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8.计算.
(1) $\frac{2a - 2b}{15ab} · \frac{10a^3b^2}{a^2 - b^2}.$
(2)
(1) $\frac{2a - 2b}{15ab} · \frac{10a^3b^2}{a^2 - b^2}.$
(2)
答案
8.(1)$\frac{4a^2b}{3a+3b}$．(2)$-\frac{4x^2-2xy}{x-y}$
解析
【分析】
解决分式乘除运算问题，思路如下：1. 先处理除法运算：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法统一为乘法运算；2. 对每个分子、分母中的多项式进行因式分解（提公因式、公式法）；3. 约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(a-b)}{15ab} · \frac{10a^3b^2}{(a+b)(a-b)} \\&=\frac{2×10a^3b^2(a-b)}{15ab(a+b)(a-b)} \\&=\frac{4a^2b}{3(a+b)} \\&=\frac{4a^2b}{3a+3b}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y^2-4x^2}{x^2-2xy+y^2} × \frac{2x^2-2xy}{2x+y} \\&=\frac{(y-2x)(y+2x)}{(x-y)^2} × \frac{2x(x-y)}{2x+y} \\&=\frac{(y-2x)·2x}{x-y} \\&=\frac{2xy-4x^2}{x-y} \\&=-\frac{4x^2-2xy}{x-y}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{4a^2b}{3a+3b}$；(2)$-\frac{4x^2-2xy}{x-y}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握因式分解的方法和分式乘除的运算法则，运算时要注意公因式的识别以及符号处理，避免因漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
解决分式乘除运算问题，思路如下：1. 先处理除法运算：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，将除法统一为乘法运算；2. 对每个分子、分母中的多项式进行因式分解（提公因式、公式法）；3. 约去分子分母的公因式，将结果化为最简分式即可，计算过程中注意符号的变化。
【解析】
(1) 先对分子分母因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(a-b)}{15ab} · \frac{10a^3b^2}{(a+b)(a-b)} \\&=\frac{2×10a^3b^2(a-b)}{15ab(a+b)(a-b)} \\&=\frac{4a^2b}{3(a+b)} \\&=\frac{4a^2b}{3a+3b}\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{y^2-4x^2}{x^2-2xy+y^2} × \frac{2x^2-2xy}{2x+y} \\&=\frac{(y-2x)(y+2x)}{(x-y)^2} × \frac{2x(x-y)}{2x+y} \\&=\frac{(y-2x)·2x}{x-y} \\&=\frac{2xy-4x^2}{x-y} \\&=-\frac{4x^2-2xy}{x-y}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{4a^2b}{3a+3b}$；(2)$-\frac{4x^2-2xy}{x-y}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是熟练掌握因式分解的方法和分式乘除的运算法则，运算时要注意公因式的识别以及符号处理，避免因漏看符号出错。
【难度系数】
0.7
9.若$\frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ M = \frac{1}{x - y}$，则$M$等于（
A.$\frac{3x}{x + y}$
B.$\frac{x + y}{3x}$
C.$\frac{3x}{x - y}$
D.$\frac{x - y}{3x}$
A
）.A.$\frac{3x}{x + y}$
B.$\frac{x + y}{3x}$
C.$\frac{3x}{x - y}$
D.$\frac{x - y}{3x}$
答案
9.A
解析
【分析】
解题时首先回忆除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，由此可推导出M的表达式。再结合分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时先利用平方差公式对分母$x^2-y^2$因式分解，最后通过约分得到化简结果，对应选项即可。
【解析】
根据除法各部分关系可得：
$M = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x - y}$
首先对$x^2 - y^2$用平方差公式因式分解：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，代入上式：
$M = \frac{3x}{(x + y)(x - y)} ÷ \frac{1}{x - y}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数：
$M = \frac{3x}{(x + y)(x - y)} × (x - y)$
约分化简，消去分子分母的公因式$(x - y)$：
$M = \frac{3x}{x + y}$
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是明确除法运算的各部分关系，熟练掌握分式除法法则和因式分解的方法，计算过程中注意准确约分即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆除法运算中各部分的关系：除数=被除数÷商，由此可推导出M的表达式。再结合分式除法的运算法则，除以一个分式等于乘这个分式的倒数，同时先利用平方差公式对分母$x^2-y^2$因式分解，最后通过约分得到化简结果，对应选项即可。
