8. 如图,在正五边形 $ABCDE$ 中,$M$ 是 $AB$ 的中点,连接 $AC,DM$ 交于点 $N$,则$∠ CND$ 的度数是
.

8.54°

9. 如图,六边形 $ABCDEF$ 是$\odot O$ 的内接正六边形,设正六边形 $ABCDEF$ 的面积为$S_1$,$△ ACE$的面积为$S_2$,则$\dfrac{S_1}{S_2}=$。

9.2

10.(2025·徐州一模)如图,$\odot O$的半径为$\sqrt{2}$,正方形$ABCD$内接于$\odot O$,点$E$在$\overset{\frown}{ADC}$上运动,连接$BE$,作$AF ⊥ BE$,垂足为$F$,连接$CF$,则$CF$长的最小值为.

10.$\sqrt{5}-1$

11. 如图,$△ ABC$内接于$\odot O$,$AB=AC$,$∠ BAC=36°$,$AB$,$AC$的垂直平分线分别交$\odot O$于点$E$,$F$. 求证:五边形$AEBCF$是$\odot O$的内接正五边形.

11. 证明:如答图,连接BF,CE.
$\because AB=AC,∠ BAC=36°$,
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=72°$,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$.
$\because AB,AC$的垂直平分线分别交$\odot O$于点$E,F$,
$\therefore AF=CF,AE=BE,\therefore \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF},\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$.
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC},\therefore \overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,
易得$∠ BAC=∠ BCE=∠ ACE=∠ ABF=∠ FBC=36°$,
$\therefore BC=BE=AE=AF=FC$,
$\therefore$ 五边形$AEBCF$为正五边形.
又$\because$ 点$A,E,B,C,F$都在$\odot O$上,
$\therefore$ 五边形$AEBCF$是$\odot O$的内接正五边形.

12. 如图,中心为 $O$ 的正六边形 $ABCDEF$ 的半径为 $6\ \mathrm{cm}$,点 $P,Q$ 同时分别从 $A,D$ 两点出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $AF,DC$ 向终点 $F,C$ 运动,连接 $PB,PE,QB,QE$,设运动时间为 $t(\mathrm{s})$.
(1)求证:四边形 $PBQE$ 为平行四边形;
(2)当四边形 $PBQE$ 是矩形时,求矩形 $PBQE$ 的面积与正六边形 $ABCDEF$ 的面积之比.

12.(1)证明:$\because$ 六边形 $ABCDEF$ 是正六边形，
$\therefore AB = BC = CD = DE = EF = FA$,$∠ A = ∠ ABC = ∠ C = ∠ D = ∠ DEF = ∠ F$.
$\because$ 点 $P,Q$ 同时分别从 $A,D$ 两点出发,以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度沿 $AF,DC$ 向终点 $F,C$ 运动,$\therefore AP=DQ=t\ \mathrm{cm}$.
在$△ ABP$和$△ DEQ$中,$\begin{cases} AB=DE,\\ ∠ A=∠ D,\\ AP=DQ, \end{cases}$
$\therefore △ ABP≌△ DEQ(\mathrm{SAS}),\therefore BP=EQ$.
同理可证 $PE=QB,\therefore$ 四边形 $PBQE$ 为平行四边形.
(2)解:如答图①,连接 $BE,OA,BD,AE$,则$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$.$\because OA=OB$,$\therefore △ AOB$ 是等边三角形，
$\therefore AB=OA=6\ \mathrm{cm}$,$BE=2OB=12\ \mathrm{cm}$.
当$t=0$时,点 $P$ 与点 $A$ 重合,点 $Q$ 与点 $D$ 重合,四边形 $PBQE$ 即为四边形 $ABDE$.$\because ∠ EAF=∠ AEF=30°$,
$\therefore ∠ BAE=∠ BAF-∠ FAE=120°-30°=90°$,
$\therefore$ 此时四边形 $ABDE$ 是矩形,即四边形 $PBQE$ 是矩形.
当$t=6$时,点 $P$ 与点 $F$ 重合,点 $Q$ 与点 $C$ 重合,四边形 $PBQE$ 即为四边形 $FBCE$,如答图②,同法可知$∠ BFE=90°$,此时四边形 $PBQE$ 是矩形.
$\because AE=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})$,$\therefore S_{\mathrm{矩形}PBQE}=S_{\mathrm{矩形}ABDE}=AB· AE=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$.
$\because S_{\mathrm{正六边形}ABCDEF}=6S_{△ AOB}=6×\frac{1}{4}S_{\mathrm{矩形}ABDE}=6×\frac{1}{4}×36\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ (\mathrm{cm}^2)$,$\therefore$ 矩形 $PBQE$ 的面积与正六边形 $ABCDEF$ 的面积之比为$\frac{2}{3}$.