7.已知点$P(a+1,2a-1)$关于$x$轴的对称点在第一象限,则$a$的取值范围是 ()

A.$a＞-1$
B.$a＜\dfrac{1}{2}$
C.$-1＜a＜\dfrac{1}{2}$
D.$-1≤ a≤ \dfrac{1}{2}$

C

点$P(a+1,2a-1)$关于x轴的对称点在第一象限，根据关于x轴对称的点的坐标特征，可知点P在第四象限。第四象限的点满足横坐标大于0，纵坐标小于0，据此列不等式组：$\begin{cases}a+1＞0 \\ 2a-1＜0\end{cases}$，解第一个不等式得$a＞-1$，解第二个不等式得$a＜\frac{1}{2}$，因此$a$的取值范围是$-1＜a＜\frac{1}{2}$。

8.在平面直角坐标系中，已知点$ A(a+b,2-a) $与点$ B(a-5,b-2a) $关于$ y $轴对称.
(1)求点$ A $，$ B $的坐标.
(2)如果点$ B $关于$ x $轴的对称点是$ C $，求$ △ ABC $的面积.

解：
(1) ∵ 点A与点B关于y轴对称，
∴ 两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得方程组：
$\begin{cases} a+b + a -5 = 0 \\ 2 - a = b - 2a \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases} 2a + b = 5 \\ a - b = -2 \end{cases}$
将两个方程相加，得$3a=3$，解得$a=1$。
把$a=1$代入$a - b = -2$，得$1 - b = -2$，解得$b=3$。
∴ $a+b=4$，$2-a=1$，$a-5=-4$，$b-2a=1$，
∴ 点A的坐标为$(4,1)$，点B的坐标为$(-4,1)$。
(2) ∵ 点B关于x轴的对称点是C，
∴ 点C的坐标为$(-4,-1)$。
由$A(4,1)$，$B(-4,1)$，$C(-4,-1)$可知：
$AB = |4 - (-4)| = 8$，$BC = |1 - (-1)| = 2$，且$AB ⊥ BC$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 8 × 2 = 8$。

9.如图,在平面直角坐标系中,直线$ l $是第一、三象限的角平分线,探究:
(1)由图可知,$ A(0,2) $关于直线$ l $的对称点$ A' $的坐标为.在图中分别标明$ B(5,3),C(-2,5) $关于直线$ l $的对称点$ B',C' $的位置,此时点$ B' $的坐标为,点$ C' $的坐标为.
(2)结合图形观察,可以发现平面直角坐标系内一点$ P(a,b) $关于第一、三象限的角平分线$ l $的对称点$ P' $的坐标为.
(3)已知两点$ D(1,-3),E(-1,-5) $,试在直线$ l $上确定一点$ Q $,使点$ Q $到$ D,E $两点的距离之和最小,并求出点$ Q $的坐标.

解：
(1) 点$A(0,2)$关于直线$l$的对称点$A'$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$，点$B'$的坐标为$\boldsymbol{(3,5)}$，点$C'$的坐标为$\boldsymbol{(5,-2)}$。
(2) 点$P(a,b)$关于第一、三象限角平分线$l$的对称点$P'$的坐标为$\boldsymbol{(b,a)}$。
(3) 由(2)的规律可得，点$D(1,-3)$关于直线$l$（即直线$y=x$）的对称点$D'$的坐标为$(-3,1)$。
连接$D'E$，与直线$l$的交点即为所求的点$Q$，此时点$Q$到$D,E$两点的距离之和最小。
设直线$D'E$的解析式为$y=kx+b$，将$D'(-3,1)$，$E(-1,-5)$代入得：
$\begin{cases}-3k + b = 1 \\-k + b = -5\end{cases}$
解得：$\begin{cases} k=-3 \\ b=-8 \end{cases}$
因此直线$D'E$的解析式为$y=-3x-8$。
联立直线$l$的解析式$y=x$：
$\begin{cases}y=x \\y=-3x-8\end{cases}$
解得$\begin{cases} x=-2 \\ y=-2 \end{cases}$
所以点$Q$的坐标为$(-2,-2)$。