登录
1.如图，将三角形纸片ABC进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平后出现折痕DE，FG，其中，点D，F分别在边AB，AC上，点E，G在边BC上。若∠B=25°，∠C=45°，则∠EAG的度数是。
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠BAE=∠B，∠CAG=∠C，最后用∠BAC减去∠BAE与∠CAG的和，即可求出∠EAG的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 25° - 45° = 110°$
由折叠的性质可知，折叠后点B与点A重合，故$∠ BAE = ∠ B = 25°$；
折叠后点C与点A重合，故$∠ CAG = ∠ C = 45°$。
因此$∠ EAG = ∠ BAC - ∠ BAE - ∠ CAG = 110° - 25° - 45° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；等边对等角
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用折叠的性质得到相等的角，再结合三角形内角和公式计算即可，解题时注意不要混淆各角之间的关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数，再结合折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠BAE=∠B，∠CAG=∠C，最后用∠BAC减去∠BAE与∠CAG的和，即可求出∠EAG的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 25° - 45° = 110°$
由折叠的性质可知，折叠后点B与点A重合，故$∠ BAE = ∠ B = 25°$；
折叠后点C与点A重合，故$∠ CAG = ∠ C = 45°$。
因此$∠ EAG = ∠ BAC - ∠ BAE - ∠ CAG = 110° - 25° - 45° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；等边对等角
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用折叠的性质得到相等的角，再结合三角形内角和公式计算即可，解题时注意不要混淆各角之间的关系。
【难度系数】
0.7
2.如图,将$△ ABC$三个角分别沿$DE$,$HG$,$EF$翻折,使三个顶点均落在点$O$处,则$∠ 1+∠ 2$的度数是.
答案
$\boldsymbol{180°}$
解析
【分析】
解题时先利用翻折的性质：翻折前后对应角相等，可得翻折后$△ ABC$的三个内角$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$分别与点$O$处的$∠ DOE$、$∠ GOH$、$∠ EOF$相等。再结合三角形内角和为$180°$，可得到这三个对应角的和也为$180°$。最后根据周角为$360°$的性质，梳理点$O$处所有角的等量关系，代入计算即可求出$∠ 1+∠ 2$的度数。
【解析】
解：根据翻折的性质，翻折前后对应角相等，可得：
$∠ DOE = ∠ A$，$∠ GOH = ∠ B$，$∠ EOF = ∠ C$，且剩余对应角相等。
由三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
因此$∠ DOE + ∠ GOH + ∠ EOF = ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
$\because$ 点$O$处周角为$360°$，且除$∠1$、$∠2$外，其余角的和为$2×(∠ A+∠ B+∠ C) - 180° = 180°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = 360° - 180° = 180°$。
【答案】
$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；周角的定义
【点评】
本题属于翻折变换的基础题型，解题核心是熟练掌握翻折前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、周角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先利用翻折的性质：翻折前后对应角相等，可得翻折后$△ ABC$的三个内角$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$分别与点$O$处的$∠ DOE$、$∠ GOH$、$∠ EOF$相等。再结合三角形内角和为$180°$，可得到这三个对应角的和也为$180°$。最后根据周角为$360°$的性质，梳理点$O$处所有角的等量关系，代入计算即可求出$∠ 1+∠ 2$的度数。
【解析】
解：根据翻折的性质，翻折前后对应角相等，可得：
$∠ DOE = ∠ A$，$∠ GOH = ∠ B$，$∠ EOF = ∠ C$，且剩余对应角相等。
由三角形内角和定理可知：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，
因此$∠ DOE + ∠ GOH + ∠ EOF = ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$。
$\because$ 点$O$处周角为$360°$，且除$∠1$、$∠2$外，其余角的和为$2×(∠ A+∠ B+∠ C) - 180° = 180°$，
$\therefore ∠1 + ∠2 = 360° - 180° = 180°$。
【答案】
$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
翻折的性质；三角形内角和定理；周角的定义
【点评】
本题属于翻折变换的基础题型，解题核心是熟练掌握翻折前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、周角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,将三角形纸片ABC的一角沿DE折叠,使点A落在点$A'$处,且$A'B$平分$∠ABC$,$A'C$平分$∠ACB$.若$∠BA'C=110°$,则$∠1+∠2$的度数是.
