12. 下列4款国产新能源汽车标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

B

解：
A. 该图形是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形沿竖直中线折叠后两侧完全重合，是轴对称图形，绕中心旋转180°后也能与自身重合，是中心对称图形，符合题意；
C. 该图形是轴对称图形，旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，不符合题意；
D. 该图形既无法找到对称轴使两侧折叠重合，旋转180°后也无法与自身重合，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意。

13. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 6$，$E$是$AC$的中点，分别以点$A$，$B$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点$M$，$N$，直线$MN$交$AB$于点$D$，连接$DE$，则$DE$的长是。

$\boldsymbol{3}$

解：
由作图步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴D是AB的中点。
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC。
∵BC=6，
∴DE = $\frac{1}{2} × 6 = 3$。

14. 如图，$△ ABC$是边长为1的等边三角形. 取边BC的中点E，作$ED // AB$，$EF // AC$，得到四边形EDAF，它的周长记作$C_1$；取BE的中点$E_1$，作$E_1D_1 // FB$，$E_1F_1 // EF$，得到四边形$E_1D_1FF_1$，它的周长记作$C_2$. 照此规律作下去，则$C_{2026} =$ .

解：
∵ $△ ABC$是边长为1的等边三角形，
∴ $∠ A=∠ B=∠ C=60°$，$AB=AC=BC=1$。
∵ $E$是$BC$中点，$ED// AB$，$EF// AC$，
∴ 四边形$EDAF$是平行四边形，且$DE$、$EF$是$△ ABC$的中位线，
∴ $DE=AF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$，$EF=AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$，
∴ $C_1=2(DE+EF)=2×(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=2=4×\frac{1}{2^1}$。
同理，$E_1$是$BE$中点，$E_1D_1// FB$，$E_1F_1// EF$，
可得四边形$E_1D_1FF_1$是平行四边形，$E_1D_1=FF_1=\frac{1}{4}$，$E_1F_1=D_1F=\frac{1}{4}$，
∴ $C_2=2(E_1D_1+E_1F_1)=2×(\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=1=4×\frac{1}{2^2}$。
以此类推，可得规律：$C_n=4×\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^{n-2}}$。
将$n=2026$代入，得：
$C_{2026}=\frac{1}{2^{2026-2}}=\frac{1}{2^{2024}}$。
$\frac{1}{2^{2024}}$

15. 如图，在四边形ABCD中，$AD// BC$，$BC=2AD$，E，F分别是BC，CD的中点，连接EF.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若$∠ B=90°$，$AB=4$，$BC=6$，求EF的长.

(1) 证明：
∵ E是BC的中点，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC$。
又∵ $BC = 2AD$，即 $AD = \frac{1}{2}BC$，
∴ $EC = AD$。
∵ $AD // BC$，即 $AD // EC$，
∴ 四边形AECD一组对边平行且相等，
∴ 四边形AECD是平行四边形。
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(2) 解：
∵ E是BC的中点，$BC=6$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = 3$。
∵ $∠ B=90°$，$AB=4$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ $AD // BC$，$∠ B=90°$，
∴ $∠ BAD = 180° - ∠ B = 90°$。
∵ $BC=2AD$，$BC=6$，
∴ $AD = 3$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$。
∵ E，F分别是BC，CD的中点，
∴ EF是$△ BCD$的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2}$。
答：EF的长为$\frac{5}{2}$。

16. (1)如图1，E，F，G，H分别是菱形ABCD各边中点，可判定四边形EFGH的形状为；
(2)如图2，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边中点，且对角线AC⊥BD，请判定四边形EFGH的形状，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，请对四边形ABCD增加一个条件：，使四边形EFGH为正方形，并说明理由。

解：
(1) 矩形
(2) 四边形EFGH是矩形，理由如下：
∵ E,F分别是AB,BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF// AC$，$EF=\frac{1}{2}AC$，
同理可得：$HG// AC$，$HG=\frac{1}{2}AC$，
∴ $EF// HG$，$EF=HG$，
∴ 四边形EFGH是平行四边形。
∵ E,H分别是AB,AD的中点，
∴ EH是△ABD的中位线，
∴ $EH// BD$，
又∵ $AC⊥ BD$，
∴ $EF⊥ EH$，即$∠ HEF=90°$，
∴ 平行四边形EFGH是矩形。
(3) 所加条件：$AC=BD$（答案不唯一），理由如下：
由(2)已证四边形EFGH是矩形，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴ $EH=\frac{1}{2}BD$，
又∵ $EF=\frac{1}{2}AC$，$AC=BD$，
∴ $EH=EF$，
∴ 矩形EFGH是正方形。