8.(2025·宿城区月考)如图,直线$y = x - 2$与$y$轴交于点$C$,与$x$轴交于点$B$,与反比例函数$y = \dfrac{k}{x}$的图象在第一象限交于点$A$,连接$OA$.若$S_{△ AOB}:S_{△ BOC} = 1:2$,则$k$的值为.

8.3

9. 如图,一次函数$y=mx+n$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于$A(3,a),B(14-2a,2)$两点.$C$是$x$轴上一点,$D$是坐标平面内一点,若四边形$ACBD$是以$AB$为对角线的菱形,则点$C$的坐标为.

9.$(\dfrac{5}{2},0)$

10. 如图,反比例函数$y_{1}=\dfrac{k}{x}$和一次函数$y_{2}=mx+n$的图象相交于点$A(-3,a),B(a+\dfrac{3}{2},-2),O$为坐标原点,连接$OA,OB$.
(1)求函数$y_{1}=\dfrac{k}{x}$与$y_{2}=mx+n$的函数表达式；
(2)当$y_{1}＞y_{2}$时,请结合图象直接写出自变量$x$的取值范围；
(3)求$△ AOB$的面积.

10.解:(1)$\because$反比例函数$y_1=\dfrac{k}{x}$和一次函数$y_2=mx+n$的
图象相交于点$A(-3,a),B(a+\dfrac{3}{2},-2)$,
$\therefore k=-3a=-2(a+\dfrac{3}{2})$,解得 $a=3$,$\therefore A(-3,3)$,
$B(\dfrac{9}{2},-2)$,
$\therefore k=-3× 3=-9$,$\therefore y_1=-\dfrac{9}{x}$.
把$A(-3,3),B(\dfrac{9}{2},-2)$分别代入$y_2=mx+n$,
得$\begin{cases}-3m+n=3,\\\dfrac{9}{2}m+n=-2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-\dfrac{2}{3},\\n=1,\end{cases}$$\therefore y_2=-\dfrac{2}{3}x+1$.
(2)由图象可知,当$y_1＞y_2$时,自变量$x$的取值范围为
$-3＜x＜0$ 或 $x＞\dfrac{9}{2}$.
(3)设$AB$与$y$轴相交于点$C$,则$C(0,1)$,
$\therefore S_{△ AOB}=S_{△ BOC}+S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}OC(x_B - x_A)=\dfrac{1}{2}× 1× (\dfrac{9}{2}+3)=\dfrac{15}{4}$.

11. 如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中, 反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象与直线 $y=x-1$ 交于点$A(3,m)$.
(1)求 $k$ 的值.
(2)已知点 $P(n,0)(n＞0)$, 过点 $P$ 作垂直于 $x$ 轴的直线, 交直线 $y=x-1$ 于点 $B$, 交函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 于点 $C$.
①当 $n=4$ 时, 判断线段 $PC$ 与 $BC$ 的数量关系, 并说明理由;
②若 $PC≤ BC$, 结合图象, 直接写出 $n$ 的取值范围.

11.解:(1)将$A(3,m)$代入$y=x-1$,$\therefore m=3-1=2$,
$\therefore A(3,2)$.将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$,$\therefore k=3× 2=6$.
(2)①$PC=BC$,理由:当$n=4$时,如答图,$P(4,0)$.

把$x=4$代入$y=x-1$,得$y=4-1=3$,$\therefore B(4,3)$.
把$x=4$代入$y=\dfrac{6}{x}$,得$y=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore C(4,\dfrac{3}{2})$,
$\therefore PC=\dfrac{3}{2}$,$BC=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore PC=BC$.
②由图可知,当$PC≤ BC$时,$n$的取值范围是$0＜n≤ 1$或$n≥ 4$.