答案
$\boldsymbol{80°}$
解析
【分析】
解题时先从已知的∠BA'C入手，利用三角形内角和先求出∠A'BC与∠A'CB的和，再结合角平分线的性质得到∠ABC和∠ACB的和，进而求出△ABC中∠A的度数；再根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，将∠1和∠2用含∠ADE、∠AED的式子表示，结合三角形内角和推导出∠1+∠2与∠A的数量关系，最后代入∠A的度数即可求解。
【解析】
1. 在$△ A'BC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A'BC + ∠ A'CB = 180° - ∠ BA'C = 180° - 110° = 70°$
2. 因为$A'B$平分$∠ ABC$，$A'C$平分$∠ ACB$，所以：
$∠ ABC=2∠ A'BC$，$∠ ACB=2∠ A'CB$
则$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ A'BC + ∠ A'CB) = 2×70°=140°$
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 140° = 40°$
4. 由折叠的性质可得：$∠ ADE=∠ A'DE$，$∠ AED=∠ A'ED$
因此$∠ 1=180° - 2∠ ADE$，$∠ 2=180° - 2∠ AED$
两式相加得：$∠ 1+∠ 2=360° - 2(∠ ADE+∠ AED)$
5. 在$△ ADE$中，$∠ ADE+∠ AED=180°-∠ A$，代入上式：
$∠ 1+∠ 2=360° - 2(180° - ∠ A)=2∠ A=2×40°=80°$
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质
【点评】
本题是三角形相关知识的综合应用题，核心是通过角度之间的转化推导得到$∠ 1+∠ 2$与$∠ A$的数量关系，解题过程中需要熟练掌握折叠、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的∠BA'C入手，利用三角形内角和先求出∠A'BC与∠A'CB的和，再结合角平分线的性质得到∠ABC和∠ACB的和，进而求出△ABC中∠A的度数；再根据折叠的性质，得到折叠前后对应角相等，将∠1和∠2用含∠ADE、∠AED的式子表示，结合三角形内角和推导出∠1+∠2与∠A的数量关系，最后代入∠A的度数即可求解。
【解析】
1. 在$△ A'BC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A'BC + ∠ A'CB = 180° - ∠ BA'C = 180° - 110° = 70°$
2. 因为$A'B$平分$∠ ABC$，$A'C$平分$∠ ACB$，所以：
$∠ ABC=2∠ A'BC$，$∠ ACB=2∠ A'CB$
则$∠ ABC + ∠ ACB = 2(∠ A'BC + ∠ A'CB) = 2×70°=140°$
3. 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ A = 180° - (∠ ABC + ∠ ACB) = 180° - 140° = 40°$
4. 由折叠的性质可得：$∠ ADE=∠ A'DE$，$∠ AED=∠ A'ED$
因此$∠ 1=180° - 2∠ ADE$，$∠ 2=180° - 2∠ AED$
两式相加得：$∠ 1+∠ 2=360° - 2(∠ ADE+∠ AED)$
5. 在$△ ADE$中，$∠ ADE+∠ AED=180°-∠ A$，代入上式：
$∠ 1+∠ 2=360° - 2(180° - ∠ A)=2∠ A=2×40°=80°$
【答案】
$\boldsymbol{80°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，折叠的性质
【点评】
本题是三角形相关知识的综合应用题，核心是通过角度之间的转化推导得到$∠ 1+∠ 2$与$∠ A$的数量关系，解题过程中需要熟练掌握折叠、角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用。
【难度系数】
0.6
4.如图,将三角形纸片ABC折叠,使点A落在△ABC外的点A'处,折痕为DE.若∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,则α,β,γ的数量关系为.
答案
解：由折叠的性质可得$∠ A' = ∠ A = α$。
设$A'D$与$AC$交于点$F$，
根据三角形外角的性质：
$∠ BDA'$是$△ ADF$的外角，因此$\gamma = ∠ A + ∠ AFD = α + ∠ AFD$，
$∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，因此$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$，
将$∠ AFD = α + β$代入$\gamma = α + ∠ AFD$，可得：
$\gamma = 2α + β$。
最终数量关系为$\boldsymbol{\gamma=2α+β}$。
设$A'D$与$AC$交于点$F$，
根据三角形外角的性质：
$∠ BDA'$是$△ ADF$的外角，因此$\gamma = ∠ A + ∠ AFD = α + ∠ AFD$，
$∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，因此$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$，
将$∠ AFD = α + β$代入$\gamma = α + ∠ AFD$，可得：
$\gamma = 2α + β$。
最终数量关系为$\boldsymbol{\gamma=2α+β}$。
解析
【分析】
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等，可先得到∠A'=∠A=α；要推导三个角的数量关系，可借助三角形外角的性质搭建角之间的联系：观察图形可知∠BDA'是△ADF的外角，而A'D与AC的夹角∠AFD又是△A'EF的外角，通过中间角∠AFD进行等量代换，即可推导出α、β、γ的关系。
【解析】
解：由折叠的性质可得$∠ A' = ∠ A = α$。
设$A'D$与$AC$交于点$F$，