【解析】
根据除法各部分关系可得：
$M = \frac{3x}{x^2 - y^2} ÷ \frac{1}{x - y}$
首先对$x^2 - y^2$用平方差公式因式分解：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，代入上式：
$M = \frac{3x}{(x + y)(x - y)} ÷ \frac{1}{x - y}$
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数：
$M = \frac{3x}{(x + y)(x - y)} × (x - y)$
约分化简，消去分子分母的公因式$(x - y)$：
$M = \frac{3x}{x + y}$
【答案】
A
【知识点】
分式的除法运算；平方差公式因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是明确除法运算的各部分关系，熟练掌握分式除法法则和因式分解的方法，计算过程中注意准确约分即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
10.化简:(1) $\frac{4a+4b}{5ab} · \frac{15a^2b}{a^2 - b^2}$；(2) $\frac{a+3}{1-a} ÷ \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 2a +1}$
答案
10.(1)原式$=\frac{4(a+b)}{5ab}·\frac{15a^2b}{(a+b)(a-b)}=\frac{60a^2b(a+b)}{5ab(a+b)(a-b)}=\frac{12a}{a-b}$．
(2)原式$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(a-1)^2}{a(a+3)}=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(1-a)^2}{a(a+3)}=\frac{1-a}{a}$．
(2)原式$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(a-1)^2}{a(a+3)}=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(1-a)^2}{a(a+3)}=\frac{1-a}{a}$．
解析
【分析】
分式乘除化简遵循固定的解题逻辑：第一步先统一运算形式，遇到除法要先转化为乘法（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；第二步对分子、分母中的多项式做因式分解，可提公因式的提公因式，符合乘法公式特征的用公式分解；第三步约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。
求解第(1)题时，先对4a+4b提公因式4，对a²-b²用平方差公式分解，再约分计算；求解第(2)题时，先把除法转乘法，再对a²+3a提公因式，对a²-2a+1用完全平方公式分解，注意1-a和a-1互为相反数，可将(a-1)²转化为(1-a)²方便约分，最后约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母的多项式因式分解：
原式$=\frac{4(a+b)}{5ab}·\frac{15a^2b}{(a+b)(a-b)}$
将分子分母分别相乘后约分，约去公因式$5ab(a+b)$：
$=\frac{60a^2b(a+b)}{5ab(a+b)(a-b)}=\frac{12a}{a-b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再做因式分解：
原式$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(a-1)^2}{a(a+3)}$
将$(a-1)^2$变形为$(1-a)^2$，约去公因式$(a+3)(1-a)$：
$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(1-a)^2}{a(a+3)}=\frac{1-a}{a}$
【答案】
(1) $\frac{12a}{a-b}$；(2) $\frac{1-a}{a}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，核心是先对多项式正确因式分解，将除法转化为乘法后再约分，运算时需注意互为相反数的因式变形时的符号处理，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
分式乘除化简遵循固定的解题逻辑：第一步先统一运算形式，遇到除法要先转化为乘法（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；第二步对分子、分母中的多项式做因式分解，可提公因式的提公因式，符合乘法公式特征的用公式分解；第三步约去分子分母的所有公因式，得到最简分式即可。
求解第(1)题时，先对4a+4b提公因式4，对a²-b²用平方差公式分解，再约分计算；求解第(2)题时，先把除法转乘法，再对a²+3a提公因式，对a²-2a+1用完全平方公式分解，注意1-a和a-1互为相反数，可将(a-1)²转化为(1-a)²方便约分，最后约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 先对分子、分母的多项式因式分解：
原式$=\frac{4(a+b)}{5ab}·\frac{15a^2b}{(a+b)(a-b)}$
将分子分母分别相乘后约分，约去公因式$5ab(a+b)$：
$=\frac{60a^2b(a+b)}{5ab(a+b)(a-b)}=\frac{12a}{a-b}$
(2) 先将除法转化为乘法，再做因式分解：
原式$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(a-1)^2}{a(a+3)}$
