1. 对于方程$x^2 - 16 = 0$，有以下两种解法：
方法一，将方程左边分解因式，得$\_\_\_\_\_\_=0$，故方程的解为________；
方法二，原方程可化为$x^2 = 16$，所以$x$是16的________，即$x_1 = \sqrt{16} = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_ = \_\_\_\_\_\_$。

$(x+4)(x-4)$；$x_1=4，x_2=-4$；平方根；4；$-\sqrt{16}$；-4

本题考查一元二次方程的两种基础解法：因式分解法和直接开平方法。方法一利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对多项式$x^2-16$因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”得到方程的解；方法二利用平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则x是a的平方根，一个正数的平方根有两个，且互为相反数，据此求解即可。

2. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(1-2x)^2 - 9 = 0$.
(2)$(5y + 7)^2 = 7 + 5y$.
(3)$x^2 - 3x + 1 = 0$.
(4)$(1 - 2x)^2 + 9 = 6(1 - 2x)$.

(1) $x_1=-1，x_2=2$；(2) $y_1=-\frac{7}{5}，y_2=-\frac{6}{5}$；(3) $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}，x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；(4) $x_1=x_2=-1$

我们针对每个方程的结构特点，选择符合八年级知识范围的简便方法求解：
(1) 采用直接开平方法求解：
移项得：$(1-2x)^2 = 9$，
两边直接开平方得：$1-2x = \pm3$，
① 当$1-2x=3$时，解得$x=-1$；
② 当$1-2x=-3$时，解得$x=2$。
(2) 采用因式分解法求解：
移项得：$(5y+7)^2 - (5y+7) = 0$，
提取公因式$(5y+7)$得：$(5y+7)(5y+7-1)=0$，
化简得：$(5y+7)(5y+6)=0$，
令两个因式分别为0：$5y+7=0$ 或 $5y+6=0$，
解得对应根，注意不可直接两边除以$5y+7$，否则会丢失$5y+7=0$的根。
(3) 采用公式法求解：
方程为一元二次方程一般形式，其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$即可算出两个根。
(4) 采用整体换元结合完全平方公式因式分解求解：
移项整理得：$(1-2x)^2 -6(1-2x) +9=0$，
将$1-2x$看作整体，等式左边符合完全平方公式，化简得$(1-2x - 3)^2 = 0$，即$(x+1)^2=0$，即可得到重根。

3. 对于竖直上抛的物体,在不考虑空气阻力的条件下,有运动关系式:
$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$,其中$h$是上升高度,$v$是初速度,$t$是抛出后所经过的时间,$g$是重力加速度（$g$取$10\mathrm{m/s^2}$）. 如果将一物体以$25\mathrm{m/s}$的速度向上抛,请问:几秒后它在距抛出点$20\mathrm{m}$高的地方?

1秒或4秒后它在距抛出点20m高的地方。

我们按照一元二次方程的应用步骤求解：
1. 代入已知条件：已知初速度$v=25\mathrm{m/s}$，重力加速度$g=10\mathrm{m/s^2}$，高度$h=20\mathrm{m}$，将数值代入运动关系式$h=vt-\frac{1}{2}gt^2$，可得：
$20 = 25t - \frac{1}{2} × 10 × t^2$
2. 整理方程：化简后得到一元二次方程标准形式：
$t^2 -5t +4 = 0$
3. 求解方程：对左侧因式分解得$(t-1)(t-4)=0$，解得$t_1=1$，$t_2=4$。
两个解都符合实际运动规律：$t=1\mathrm{s}$是物体上升过程中到达20m高度的时间，$t=4\mathrm{s}$是物体到达最高点后下落过程中回到20m高度的时间。

4. 设$x_1,x_2$是方程$x^2 - x - 2013 = 0$的两个实数根，求$x_1^3 + 2014x_2 - 2013$的值.

$\boldsymbol{2014}$

1. 利用方程根的定义降次：
因为$x_1$是方程$x^2 - x - 2013 = 0$的实数根，将根代入方程可得：
$x_1^2 - x_1 - 2013 = 0$，即$x_1^2 = x_1 + 2013$。
对高次项$x_1^3$变形降次：
$x_1^3 = x_1 · x_1^2 = x_1(x_1 + 2013) = x_1^2 + 2013x_1$，
再将$x_1^2 = x_1 + 2013$代入上式，得：
$x_1^3 = x_1 + 2013 + 2013x_1 = 2014x_1 + 2013$。
2. 代入所求式子化简：
将$x_1^3 = 2014x_1 + 2013$代入$x_1^3 + 2014x_2 - 2013$，可得：
原式$= 2014x_1 + 2013 + 2014x_2 - 2013 = 2014(x_1 + x_2)$。
3. 利用根与系数的关系计算$x_1+x_2$：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，
本题中方程$x^2 - x - 2013 = 0$的$a=1$，$b=-1$，因此$x_1+x_2=1$。
4. 计算最终结果：
原式$=2014×1=2014$。

5. 一个方形池塘,池深与池宽相等.有一棵芦苇长在池塘中央,露出水面1米.把芦苇顶拉到岸边,刚好与水面齐平. 水深和芦苇的长度分别是多少? (结果可保留根号)

水深为$ (4+2\sqrt{5}) $米，芦苇的长度为$ (5+2\sqrt{5}) $米。

设水深为$ x $米，则芦苇的长度为$ (x+1) $米。
由题意可知池深与池宽相等，因此池宽也为$ x $米，芦苇根部在池塘水底中央，到岸边的水平距离为池宽的一半，即$ \frac{x}{2} $米。
将芦苇拉到岸边刚好与水面齐平时，芦苇、水深、水平距离构成直角三角形，根据勾股定理列方程：
$x^2 + ( \frac{x}{2} )^2 = (x+1)^2$
展开整理得：
$x^2 - 8x - 4 = 0$
解该一元二次方程：
$x = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 + 4×4}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$
由于水深为正数，舍去不符合实际的负根$ x=4-2\sqrt{5} $，可得水深$ x=4+2\sqrt{5} $米，芦苇长度为$ x+1=5+2\sqrt{5} $米。