2. 勾股定理的证明

3. 勾股定理的逆定理
(1)如果三角形的三边长$a、b、c$满足，那么这个三角形就是直角三角形.
(2)拓展$\begin{cases}①a、b是较小的两边,如果\_\_\_\_\_\_,那么这个三角形就是锐角三角形. \\②a、b是较小的两边,如果\_\_\_\_\_\_,那么这个三角形就是钝角三角形.\end{cases}$
4. 勾股数
(1)满足$a^2 + b^2 = c^2$的三个正整数称为勾股数.
(2)常见勾股数:①$3,4,5$;②$6,8,10$;③$5,12,13$;④$8,15,17$;⑤$7,24,25$.
5. 勾股定理的应用
(1)构造无理数:如构造$\sqrt{13}$，$\because 13 = 2^2 + 3^2$，$\therefore$以$2、3$为直角边的直角三角形的斜边长即为$\sqrt{13}$.
(2)利用面积法求直角三角形斜边上的高.
$h=\frac{ab}{c}$
(3)勾股树:以直角三角形的三边向外部分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形、正方形.

结论:$S_1 + S_2 = S_3$.
(4)两点间距离公式:点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$之间的距离$|AB|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.
(5)展开图最短路径问题

3. (1)$a^2 + b^2 = c^2$
(2) ①$a^2 + b^2 ＞ c^2$ ②$a^2 + b^2 ＜ c^2$

【分析】
解题时先回忆勾股定理逆定理的核心内容，再结合三角形最大边对应最大角的规律推导拓展结论：首先明确题目中“a、b是较小的两边”的前提，即c为三角形的最长边，c边所对的角是三角形的最大角：若最大角为直角，对应两短边平方和等于最长边平方；若最大角为锐角，说明最长边比直角三角形的斜边更短，因此两短边平方和大于最长边平方；若最大角为钝角，说明最长边比直角三角形的斜边更长，因此两短边平方和小于最长边平方，按照这个逻辑即可填出对应内容。
【解析】
(1)根据勾股定理的逆定理，当三角形三边长$a、b、c$满足$a^2 + b^2 = c^2$（$c$为最长边）时，这个三角形是直角三角形。
(2)已知$a、b$是较小的两边，即$c$为最长边：
①若三角形是锐角三角形，说明最长边所对的最大角为锐角，此时两短边平方和大于最长边平方，即$a^2 + b^2 ＞ c^2$；
②若三角形是钝角三角形，说明最长边所对的最大角为钝角，此时两短边平方和小于最长边平方，即$a^2 + b^2 ＜ c^2$。
【答案】
3. (1)$a^2 + b^2 = c^2$
(2) ①$a^2 + b^2 ＞ c^2$ ②$a^2 + b^2 ＜ c^2$
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形形状判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对勾股定理逆定理及拓展结论的识记与理解，解题时需注意$c$为最长边的前提，牢记三类三角形对应的三边平方关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9