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1. ★★★（2024·镇江中考）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（
A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
D
）A.4.5米
B.4米
C.3.5米
D.2.5米
答案
1. D
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质分析影长的变化规律。首先明确灯杆和人均垂直于地面，结合公共角可证得人影、人身高组成的小三角形与影子端点到灯杆底部距离、灯杆高度组成的大三角形相似。我们先通过C点的影长得到固定的相似比，再分析人向B点移动时影长的变化，即可确定影长的取值范围，选出正确答案。
【解析】
设小杰的身高为$h$，灯杆$AB$的高度为$H$，$BC=a$。
当小杰在点$C$处时：
∵$CE⊥ DB$，$AB⊥ DB$，
∴$∠ DCE=∠ B=90°$，
又
∵$∠ D=∠ D$，
∴$△ DCE ∽ △ DBA$，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{h}{H}=\frac{3}{3+a}$。
当小杰原路返回向$B$移动时，人距离$B$点的距离$x＜a$，设此时影长为$y$，同理可得此时对应三角形仍相似，相似比不变：
$\frac{h}{H}=\frac{y}{y+x}$，
联立得$\frac{3}{3+a}=\frac{y}{y+x}$，化简得$y=\frac{3x}{a}$。
∵$x＜a$，
∴$y＜3$，即返回过程中小杰的影长小于3米，只有2.5米符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，既可以通过严谨的相似推导得到影长范围，也可结合“越靠近路灯影子越短”的生活常识快速判断，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题属于中心投影的实际应用问题，解题核心是利用相似三角形的性质分析影长的变化规律。首先明确灯杆和人均垂直于地面，结合公共角可证得人影、人身高组成的小三角形与影子端点到灯杆底部距离、灯杆高度组成的大三角形相似。我们先通过C点的影长得到固定的相似比，再分析人向B点移动时影长的变化，即可确定影长的取值范围，选出正确答案。
【解析】
设小杰的身高为$h$，灯杆$AB$的高度为$H$，$BC=a$。
当小杰在点$C$处时：
∵$CE⊥ DB$，$AB⊥ DB$，
∴$∠ DCE=∠ B=90°$，
又
∵$∠ D=∠ D$，
∴$△ DCE ∽ △ DBA$，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{CD}{BD}$，即$\frac{h}{H}=\frac{3}{3+a}$。
当小杰原路返回向$B$移动时，人距离$B$点的距离$x＜a$，设此时影长为$y$，同理可得此时对应三角形仍相似，相似比不变：
$\frac{h}{H}=\frac{y}{y+x}$，
联立得$\frac{3}{3+a}=\frac{y}{y+x}$，化简得$y=\frac{3x}{a}$。
∵$x＜a$，
∴$y＜3$，即返回过程中小杰的影长小于3米，只有2.5米符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的应用、中心投影
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似三角形的实际应用，既可以通过严谨的相似推导得到影长范围，也可结合“越靠近路灯影子越短”的生活常识快速判断，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
2. |跨学科融合（2025·漳州期中）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴MN平行的光线AC经折射后过焦点F，通过光心O的光线AO，经凸透镜折射后传播方向不变，即$A'$在$AO$的延长线上，一根长12 cm的蜡烛$AB$放在三倍焦距处，即$OB=3OF$，则经过凸透镜成像得到的$A'B'$的长为（
A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
B
）A.7 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.4 cm
答案
2. B
解析
【分析】
本题可通过相似三角形的性质求解像的长度。首先观察图形可知AB、A'B'、CO都垂直于主光轴MN，因此AB//A'B'、CO//A'B'，可得到两组相似三角形：△ABO∽△A'B'O、△COF∽△A'B'F。我们可以先设焦距OF为f，得到物距OB=3f，再结合两组相似三角形的比例关系，消去未知量后即可求出A'B'的长度。
【解析】
解：设凸透镜的焦距$OF=f$，由题意得物距$OB=3OF=3f$。
∵ $AB⊥ MN$，$A'B'⊥ MN$，
∴ $∠ ABO=∠ A'B'O=90°$，
又
∵ $∠ AOB=∠ A'OB'$（对顶角相等），
∴ $△ ABO ∽ △ A'B'O$，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{OB}{OB'}$，代入$AB=12\mathrm{cm}$，$OB=3f$得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{3f}{OB'}$，整理得$OB'=\frac{f· A'B'}{4}$ ①。
∵ 光线$AC// MN$，$AB⊥ MN$，$CO⊥ MN$，
∴ 四边形$ACOB$是矩形，得$CO=AB=12\mathrm{cm}$。
∵ $CO⊥ MN$，$A'B'⊥ MN$，
∴ $CO// A'B'$，
∴ $∠ COF=∠ A'B'F=90°$，
又
∵ $∠ CFO=∠ A'FB'$（公共角），
∴ $△ COF ∽ △ A'B'F$，
∴ $\frac{CO}{A'B'}=\frac{OF}{FB'}$，其中$FB'=OB'-OF=OB'-f$，代入得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{f}{OB'-f}$ ②。
将①代入②，约去$f$得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{f}{\frac{f· A'B'}{4}-f}=\frac{1}{\frac{A'B'}{4}-1}$
交叉相乘得：$12(\frac{A'B'}{4}-1)=A'B'$
化简：$3A'B'-12=A'B'$
解得$A'B'=6\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是跨学科融合题型，将凸透镜成像规律和相似三角形知识结合，解题的关键是从光路图中找到对应相似三角形，利用比例关系建立等式求解，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过相似三角形的性质求解像的长度。首先观察图形可知AB、A'B'、CO都垂直于主光轴MN，因此AB//A'B'、CO//A'B'，可得到两组相似三角形：△ABO∽△A'B'O、△COF∽△A'B'F。我们可以先设焦距OF为f，得到物距OB=3f，再结合两组相似三角形的比例关系，消去未知量后即可求出A'B'的长度。
