【例题】一次赛车越野比赛,赛道是边长 100 千米的等边三角形,赛车甲在各边的速度已在图中标注(单位:千米/时),赛车乙的速度始终保持在60千米/时。甲、乙分别从 A、B 两点同时出发,沿顺时针方向行驶,两车每次经过 A 点处都要休整10分钟,则两车出发多少分钟后甲第一次追上乙?
【分析】
我们可以先分别计算出赛车甲和赛车乙分别行驶一周的时间,然后求出最多几周赛车甲会追上赛车乙。然后再求出最后一周时乙车在 A 点停车时,是否被甲追上。最后算出时间。
【解答】

母题鉴赏
$100×3÷60=5$(小时)
$100÷100+100÷40+100÷80=4.75$(小时)
$100÷100=1$(小时)
分析可知乙至多 4 周就被甲追上
$(100×3×4 - 100)÷60+\frac{1}{6}×4=\frac{110}{6}+\frac{4}{6}=19$(小时)
$4.75×4+\frac{1}{6}×4=19\frac{2}{3}$(小时)
$60×(19\frac{2}{3}-19)=40$(千米)$(100 - 40)÷60=1$(小时)
$5×4+\frac{1}{6}×4=20\frac{2}{3}$(小时)$20\frac{2}{3}$小时$=1240$分钟
答:两车出发 1240 分钟后甲第一次追上乙。

1. 在 400 米的环形跑道上，两人分别操控一辆电动车，甲车速度为 1 米/秒，乙车速度为 11 米/秒。
(1)两车从起点开始相背而行，每相遇一次，甲车速度增加 1 米/秒，乙车速度减少 1 米/秒，如果相遇时甲、乙两车速度相同，那么甲车距起点的最短距离是多少米？
(2)甲、乙两车从起点开始同向而行。甲车速度每 20 秒变为原来的 2 倍，乙车速度每 20 秒增加 1 米/秒，两车第二次相遇时是()秒之后。(跑道仍为 400 米环形跑道)

1. (1) $(11 - 1) ÷ 2 = 5$（次）
$400 ÷ (1 + 11) = \frac{100}{3}$（秒）
$\frac{100}{3} × (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 500$（米）
$500 - 400 = 100$（米）
答：甲车距起点的最短距离是 100 米。
(2) 117.5

2. 如图，甲、乙、丙三个微型机器人同时从点 A 出发，在圆形导轨上匀速运动，甲、乙、丙的速度比为 $ a:b:c $($ a $、$ b $、$ c $ 均为正整数且 $ a ＞ b ≥ c $)。出发时，甲、丙的运动方向与乙相反。若两个微型机器人迎面相遇，则视为一次迎面相遇且同时调头(三者同时在同一点出现只视为一次迎面相遇，且都调头)。
(1) 如果甲、乙、丙的速度比为 $ 3:2:1 $，那么三者再次同时出现在点 A 是出发后的第()次迎面相遇。
(2) 设三者再次同时出现在同一点是出发后的第 $ N $ 次迎面相遇，那么 $ N $ 最小是多少？并求出 $ N $ 取最小值且 $ a + b + c = 2024 $ 时，$ a $ 的最小值。

2. (1) 10 (2) $N_{\min} = 3$，此时 $a_{\min} = 676$
提示：(1) 设圆形导轨的周长为 30 份。如图①，第 5 次相遇时，三者同时到达点 $G$。在点 $G$ 三者同时调头，相当于将前面的过程倒放，第 6 次相遇相当于第 4 次相遇……第 10 次相遇相当于第 0 次相遇（即出发时的状态）。所以三者再次同时出现在点 $A$ 是它们出发后的第 10 次迎面相遇。
迎面相遇

(2) 由于甲的速度比丙快，甲、乙相遇时，丙在甲的后面，第 1 次相遇不满足题意，由于甲的速度比乙快，甲、丙相遇时，乙还未回到点 $A$，第 2 次相遇不满足题意，所以 $N ≥ 3$。当 $N = 3$ 时，如图②。第 1 次：甲、乙在点 $B$ 相遇时丙到达点 $C$；第 2 次：甲、丙在点 $D$ 相遇时乙到达点 $E$；第 3 次：三者都在点 $F$ 相遇。从出发到第 3 次相遇，以相遇为标志，时间分为 3 段。第 1 段甲、乙合行 1 圈，第 3 段甲、丙合行 1 圈。因为 $b ＞ c$，第 1 段时间短于第 3 段时间。看乙，有 $AB$ 段的路程 $＜ EF$ 段的路程，则 $BE$ 段的路程 $＜ AF$ 段的路程；看丙，有 $AC$ 段的路程 $＜ DF$ 段的路程，则 $AF$ 段的路程 $＜ CD$ 段的路程；从而 $BE$ 段的路程 $＜ AF$ 段的路程 $＜ CD$ 段的路程；但看第二段中的乙、丙，有 $BE$ 段的路程 $＞ CD$ 段的路程，矛盾，所以 $N ＞ 3$。（代数证明也可）另一方面，只需 $a ＞ b = c$，第 1 段与第 3 段时间相等。如图③，$BE$ 段的路程 $= AF$ 段的路程 $= CD$ 段的路程，$AB$ 段的路程 $= AC$ 段的路程 $= DF$ 段的路程 $= EF$ 段的路程，第 3 次相遇时，三者都在点 $F$，必满足题意。
由 $a + b + c = 2024$，$a ＞ b = c$，知 $a ≥ 676$。
$a = 676$，$b = c = 674$ 时，$a$ 的最小值为 676。