1.下列条件能判断$△ ABC$为等腰三角形的是().

A.$∠ A=40°,∠ B=50°$
B.$∠ A=40°,∠ B=60°$
C.$∠ A=40°,∠ B=70°$
D.$∠ A=40°,∠ B=80°$

1.C

【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，可通过验证三角形中是否存在两个相等的内角来判定。题目给出了每组中两个内角的度数，我们可以先利用三角形内角和为180°的性质，计算出每组对应的第三个内角的度数，再检查是否有两个角相等即可。
【解析】
根据三角形内角和为180°，可得∠C = 180° - ∠A - ∠B，逐个分析选项：
A选项：∠C = 180° - 40° - 50° = 90°，三个内角度数为40°、50°、90°，没有相等的角，不是等腰三角形；
B选项：∠C = 180° - 40° - 60° = 80°，三个内角度数为40°、60°、80°，没有相等的角，不是等腰三角形；
C选项：∠C = 180° - 40° - 70° = 70°，三个内角度数为40°、70°、70°，存在两个相等的角，是等腰三角形；
D选项：∠C = 180° - 40° - 80° = 60°，三个内角度数为40°、80°、60°，没有相等的角，不是等腰三角形。
综上，符合条件的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的判定方法，结合三角形内角和定理计算角度即可判断，解题时注意细心计算角度，避免计算失误。
【难度系数】
0.9

2.如图，$∠ B=∠ C=36°,∠ ADE=∠ AED=72°$,则图中的等腰三角形的个数为().

A.3
B.4
C.5
D.6

2.D

【分析】
要判断等腰三角形的个数，需依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合三角形内角和为180°、三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，先计算出图中所有三角形的内角度数，按顺序逐个排查是否存在两个相等的内角，避免漏算。
【解析】
我们先计算各未知角的度数：
1. 在△ABC中，$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-36°-36°=108°$；
2. $∠ ADE$是△ABD的外角，故$∠ BAD=∠ ADE-∠ B=72°-36°=36°$，同理可得$∠ EAC=36°$；
3. 在△ADE中，$∠ DAE=180°-∠ ADE-∠ AED=180°-72°-72°=36°$，因此$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°$，$∠ DAC=∠ DAE+∠ EAC=72°$。
逐个判断等腰三角形：
①△ABC：$∠ B=∠ C=36°$，是等腰三角形；
②△ADE：$∠ ADE=∠ AED=72°$，是等腰三角形；
③△ABD：$∠ B=∠ BAD=36°$，是等腰三角形；
④△AEC：$∠ C=∠ EAC=36°$，是等腰三角形；
⑤△ABE：$∠ BAE=∠ AEB=72°$，是等腰三角形；
⑥△ADC：$∠ DAC=∠ ADC=72°$，是等腰三角形。
综上共有6个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题的关键是准确计算各内角的度数，按顺序逐一排查即可，注意不要漏查由多个小三角形组合成的大三角形。
【难度系数】
0.6

3.如图，$AB// CD$，$DA$平分$∠ CDE$，$AE=8$，则$DE$的长为。

3.8

【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，结合已知AB//CD，根据平行线的性质可得内错角∠CDA=∠A；第二步，根据DA平分∠CDE的条件，由角平分线定义可知∠CDA=∠ADE；第三步，通过等量代换得到∠ADE=∠A，再利用等腰三角形“等角对等边”的判定，即可得到DE与AE相等，代入AE的长度就能求出DE的长。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠CDA = ∠A（两直线平行，内错角相等）。
∵DA平分∠CDE，
∴∠CDA = ∠ADE。
∴∠ADE = ∠A，
∴DE = AE（等角对等边）。
又
∵AE = 8，
∴DE = 8。
【答案】
8
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，考查了平行线、角平分线与等腰三角形的综合应用，解题关键是通过角的等量转化得到相等的角，进而推出边的等量关系，是这类知识点结合考查的典型题型。
【难度系数】
0.9

4.如图,在正五边形ABCDE中,AC与BD交于点F,则图中的等腰三角形有个.

4.5

【分析】
要解决这个问题，首先利用正五边形的性质：各边长度相等，每个内角都是108°，再结合等腰三角形“有两个角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形”的判定方法，通过计算各个三角形的内角度数，逐个判定是否为等腰三角形，计数时注意不要遗漏也不要重复。
【解析】
首先计算正五边形的内角度数：正五边形内角和为$\boldsymbol{(5-2)×180°=540°}$，因此每个内角为$540°÷5=108°$，且正五边形各边相等，即$AB=BC=CD$。
1. 对于$△ ABC$：$AB=BC$，因此$△ ABC$是等腰三角形，可得底角$∠ BAC=∠ BCA=(180°-108°)÷2=36°$；
2. 对于$△ BCD$：$BC=CD$，因此$△ BCD$是等腰三角形，可得底角$∠ CBD=∠ CDB=(180°-108°)÷2=36°$；
3. 对于$△ BFC$：$∠ FBC=∠ FCB=36°$，所以$FB=FC$，$△ BFC$是等腰三角形；
4. 对于$△ ABF$：$∠ ABF=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$，根据三角形外角性质，$∠ AFB=∠ FBC+∠ FCB=36°+36°=72°$，因此$∠ ABF=∠ AFB$，$AB=AF$，$△ ABF$是等腰三角形；
5. 对于$△ CDF$：$∠ DCF=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，$∠ DFC=180°-∠ BFC=180°-(180°-36°-36°)=72°$，因此$∠ DCF=∠ DFC$，$CD=DF$，$△ CDF$是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
5
【知识点】
正五边形的性质、等腰三角形的判定、三角形外角性质
【点评】
本题需要结合正多边形的性质计算角度，再通过等角对等边判定等腰三角形，解题时按顺序计数即可避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6