将$(a-1)^2$变形为$(1-a)^2$，约去公因式$(a+3)(1-a)$：
$=\frac{a+3}{1-a}·\frac{(1-a)^2}{a(a+3)}=\frac{1-a}{a}$
【答案】
(1) $\frac{12a}{a-b}$；(2) $\frac{1-a}{a}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，核心是先对多项式正确因式分解，将除法转化为乘法后再约分，运算时需注意互为相反数的因式变形时的符号处理，熟练掌握提公因式法、公式法分解因式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
11.已知$x$为整数，且$\dfrac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{x^2 - x}{2x + 2}$的值是整数，求所有符合条件的$x$的值。
答案
11.原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}·\frac{2(x+1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}$，
观察原式得 $x≠±1,x≠0$。
使$\frac{2}{x}$为整数，$x$可以取2，也可以取$-2$。
故 $x$ 的值为$±2$。
观察原式得 $x≠±1,x≠0$。
使$\frac{2}{x}$为整数，$x$可以取2，也可以取$-2$。
故 $x$ 的值为$±2$。
解析
【分析】
解决本题的思路分为三步：第一步先对原式中各分式的分子、分母进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简结果；第二步先确定原式有意义的x的取值范围，即所有分母、除式都不能为0，排除不符合条件的x值；第三步结合化简后的结果是整数、x为整数的条件，找出符合要求的x值，再和前面的取值范围对比，筛选出最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{2x + 2}\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{2(x+1)}{x(x-1)}\\=&\frac{2}{x}\end{aligned}$
要使原式有意义，则各分母及除式均不为0，即：
$x^2-1≠0$，$2x+2≠0$，$x^2-x≠0$
解得$x≠\pm1$且$x≠0$。
已知$\frac{2}{x}$为整数，且x为整数，则x是2的整数约数，即x的可能取值为$\pm1,\pm2$，结合x的取值范围排除$\pm1$和0，可得$x=\pm2$。
【答案】
符合条件的x的值为$\boldsymbol{\pm2}$
【知识点】
1.分式的乘除运算
2.分式有意义的条件
3.因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规综合题，解题时要注意先化简再求值，尤其不能遗漏分式有意义的隐含条件，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
解决本题的思路分为三步：第一步先对原式中各分式的分子、分母进行因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，通过约分得到最简结果；第二步先确定原式有意义的x的取值范围，即所有分母、除式都不能为0，排除不符合条件的x值；第三步结合化简后的结果是整数、x为整数的条件，找出符合要求的x值，再和前面的取值范围对比，筛选出最终结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{x^2 + 1 - 2x}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - x}{2x + 2}\\=&\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{2(x+1)}{x(x-1)}\\=&\frac{2}{x}\end{aligned}$
要使原式有意义，则各分母及除式均不为0，即：
$x^2-1≠0$，$2x+2≠0$，$x^2-x≠0$
解得$x≠\pm1$且$x≠0$。
已知$\frac{2}{x}$为整数，且x为整数，则x是2的整数约数，即x的可能取值为$\pm1,\pm2$，结合x的取值范围排除$\pm1$和0，可得$x=\pm2$。
【答案】
符合条件的x的值为$\boldsymbol{\pm2}$
【知识点】
1.分式的乘除运算
2.分式有意义的条件
3.因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规综合题，解题时要注意先化简再求值，尤其不能遗漏分式有意义的隐含条件，否则容易出现多解的错误。
【难度系数】
0.6
12.化简$\dfrac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} ÷ \dfrac{2x - 6}{x^2 + 3x}$
答案
12.$-\frac{x}{2}$
解析
【分析】
本题考查分式的除法化简，解题思路如下：1. 根据分式除法法则，先将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；2. 对每个分式的分子、分母中的多项式分别用完全平方公式、平方差公式、提公因式法进行因式分解；3. 约掉分子分母的公因式，注意处理符号，最终得到最简结果。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对各多项式因式分解、约分：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} × \dfrac{x^2 + 3x}{2x - 6} \\&= \dfrac{(x - 3)^2}{(3 - x)(3 + x)} × \dfrac{x(x + 3)}{2(x - 3)} \\&= \dfrac{(x - 3)^2}{-(x - 3)(x + 3)} × \dfrac{x(x + 3)}{2(x - 3)} \\&= -\dfrac{x}{2}\end{aligned}$
（隐含条件：$x≠0$且$x≠±3$，保证原式有意义）
【答案】
