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1. 如图29－2－42，在$\odot O$的内接四边形$ABCD$中，$AB=AD$，$∠ BCD=110°$，点$E$在$AD$上.
(1)$∠ BAD=$
(2)求$∠ AED$的度数.
图29－2－42
(1)$∠ BAD=$
70
$°$；(2)求$∠ AED$的度数.
图29－2－42
答案
1.解:(1)70
(2)连接BD. $\because AB=AD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=55°$.
易知四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore∠ AED+∠ ABD=180°$,
$\therefore∠ AED=180°-∠ ABD=125°$.
(2)连接BD. $\because AB=AD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADB=\frac{1}{2}(180°-∠ BAD)=55°$.
易知四边形ABDE是$\odot O$的内接四边形，
$\therefore∠ AED+∠ ABD=180°$,
$\therefore∠ AED=180°-∠ ABD=125°$.
解析
【分析】
(1) 解题时先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知内接四边形ABCD中∠BCD的度数，直接利用对角和为180°即可求出∠BAD的度数。
(2) 要求∠AED的度数，首先由AB=AD，可先连接BD构造等腰△ABD，利用等腰三角形两底角相等的性质计算出∠ABD的度数；再观察到四边形ABDE也是⊙O的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 110°，
∴ ∠BAD = 180° - 110° = 70°。
(2) 连接BD，
∵ AB = AD，
∴ △ABD为等腰三角形，∠ABD = ∠ADB，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAD) = $\frac{1}{2}$×(180° - 70°) = 55°，
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠AED + ∠ABD = 180°，
∴ ∠AED = 180° - 55° = 125°。
【答案】
(1) $\boxed{70}$；(2) $\boxed{125°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，两次运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形的角度计算即可求解，解题的关键是准确识别图中的圆内接四边形，灵活运用相关性质。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先回忆圆内接四边形的核心性质：对角互补。已知内接四边形ABCD中∠BCD的度数，直接利用对角和为180°即可求出∠BAD的度数。
(2) 要求∠AED的度数，首先由AB=AD，可先连接BD构造等腰△ABD，利用等腰三角形两底角相等的性质计算出∠ABD的度数；再观察到四边形ABDE也是⊙O的内接四边形，再次利用圆内接四边形对角互补的性质，即可求出∠AED的度数。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°，
∵ ∠BCD = 110°，
∴ ∠BAD = 180° - 110° = 70°。
(2) 连接BD，
∵ AB = AD，
∴ △ABD为等腰三角形，∠ABD = ∠ADB，
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$(180° - ∠BAD) = $\frac{1}{2}$×(180° - 70°) = 55°，
∵ 四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴ ∠AED + ∠ABD = 180°，
∴ ∠AED = 180° - 55° = 125°。
【答案】
(1) $\boxed{70}$；(2) $\boxed{125°}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，两次运用圆内接四边形对角互补的性质，结合等腰三角形的角度计算即可求解，解题的关键是准确识别图中的圆内接四边形，灵活运用相关性质。
【难度系数】
0.7
2. 如图29－2－43，四边形ABCD内接于$\odot O$，$AE⊥ CB$交$CB$的延长线于点$E$，若$BA$平分$∠ DBE$，$AD=6$，$CE=4$，求$AE$的长。
图29－2－43
图29－2－43
答案
2.解:连接AC.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because∠ ABE+∠ ABC=180°$,
$\therefore∠ ABE=∠ ADC$.
$\because BA$平分$∠ DBE$,$\therefore∠ ABE=∠ ABD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADC$.
$\because∠ ABD$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore∠ ABD=∠ ACD$,
$\therefore∠ ADC=∠ ACD$,
$\therefore AC=AD=6$.
$\because AE⊥ CB$,$\therefore∠ AEC=90°$.
$\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because∠ ABE+∠ ABC=180°$,
$\therefore∠ ABE=∠ ADC$.
$\because BA$平分$∠ DBE$,$\therefore∠ ABE=∠ ABD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADC$.
$\because∠ ABD$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore∠ ABD=∠ ACD$,
$\therefore∠ ADC=∠ ACD$,
$\therefore AC=AD=6$.
$\because AE⊥ CB$,$\therefore∠ AEC=90°$.
$\therefore AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
解析
【分析】
要计算AE的长度，首先观察到AE⊥CB，△AEC是直角三角形，已知CE=4，只需先求出AC的长度即可用勾股定理求解。推导AC长度时，先利用圆内接四边形的性质得到角的等量关系，结合角平分线的性质、同弧所对的圆周角相等，证明∠ADC=∠ACD，即可得到AC=AD=6，最后代入直角三角形勾股定理计算AE即可。
【解析】
连接AC.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because∠ ABE+∠ ABC=180°$,
$\therefore∠ ABE=∠ ADC$.
$\because BA$平分$∠ DBE$,$\therefore∠ ABE=∠ ABD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADC$.
$\because∠ ABD$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore∠ ABD=∠ ACD$,
$\therefore∠ ADC=∠ ACD$,
$\therefore AC=AD=6$.
$\because AE⊥ CB$,$\therefore∠ AEC=90°$.
在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题的核心是通过角的等量代换推导出AC与AD的等量关系，将已知条件转化到直角三角形中求解，较好的考察了几何综合推导能力。
【难度系数】
0.6
要计算AE的长度，首先观察到AE⊥CB，△AEC是直角三角形，已知CE=4，只需先求出AC的长度即可用勾股定理求解。推导AC长度时，先利用圆内接四边形的性质得到角的等量关系，结合角平分线的性质、同弧所对的圆周角相等，证明∠ADC=∠ACD，即可得到AC=AD=6，最后代入直角三角形勾股定理计算AE即可。
【解析】
连接AC.
$\because$ 四边形ABCD内接于$\odot O$,
$\therefore∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because∠ ABE+∠ ABC=180°$,
$\therefore∠ ABE=∠ ADC$.
$\because BA$平分$∠ DBE$,$\therefore∠ ABE=∠ ABD$,
$\therefore∠ ABD=∠ ADC$.
$\because∠ ABD$与$∠ ACD$所对的弧都是$\overset{\frown}{AD}$,
$\therefore∠ ABD=∠ ACD$,
$\therefore∠ ADC=∠ ACD$,
$\therefore AC=AD=6$.
$\because AE⊥ CB$,$\therefore∠ AEC=90°$.
在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$.
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的性质应用的典型习题，解题的核心是通过角的等量代换推导出AC与AD的等量关系，将已知条件转化到直角三角形中求解，较好的考察了几何综合推导能力。
【难度系数】
0.6