【解析】
解：设凸透镜的焦距$OF=f$，由题意得物距$OB=3OF=3f$。
∵ $AB⊥ MN$，$A'B'⊥ MN$，
∴ $∠ ABO=∠ A'B'O=90°$，
又
∵ $∠ AOB=∠ A'OB'$（对顶角相等），
∴ $△ ABO ∽ △ A'B'O$，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{OB}{OB'}$，代入$AB=12\mathrm{cm}$，$OB=3f$得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{3f}{OB'}$，整理得$OB'=\frac{f· A'B'}{4}$ ①。
∵ 光线$AC// MN$，$AB⊥ MN$，$CO⊥ MN$，
∴ 四边形$ACOB$是矩形，得$CO=AB=12\mathrm{cm}$。
∵ $CO⊥ MN$，$A'B'⊥ MN$，
∴ $CO// A'B'$，
∴ $∠ COF=∠ A'B'F=90°$，
又
∵ $∠ CFO=∠ A'FB'$（公共角），
∴ $△ COF ∽ △ A'B'F$，
∴ $\frac{CO}{A'B'}=\frac{OF}{FB'}$，其中$FB'=OB'-OF=OB'-f$，代入得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{f}{OB'-f}$ ②。
将①代入②，约去$f$得：
$\frac{12}{A'B'}=\frac{f}{\frac{f· A'B'}{4}-f}=\frac{1}{\frac{A'B'}{4}-1}$
交叉相乘得：$12(\frac{A'B'}{4}-1)=A'B'$
化简：$3A'B'-12=A'B'$
解得$A'B'=6\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质
【点评】
本题是跨学科融合题型，将凸透镜成像规律和相似三角形知识结合，解题的关键是从光路图中找到对应相似三角形，利用比例关系建立等式求解，能很好地考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
3. |数学文化 如图①是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：如图②，今有井直径CD为5尺，不知其深AD，立5尺长的木CE于井上，从木的末梢E点观察井水水面A处，测得“入径CF”为4寸，问井深AD是多少？（其中1尺=10寸）根据译文信息，则井深AD为（
A.500寸
B.525寸
C.50寸
D.575寸
D
）A.500寸
B.525寸
C.50寸
D.575寸
答案
3. D
解析
【分析】
本题是相似三角形的实际测量应用题，首先观察图形特征：竖直的木CE与井深AD均垂直于水平的井沿DC，可得CE//AD，结合对顶角相等可判定△ECF与△ADF相似；接下来先统一单位（将尺换算为寸），再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求解井深AD。
【解析】
先统一单位：
∵1尺=10寸，
∴CD=5尺=50寸，CE=5尺=50寸。
∵CE⊥DC，AD⊥DC，
∴∠ECF=∠ADF=90°，
又
∵∠EFC=∠AFD（对顶角相等），
∴△ECF∽△ADF（AA判定）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CE}{AD}=\frac{CF}{DF}$，
其中DF=CD - CF=50寸 - 4寸=46寸，代入CE=50寸，CF=4寸，
得：$\frac{50}{AD}=\frac{4}{46}$，
解得：$AD=\frac{50×46}{4}=575$寸。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，既考查了相似三角形的实际应用，也体现了数学的实用性。解题的关键是准确识别相似三角形，注意先统一单位再代入计算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形的实际测量应用题，首先观察图形特征：竖直的木CE与井深AD均垂直于水平的井沿DC，可得CE//AD，结合对顶角相等可判定△ECF与△ADF相似；接下来先统一单位（将尺换算为寸），再利用相似三角形对应边成比例的性质列等式，即可求解井深AD。
【解析】
先统一单位：
∵1尺=10寸，
∴CD=5尺=50寸，CE=5尺=50寸。
∵CE⊥DC，AD⊥DC，
∴∠ECF=∠ADF=90°，
又
∵∠EFC=∠AFD（对顶角相等），
∴△ECF∽△ADF（AA判定）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{CE}{AD}=\frac{CF}{DF}$，
其中DF=CD - CF=50寸 - 4寸=46寸，代入CE=50寸，CF=4寸，
得：$\frac{50}{AD}=\frac{4}{46}$，
解得：$AD=\frac{50×46}{4}=575$寸。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；单位换算
【点评】
本题结合古代数学典籍的记载出题，既考查了相似三角形的实际应用，也体现了数学的实用性。解题的关键是准确识别相似三角形，注意先统一单位再代入计算，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
4. (2025·温州期末)一种燕尾夹如图①所示,图②是闭合状态的示意图,$AE=CF=3\ \mathrm{cm}$,$EF=2.5\ \mathrm{cm}$,$BE=DF=6\ \mathrm{cm}$,图③是打开状态的示意图,其中$AC=2\ \mathrm{cm}$,则打开状态下B,D两点之间的距离为 (
A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$4.5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$3.5\ \mathrm{cm}$
D
)A.$4\ \mathrm{cm}$
B.$4.5\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$3.5\ \mathrm{cm}$
答案
4. D
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先根据已知线段长度求出AE与AB的比值，再由AE:EB=CF:FD判断出AC、EF、BD互相平行，通过作辅助线构造相似三角形和平行四边形，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，最终计算得到BD的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AE=3\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，因此$AB=AE+BE=3+6=9\ \mathrm{cm}$，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，根据平行线分线段成比例的逆定理，可得$AC// EF// BD$。