$-\dfrac{x}{2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法转乘法的规则，熟练运用因式分解的方法对多项式变形，计算时要注意平方差公式分解后符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
本题考查分式的除法化简，解题思路如下：1. 根据分式除法法则，先将除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；2. 对每个分式的分子、分母中的多项式分别用完全平方公式、平方差公式、提公因式法进行因式分解；3. 约掉分子分母的公因式，注意处理符号，最终得到最简结果。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对各多项式因式分解、约分：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} × \dfrac{x^2 + 3x}{2x - 6} \\&= \dfrac{(x - 3)^2}{(3 - x)(3 + x)} × \dfrac{x(x + 3)}{2(x - 3)} \\&= \dfrac{(x - 3)^2}{-(x - 3)(x + 3)} × \dfrac{x(x + 3)}{2(x - 3)} \\&= -\dfrac{x}{2}\end{aligned}$
（隐含条件：$x≠0$且$x≠±3$，保证原式有意义）
【答案】
$-\dfrac{x}{2}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握分式除法转乘法的规则，熟练运用因式分解的方法对多项式变形，计算时要注意平方差公式分解后符号的处理，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
13.已知$a+\frac{1}{a}=4$，求下列各式的值：
(1)$a^2+\frac{1}{a^2}$；(2)$(a-\frac{1}{a})^2$；(3)$a^2-4a+2027$。
(1)$a^2+\frac{1}{a^2}$；(2)$(a-\frac{1}{a})^2$；(3)$a^2-4a+2027$。
答案
13.(1)14．(2)12．(3)2026．
解析
【分析】
本题可通过对已知等式变形，结合完全平方公式、整体代入法求解三个式子的值。①求解(1)时，观察到已知是a与$\frac{1}{a}$的和，目标式是两者的平方和，将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可求出目标式的值；②求解(2)时，先将目标式用完全平方公式展开，发现式子中包含(1)的结论，代入即可计算；③求解(3)时，先对已知等式去分母变形，得到$a^2-4a$的值，再整体代入目标式计算即可。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=16$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=16$
移项计算得：$a^2+\frac{1}{a^2}=16-2=14$
(2) 根据完全平方公式展开$(a-\frac{1}{a})^2$：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
将(1)中$a^2+\frac{1}{a^2}=14$代入上式，得：
原式$=14-2=12$
(3) 由$a+\frac{1}{a}=4$可知$a≠0$，将等式两边同时乘$a$，得：
$a^2 + 1=4a$
移项得：$a^2-4a=-1$
将$a^2-4a=-1$代入$a^2-4a+2027$，得：
原式$=-1+2027=2026$
【答案】
(1)14；(2)12；(3)2026
【知识点】
完全平方公式，分式运算，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握两个完全平方公式之间的关联，结合已知条件进行合理变形，采用整体代入的方法简化计算，有助于巩固公式变形和代数式求值的能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过对已知等式变形，结合完全平方公式、整体代入法求解三个式子的值。①求解(1)时，观察到已知是a与$\frac{1}{a}$的和，目标式是两者的平方和，将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可求出目标式的值；②求解(2)时，先将目标式用完全平方公式展开，发现式子中包含(1)的结论，代入即可计算；③求解(3)时，先对已知等式去分母变形，得到$a^2-4a$的值，再整体代入目标式计算即可。
【解析】
(1) 已知$a+\frac{1}{a}=4$，将等式两边同时平方，得：
$(a+\frac{1}{a})^2=4^2$
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=16$
化简得：$a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}=16$
移项计算得：$a^2+\frac{1}{a^2}=16-2=14$
(2) 根据完全平方公式展开$(a-\frac{1}{a})^2$：
$(a-\frac{1}{a})^2=a^2 - 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2+\frac{1}{a^2}-2$
将(1)中$a^2+\frac{1}{a^2}=14$代入上式，得：
原式$=14-2=12$
(3) 由$a+\frac{1}{a}=4$可知$a≠0$，将等式两边同时乘$a$，得：
$a^2 + 1=4a$
移项得：$a^2-4a=-1$
将$a^2-4a=-1$代入$a^2-4a+2027$，得：
原式$=-1+2027=2026$
【答案】
(1)14；(2)12；(3)2026
【知识点】
完全平方公式，分式运算，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的变形应用，解题核心是熟练掌握两个完全平方公式之间的关联，结合已知条件进行合理变形，采用整体代入的方法简化计算，有助于巩固公式变形和代数式求值的能力。
【难度系数】
0.7
