9.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点E,F分别在BA,BC的延长线上,∠ABC,∠ACF与∠EAC的平分线相交于点D.有以下结论:①AD//BC;②∠ACB=2∠ADB;③△ABD和△ACD都是等腰三角形.其中正确的结论有().

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

9.D

【分析】
已知△ABC中∠ABC=∠ACB，即△ABC为等腰三角形，BD平分∠ABC、AD平分∠EAC、CD平分∠ACF。我们逐个验证三个结论：①要证AD//BC，可通过推导同位角相等证明；②要证∠ACB=2∠ADB，可结合平行线的内错角相等性质和角平分线定义进行角度换算；③要证两个三角形为等腰三角形，可通过推导等角对等边，证明两边相等即可。
【解析】
∵∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，AB=AC，且∠EAC是△ABC的外角，故∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB。
1. 验证结论①：
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=½∠EAC=½×2∠ACB=∠ACB，
∠EAD与∠ACB是同位角且相等，
∴AD//BC，结论①正确。
2. 验证结论②：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC=2∠ADB，
又
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=2∠ADB，结论②正确。
3. 验证结论③：
先证△ACD是等腰三角形：
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF（两直线平行，内错角相等），
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD（等角对等边），即△ACD为等腰三角形；
再证△ABD是等腰三角形：
∵AB=AC（△ABC为等腰三角形），且AC=AD，
∴AB=AD，即△ABD为等腰三角形，结论③正确。
综上三个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题，解题时需结合角平分线、平行线、等腰三角形的性质逐步推导角度和边长的等量关系，要注意挖掘题目中隐含的外角性质、等腰三角形边相等的条件，熟练掌握各基础性质间的转换是解题关键。
【难度系数】
0.6

10.如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，且$AE ⊥ BD$交$BD$的延长线于点$E$.求证$BD=2AE$.

10.延长$AE$交$BC$的延长线于点$F$.
$\because ∠ ACB=∠ AED=90°,∠ ADE=∠ CDB$,
$\therefore ∠ CBD=∠ CAF$.
$\because BC=AC,\therefore △ CBD≌△ CAF(\mathrm{ASA})$.
$\therefore BD=AF$.
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.
$\because BE=BE,\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=EF=\frac{1}{2}AF.\therefore AE=\frac{1}{2}BD$.
$\therefore BD=2AE$.

【分析】
要证明BD=2AE这类线段倍分关系，通常可通过构造将短线段扩大为原来的2倍，再证明扩大后的线段与长线段相等。本题中BD是∠ABC的角平分线且AE⊥BD，结合“角平分线+垂直”的特征，可延长AE交BC的延长线于点F：第一步先利用角平分线、公共边和直角证明△ABE≌△FBE，得到AF=2AE；第二步证明△BCD≌△ACF得到BD=AF，即可推导出待证结论。
【解析】
延长$AE$交$BC$的延长线于点$F$.
$\because ∠ ACB=∠ AED=90°,∠ ADE=∠ CDB$（对顶角相等）,
$\therefore ∠ CBD=∠ CAF$（等角的余角相等）.
在$△ CBD$和$△ CAF$中：
$\{\begin{array}{l}∠CBD=∠CAF \\BC=AC \\∠BCD=∠ACF=90°\end{array} $
$\therefore △ CBD≌△ CAF(\mathrm{ASA})$,
$\therefore BD=AF$.
$\because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD$.
在$△ ABE$和$△ FBE$中：
$\{\begin{array}{l}∠ABD=∠CBD \\BE=BE \\∠AEB=∠FEB=90°\end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ FBE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore AE=EF=\frac{1}{2}AF$,即$AF=2AE$.
结合$BD=AF$可得$BD=2AE$.
【答案】
$BD=2AE$，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合应用题，解题核心是根据图形特征构造辅助线，借助“角平分线+垂线”的条件构造全等三角形与等腰三角形，将线段倍分问题转化为线段相等问题求解，是几何中常见的解题思路。
【难度系数】
0.6

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$∠ ACD=15°$,$CD=CB$,$CD$交$AB$于点$E$.求证$BD=BE$.

11.提示:证明$∠ DCB=30°$,则$∠ BDE=∠ BED=75°$,所以$BD=BE$.

【分析】
要证明BD=BE，可通过“等角对等边”推导，步骤思路如下：首先利用等腰直角三角形的性质求出∠ACB的度数，结合已知∠ACD的度数算出∠DCB的度数；再根据CD=CB可知△BCD为等腰三角形，进而求出底角∠BDC的度数；随后通过三角形内角和求出与∠BED为对顶角的∠AEC的度数，得到∠BED的度数，最后对比∠BDC和∠BED的度数即可证得结论。
【解析】
证明：
∵ 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴ ∠ACB = (180° - 90°)÷2 = 45°，
∵ ∠ACD=15°，
∴ ∠DCB = ∠ACB - ∠ACD = 45° - 15° = 30°，
又
∵ CD=CB，
∴ △BCD是等腰三角形，
∴ ∠BDC = ∠DBC = (180° - ∠DCB)÷2 = (180° - 30°)÷2 = 75°，
在△AEC中，∠EAC=∠BAC=90°，∠ACE=15°，
∴ ∠AEC = 180° - 90° - 15° = 75°，
∵ ∠BED与∠AEC是对顶角，
∴ ∠BED = ∠AEC = 75°，
∴ ∠BDC = ∠BED = 75°，
∴ BD = BE（等角对等边）。
【答案】
BD=BE，得证
【知识点】
等腰三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的常规应用类题目，解题核心是通过已知角度逐步推导出待证边所对的两个角相等，既考查了角度计算能力，也强化了对等角对等边这一判定方法的理解运用。
【难度系数】
0.7

12.【问题探究】在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°−α，BD平分∠ABC.
(1)如图①，若α=90°，根据教材中一个重要性质，直接可得DA=CD，这个性质是
【问题解决】(2)如图②，求证AD=CD.
【问题拓展】(3)如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，BD平分∠ABC.求证BD+AD=BC.