根据三角形外角的性质：
$∠ BDA'$是$△ ADF$的外角，因此$\gamma = ∠ A + ∠ AFD = α + ∠ AFD$，
$∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，因此$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$，
将$∠ AFD = α + β$代入$\gamma = α + ∠ AFD$，可得：
$\gamma = 2α + β$。
【答案】
$\boldsymbol{\gamma=2α+β}$
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常考题，解题核心是利用折叠得到相等的对应角，再结合三角形外角的性质，通过中间角的代换建立所求角的关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等，可先得到∠A'=∠A=α；要推导三个角的数量关系，可借助三角形外角的性质搭建角之间的联系：观察图形可知∠BDA'是△ADF的外角，而A'D与AC的夹角∠AFD又是△A'EF的外角，通过中间角∠AFD进行等量代换，即可推导出α、β、γ的关系。
【解析】
解：由折叠的性质可得$∠ A' = ∠ A = α$。
设$A'D$与$AC$交于点$F$，
根据三角形外角的性质：
$∠ BDA'$是$△ ADF$的外角，因此$\gamma = ∠ A + ∠ AFD = α + ∠ AFD$，
$∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，因此$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$，
将$∠ AFD = α + β$代入$\gamma = α + ∠ AFD$，可得：
$\gamma = 2α + β$。
【答案】
$\boldsymbol{\gamma=2α+β}$
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是折叠类角度计算的常考题，解题核心是利用折叠得到相等的对应角，再结合三角形外角的性质，通过中间角的代换建立所求角的关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.把$△ ABC$沿$EF$对折，折叠后的图形如图所示.若$∠ A = 60°$，$∠ 1 = 96°$，则$∠ 2$的度数是.
答案
$\boldsymbol{24°}$
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等，即∠B'EF=∠AEF、∠C'FE=∠AFE；再结合三角形内角和定理求出△AEF中除∠A外的两个内角和；最后根据平角的定义建立∠1、∠2与上述两个内角的等量关系，代入数值计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：在△AEF中，已知∠A=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AEF + ∠ AFE = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
由折叠的性质可知：$∠ B'EF = ∠ AEF$，$∠ C'FE = ∠ AFE$
根据平角的定义：
$∠ 1 + ∠ AEF + ∠ B'EF = 180°$，即$∠ 1 + 2∠ AEF = 180°$
$∠ 2 + ∠ AFE + ∠ C'FE = 180°$，即$∠ 2 + 2∠ AFE = 180°$
将两个等式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AEF + ∠ AFE) = 360°$
把$∠ 1=96°$，$∠ AEF + ∠ AFE=120°$代入上式：
$96° + ∠ 2 + 2×120° = 360°$
解得：$∠ 2 = 360° - 240° - 96° = 24°$
【答案】
$\boldsymbol{24°}$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、平角的特征建立角度等量关系，解题时注意不要混淆折叠前后的对应角即可。
【难度系数】
0.7
解题时先利用折叠的性质得到折叠前后对应角相等，即∠B'EF=∠AEF、∠C'FE=∠AFE；再结合三角形内角和定理求出△AEF中除∠A外的两个内角和；最后根据平角的定义建立∠1、∠2与上述两个内角的等量关系，代入数值计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：在△AEF中，已知∠A=60°，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ AEF + ∠ AFE = 180° - ∠ A = 180° - 60° = 120°$
由折叠的性质可知：$∠ B'EF = ∠ AEF$，$∠ C'FE = ∠ AFE$
根据平角的定义：
$∠ 1 + ∠ AEF + ∠ B'EF = 180°$，即$∠ 1 + 2∠ AEF = 180°$
$∠ 2 + ∠ AFE + ∠ C'FE = 180°$，即$∠ 2 + 2∠ AFE = 180°$
将两个等式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AEF + ∠ AFE) = 360°$
把$∠ 1=96°$，$∠ AEF + ∠ AFE=120°$代入上式：
$96° + ∠ 2 + 2×120° = 360°$
解得：$∠ 2 = 360° - 240° - 96° = 24°$
【答案】
$\boldsymbol{24°}$
【知识点】
折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义
【点评】
本题是折叠类基础角度计算题，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、平角的特征建立角度等量关系，解题时注意不要混淆折叠前后的对应角即可。
【难度系数】
0.7
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=80°$,在$AC$边上取一点$D$,使得$∠ A=∠ ABD$,将$△ ABD$沿$BD$翻折得$△ A'BD$,此时$A'D// BC$,求$∠ ABC$的度数. 