5.如图，在$△ ABC$中，$D$是边$BC$上一点，$AC=AD=DB$，$∠ BAC=102°$，则$∠ ADC$的度数为________。

5.$52°$

【分析】
首先观察题目给出的多组等边关系，可利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到对应角相等的关系。为了方便计算，我们可以设较小的角∠B为未知数，结合三角形外角的性质表示出∠ADC，再根据AC=AD得到∠C和∠ADC相等，最后利用三角形内角和为180°列方程求解即可。
【解析】
设$∠ B = x$，
$\because AD = DB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，$\therefore ∠ BAD = ∠ B = x$，
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD = 2x$，
又$\because AC = AD$，同理可得$∠ C = ∠ ADC = 2x$，
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
将$∠ BAC=102°$，$∠ B=x$，$∠ C=2x$代入得：
$102° + x + 2x = 180°$，
解得$3x=78°$，即$x=26°$，
$\therefore ∠ ADC = 2x = 2×26° = 52°$。
【答案】
$52°$
【知识点】
等边对等角；三角形内角和定理；三角形外角性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型习题，解题关键是合理设未知数，将多个未知角用同一个未知数表示，再结合三角形内角和、外角性质建立方程求解，能有效考查对等腰三角形性质及三角形角度相关定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7

6.已知一个等腰三角形两内角的度数比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为.

6.$20°$或$120°$

【分析】
解题时首先回忆等腰三角形“两底角相等”的性质以及三角形内角和为180°的定理。题目仅给出两个内角的度数比为1:4，未明确这两个角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论：第一种是顶角和底角的比为1:4，第二种是底角和顶角的比为1:4。分别计算两种情况的顶角度数后，验证是否符合三角形内角和要求，符合的即为有效解。
【解析】
设等腰三角形的两个内角分别为$x$和$4x$，分两种情况讨论：
1. 当顶角为$x$时，两个底角均为$4x$，根据三角形内角和为180°列方程：
$x + 4x + 4x = 180°$
解得$9x=180°$，$x=20°$，即顶角为$20°$；
2. 当顶角为$4x$时，两个底角均为$x$，根据三角形内角和为180°列方程：
$4x + x + x = 180°$
解得$6x=180°$，$x=30°$，则顶角为$4×30°=120°$。
两种情况均符合三角形内角要求，均成立。
【答案】
$20°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略分类讨论，仅计算其中一种情况导致漏解，解题时需注意题目未明确比例对应角的类型时，要覆盖所有可能的情况，最后还要验证结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.6

7.如图，∠CAE是△ABC的外角，∠EAD=∠CAD，AD//BC.求证AB=AC.

7.提示:由$AD// BC$,可得$∠ EAD=∠ B$,$∠ CAD=∠ C$.又$∠ EAD=∠ CAD$,$\therefore ∠ B=∠ C$.
$\therefore AB=AC$.

【分析】
要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明△ABC中∠B=∠C。已知AD//BC，可先利用平行线的性质得到∠EAD与∠B、∠CAD与∠C的等量关系，再结合已知∠EAD=∠CAD的条件，通过等量代换得到∠B=∠C，最终推出AB=AC。
【解析】
证明：
∵ AD//BC（已知）
∴ ∠EAD=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠CAD=∠C（两直线平行，内错角相等）
又
∵ ∠EAD=∠CAD（已知）
∴ ∠B=∠C（等量代换）
∴ AB=AC（等角对等边）
【答案】
由$AD// BC$,可得$∠ EAD=∠ B$,$∠ CAD=∠ C$.又$∠ EAD=∠ CAD$,$\therefore ∠ B=∠ C$,$\therefore AB=AC$.
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是结合平行线的性质和等腰三角形的判定定理完成推导，解题的关键是通过平行线建立不同角之间的等量关系，熟练掌握相关定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

8.如图，在△ABC中，BF，CF是角平分线，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，DE经过点F。
(1)求证△BDF和△CEF都是等腰三角形。
(2)求证DE=BD+CE。

8.提示:证明$∠ DBF=∠ DFB$,$∠ ECF=∠ EFC$.

【分析】
(1)要证明△BDF和△CEF是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明三角形中有两个内角相等即可。结合已知条件，先利用角平分线的定义得到一组等角，再利用平行线的内错角相等的性质，通过等量代换即可得到待证等腰三角形的两个底角相等。
(2)要证明DE=BD+CE，结合线段DE的构成DE=DF+EF，只需利用第(1)问得到的等腰三角形的边相等的结论，将DF替换为BD、EF替换为CE，即可完成证明。
【解析】
(1)证明：
∵ BF是∠ABC的角平分线，
∴ ∠DBF=∠CBF，
∵ DE//BC，
∴ ∠DFB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DBF=∠DFB，
∴ BD=DF，即△BDF是等腰三角形。
同理，
∵ CF是∠ACB的角平分线，
∴ ∠ECF=∠BCF，
∵ DE//BC，
∴ ∠EFC=∠BCF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ECF=∠EFC，
∴ CE=EF，即△CEF是等腰三角形。
(2)证明：
由线段和的定义可知，DE=DF+EF，
由(1)的结论可得BD=DF，CE=EF，
∴ DE=BD+CE。
【答案】
(1)△BDF和△CEF都是等腰三角形，得证；
(2)DE=BD+CE，得证。
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，进而得到等腰三角形的结论，再通过线段的等量替换推导线段和的关系，是等腰三角形章节的常考题型。
【难度系数】
0.8