,\end{cases}$
∴ $△ AOD≌△ BOC(\mathrm{AAS})$。
∴ $AO=BO$，$DO=CO$。
∴ $AO+CO=BO+DO$，即 $BD=AC$。
---
证法2（小贾的HL证法）
连结$AB$。
∵ $AC⊥ BC$，$BD⊥ AD$，
∴ $∠ D=∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中，
$\begin{cases}AD=BC, \\AB=BA,\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$。
∴ $BD=AC$。
---
证法3（小雨的面积法）
连结$AB$，由证法1得$△ AOD≌△ BOC$，
∴ $S_{△ AOD}=S_{△ BOC}$。
∴ $S_{△ AOD}+S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOB}$，
即 $S_{△ ABD}=S_{△ ABC}$。
又∵ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AD· BD$，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AC$，
∴ $\frac{1}{2}AD· BD=\frac{1}{2}BC· AC$。
∵ $AD=BC$，
∴ $BD=AC$。