答案
解：
设∠A = x，
∵ ∠A = ∠ABD，
∴ ∠ABD = x。
由翻折的性质可得：∠A' = ∠A = x，∠A'BD = ∠ABD = x。
∵ A'D // BC，
∴ ∠A'DC = ∠C = 80°。
∵ ∠ADB = ∠A'DB，且∠ADB + ∠CDB = 180°，
∴ ∠A'DB + ∠CDB = 180°，
即∠A'DC + 2∠CDB = 180°，
代入∠A'DC=80°，得80° + 2∠CDB = 180°，
解得∠CDB = 50°。
在△BCD中，
∠DBC = 180° - ∠C - ∠CDB = 180° - 80° - 50° = 50°。
∵ ∠ADB是△BCD的外角，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DBC = 80° + 50° = 130°。
在△ABD中，∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即2x + 130° = 180°，
解得x = 25°，即∠ABD = 25°。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 25° + 50° = 75°。
答：∠ABC的度数为75°。
设∠A = x，
∵ ∠A = ∠ABD，
∴ ∠ABD = x。
由翻折的性质可得：∠A' = ∠A = x，∠A'BD = ∠ABD = x。
∵ A'D // BC，
∴ ∠A'DC = ∠C = 80°。
∵ ∠ADB = ∠A'DB，且∠ADB + ∠CDB = 180°，
∴ ∠A'DB + ∠CDB = 180°，
即∠A'DC + 2∠CDB = 180°，
代入∠A'DC=80°，得80° + 2∠CDB = 180°，
解得∠CDB = 50°。
在△BCD中，
∠DBC = 180° - ∠C - ∠CDB = 180° - 80° - 50° = 50°。
∵ ∠ADB是△BCD的外角，
∴ ∠ADB = ∠C + ∠DBC = 80° + 50° = 130°。
在△ABD中，∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即2x + 130° = 180°，
解得x = 25°，即∠ABD = 25°。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 25° + 50° = 75°。
答：∠ABC的度数为75°。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：本题包含折叠变换、平行线、等角关系三类条件，我们可以通过设∠A为未知数，先利用等角关系得到∠ABD的表达式，再结合折叠的性质得到折叠后对应角的等量关系，接着运用平行线的性质得到∠A'DC的度数，结合平角性质求出∠CDB，再在△BCD中用内角和定理算出∠DBC，最后在△ABD中用内角和求出未知数的值，将∠ABD与∠DBC相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
设∠A = x，
∵ ∠A = ∠ABD，
∴ ∠ABD = x。
由翻折的性质可得：∠A' = ∠A = x，∠A'BD = ∠ABD = x。
∵ A'D // BC，
∴ ∠A'DC = ∠C = 80°。
∵ ∠ADB = ∠A'DB，且∠ADB + ∠CDB = 180°，
∴ ∠A'DB + ∠CDB = 180°，
即∠A'DC + 2∠CDB = 180°，
代入∠A'DC=80°，得80° + 2∠CDB = 180°，
解得∠CDB = 50°。
在△BCD中，根据三角形内角和为180°：
∠DBC = 180° - ∠C - ∠CDB = 180° - 80° - 50° = 50°。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠CDB = 130°，根据三角形内角和为180°：
∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即2x + 130° = 180°，
解得x = 25°，即∠ABD = 25°。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 25° + 50° = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的综合题型，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平行线、三角形内角和的角度关系逐步推导未知角，解题时需理清各角的位置和数量关系，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：本题包含折叠变换、平行线、等角关系三类条件，我们可以通过设∠A为未知数，先利用等角关系得到∠ABD的表达式，再结合折叠的性质得到折叠后对应角的等量关系，接着运用平行线的性质得到∠A'DC的度数，结合平角性质求出∠CDB，再在△BCD中用内角和定理算出∠DBC，最后在△ABD中用内角和求出未知数的值，将∠ABD与∠DBC相加即可得到∠ABC的度数。
【解析】
设∠A = x，
∵ ∠A = ∠ABD，
∴ ∠ABD = x。
由翻折的性质可得：∠A' = ∠A = x，∠A'BD = ∠ABD = x。
∵ A'D // BC，
∴ ∠A'DC = ∠C = 80°。
∵ ∠ADB = ∠A'DB，且∠ADB + ∠CDB = 180°，
∴ ∠A'DB + ∠CDB = 180°，
即∠A'DC + 2∠CDB = 180°，
代入∠A'DC=80°，得80° + 2∠CDB = 180°，
解得∠CDB = 50°。
在△BCD中，根据三角形内角和为180°：
∠DBC = 180° - ∠C - ∠CDB = 180° - 80° - 50° = 50°。
在△ABD中，∠ADB = 180° - ∠CDB = 130°，根据三角形内角和为180°：
∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°，
即2x + 130° = 180°，
解得x = 25°，即∠ABD = 25°。
∴ ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 25° + 50° = 75°。
【答案】
75°
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的综合题型，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平行线、三角形内角和的角度关系逐步推导未知角，解题时需理清各角的位置和数量关系，避免混淆角的对应关系。
【难度系数】
0.7