12.(1)角平分线上的点到角的两边距离相等
(2)如图,作$DE⊥ BA$交$BA$延长线于点$E$,$DF⊥ BC$,垂足为$F$.

$\because BD$平分$∠ EBF$,$DE⊥ BE$,$DF⊥ BC$,$\therefore DE=DF$.
$\because ∠ BAD+∠ C=180°$,$∠ BAD+∠ EAD=180°$,
$\therefore ∠ EAD=∠ C$.
$\therefore △ DEA≌△ DFC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AD=CD$.
(3)如图,在$BC$上截取$BK=BD$,连接$DK$.

$\because AB=AC$,$∠ A=100°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=40°$.
$\because BD$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ DBK=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$.
$\because BD=BK$,
$\therefore ∠ BKD=∠ BDK=80°.\therefore ∠ A+∠ BKD=180°$.
由(2)的结论得$AD=DK$.
$\because ∠ BKD=∠ C+∠ KDC$,$\therefore ∠ KDC=∠ C=40°$.
$\therefore DK=CK.\therefore AD=DK=CK$.
$\therefore BD+AD=BK+CK=BC$.

【分析】
(1) 第一问中α=90°时，∠BAD和∠BCD均为直角，即DA垂直AB、DC垂直BC，点D在∠ABC的角平分线上，直接对应角平分线的性质即可得到结论。
(2) 第二问要证AD=CD，结合BD是角平分线的条件，过D向∠ABC的两边作垂线，可得到两条相等的垂线段；再根据已知的角互补关系推导出对应角相等，证明两个直角三角形全等，即可得到AD=CD。
(3) 第三问属于线段和差证明问题，采用截长法，在BC上截取BK=BD，先利用等腰三角形性质计算各角度数，发现满足第二问的结论适用条件，得到AD=DK，再证明DK=CK，通过线段转化即可证得结论。
【解析】
(1) 当α=90°时，∠BAD=90°即DA⊥AB，∠BCD=180°-90°=90°即DC⊥BC，BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，可得DA=CD。
(2) 作$DE⊥ BA$交$BA$延长线于点$E$，$DF⊥ BC$，垂足为$F$。
∵BD平分$∠EBF$，$DE⊥BE$，$DF⊥BC$，
∴$DE=DF$。
∵$∠BAD+∠C=180°$，$∠BAD+∠EAD=180°$，
∴$∠EAD=∠C$。
在$△ DEA$和$△ DFC$中，$\begin{cases}∠E=∠DFC=90°\\∠EAD=∠C\\DE=DF\end{cases}$，
∴$△ DEA≌△ DFC(\mathrm{AAS})$，
∴$AD=CD$。
(3) 在$BC$上截取$BK=BD$，连接$DK$。
∵$AB=AC$，$∠BAC=100°$，
∴$∠ABC=∠C=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
∵BD平分$∠ABC$，
∴$∠DBK=\frac{1}{2}∠ABC=20°$。
∵$BD=BK$，
∴$∠BKD=∠BDK=\frac{180°-20°}{2}=80°$，
∴$∠BAD+∠BKD=100°+80°=180°$，
由(2)的结论可得$AD=DK$。
∵$∠BKD$是$△ DKC$的外角，
∴$∠BKD=∠C+∠KDC$，
∴$∠KDC=80°-40°=40°=∠C$，
∴$DK=CK$，
∴$AD=DK=CK$，
∴$BD+AD=BK+CK=BC$。
【答案】
(1) 角平分线上的点到角的两边距离相等
(2) 如图,作$DE⊥ BA$交$BA$延长线于点$E$,$DF⊥ BC$,垂足为$F$.

$\because BD$平分$∠ EBF$,$DE⊥ BE$,$DF⊥ BC$,$\therefore DE=DF$.
$\because ∠ BAD+∠ C=180°$,$∠ BAD+∠ EAD=180°$,
$\therefore ∠ EAD=∠ C$.
$\therefore △ DEA≌△ DFC(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AD=CD$.
(3) 如图,在$BC$上截取$BK=BD$,连接$DK$.

$\because AB=AC$,$∠ A=100°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=40°$.
$\because BD$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ DBK=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$.
$\because BD=BK$,
$\therefore ∠ BKD=∠ BDK=80°.\therefore ∠ A+∠ BKD=180°$.
由(2)的结论得$AD=DK$.
$\because ∠ BKD=∠ C+∠ KDC$,$\therefore ∠ KDC=∠ C=40°$.
$\therefore DK=CK.\therefore AD=DK=CK$.
$\therefore BD+AD=BK+CK=BC$.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题设置层层递进，从基础性质的直接应用，到构造辅助线证明全等，再到迁移已有结论解决线段和差问题，充分考察了几何逻辑推理能力、辅助线构造能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6