过点A作$AH// CD$，分别交EF于点G，交BD于点H：
则四边形ACFG、ACDH均为平行四边形，因此$GF=AC=2\ \mathrm{cm}$，$HD=AC=2\ \mathrm{cm}$，
计算得$EG=EF-GF=2.5-2=0.5\ \mathrm{cm}$。
又因为$EF// BD$，所以$△ AEG ∽ △ ABH$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EG}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$EG=0.5\ \mathrm{cm}$代入，得$\frac{0.5}{BH}=\frac{1}{3}$，解得$BH=1.5\ \mathrm{cm}$。
因此$BD=BH+HD=1.5+2=3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中常见的燕尾夹设计问题，将几何知识和实际生活结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的核心是找到图中的相似关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际生活中的应用，解题思路如下：首先根据已知线段长度求出AE与AB的比值，再由AE:EB=CF:FD判断出AC、EF、BD互相平行，通过作辅助线构造相似三角形和平行四边形，利用相似三角形对应边成比例的性质求出相关线段长度，最终计算得到BD的长度。
【解析】
解：由题意可知，$AE=3\ \mathrm{cm}$，$BE=6\ \mathrm{cm}$，因此$AB=AE+BE=3+6=9\ \mathrm{cm}$，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
因为$\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，根据平行线分线段成比例的逆定理，可得$AC// EF// BD$。
过点A作$AH// CD$，分别交EF于点G，交BD于点H：
则四边形ACFG、ACDH均为平行四边形，因此$GF=AC=2\ \mathrm{cm}$，$HD=AC=2\ \mathrm{cm}$，
计算得$EG=EF-GF=2.5-2=0.5\ \mathrm{cm}$。
又因为$EF// BD$，所以$△ AEG ∽ △ ABH$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{EG}{BH}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，
将$EG=0.5\ \mathrm{cm}$代入，得$\frac{0.5}{BH}=\frac{1}{3}$，解得$BH=1.5\ \mathrm{cm}$。
因此$BD=BH+HD=1.5+2=3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中常见的燕尾夹设计问题，将几何知识和实际生活结合，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题的核心是找到图中的相似关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
5. |跨学科融合（2025·北京期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.设AB=36 cm，A'B'=24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为
20
cm.答案
5. 20
解析
【分析】
根据小孔成像的特点，蜡烛AB和像A'B'均竖直放置，可得AB//A'B'，由此可证△OAB与△OA'B'相似；再根据相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，设所求距离为未知数列比例式，即可求解。
【解析】
解：
∵AB、A'B'均竖直放置，
∴AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，
∴△OAB∽△OA'B'。
设小孔O到A'B'的距离为$x$ cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{小孔O到AB的距离}}{\mathrm{小孔O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入$AB=30\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，小孔O到AB的距离为30 cm，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$
解得$36x=720$，即$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题结合物理中小孔成像的知识考查相似三角形的实际应用，解题关键是找准相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，体现了跨学科知识融合的考查方向。
【难度系数】
0.8
根据小孔成像的特点，蜡烛AB和像A'B'均竖直放置，可得AB//A'B'，由此可证△OAB与△OA'B'相似；再根据相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，设所求距离为未知数列比例式，即可求解。
【解析】
解：
∵AB、A'B'均竖直放置，
∴AB//A'B'，
∴∠OAB=∠OA'B'，∠OBA=∠OB'A'，
∴△OAB∽△OA'B'。
设小孔O到A'B'的距离为$x$ cm，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{小孔O到AB的距离}}{\mathrm{小孔O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入$AB=30\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，小孔O到AB的距离为30 cm，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$
解得$36x=720$，即$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
相似三角形判定；相似三角形性质；相似三角形应用
【点评】
本题结合物理中小孔成像的知识考查相似三角形的实际应用，解题关键是找准相似三角形，利用相似的性质建立比例关系求解，体现了跨学科知识融合的考查方向。
【难度系数】
0.8
